TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ. PHƯƠNG PHÁP GIẢN ĐỒ FRE-NEN

BÀI 5. TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ. PHƯƠNG PHÁP GIẢN ĐỒ FRE-NEN

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Vectơ quay

• Khi điểm M chuyển động tròn đều thì vectơ vị trí \(\overline{OM}\) quay đều với cùng tốc độ góc w. Khi ấy x = Acos(wt + j) là phương trình hình chiếu của vectơ quay \(\overline{OM}\) trên trục x.
• Biểu diễn phương trình của dao động điều hòa bằng một vectơ quay được vẽ tại thời điểm ban đầu như hình vẽ. Vectơ quay có những đặc điểm sau đây

Có gốc taị gốc tọa độ của trục Ox; Có độ dài bằng biên độ dao động, OM = A; Hợp với trục Ox một góc bằng pha ban đầu (chọn chiều dương là chiều của đường tròn lượng giác).

2. Phương pháp giản đồ Fre-nen

a) Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số

• Tổng hợp hai dao động thành phần cùng phương : x1 = A1cos(ωt + φ1) và x2 = A2cos(ωt + φ2) là chúng ta thực hiện phép tính x = x1 + x2 và kết quả ta thu được là một dao động tổng hợp x có dạng x = Acos(ωt + φ).

b) Biểu diễn các dao động điều hòa bằng vectơ quay

+ Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số là một dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số với hai dao động đó.

+ Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp được tính bằng các công thức sau đây: \(\left\{ \begin{align}   & {{A}^{2}}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}c\text{os}\left( {{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}} \right)\text{; } \\  & \tan \varphi =\frac{{{A}_{1}}\sin {{\varphi }_{1}}+{{A}_{2}}\sin {{\varphi }_{2}}}{{{A}_{1}}c\text{os}{{\varphi }_{1}}+{{A}_{2}}c\text{os}{{\varphi }_{2}}},\ \left( {{\varphi }_{1}}\le \varphi \le {{\varphi }_{2}} \right) \\ \end{align} \right.\)

3. Ảnh hưởng của độ lệch pha

Biên độ của dao động tổng hợp phụ thuộc vào các biên độ A1, A2 và độ lệch pha (φ2 - φ1) của các dao động thành phần.

• Nếu các dao động thành phần cùng pha, tức ∆φ = φ2 - φ1 = 2nπ, (n = 0, ± 1, ± 2,...), thì biên độ dao động tổng hợp là lớn nhất và bằng tổng hai biên độ: A = A1 + A2.
• Nếu hai dao động thành phần ngược pha, tức ∆φ = φ2 - φ1 = (2n + 1)π, (n = 0, ± 1, ± 2,...), thì biên độ dao động tổng hợp là nhỏ nhất: A = |A1 – A2|.

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Tổng hợp hai dao động khi biết các dao động thành phần

• Tổng hợp hai dao động : x1 = A1cos(ωt + φ1) và x2 = A2cos(ωt + φ2) được một dao động tổng hợp là x = Acos(ωt + φ).
• Trong đó \(\left\{ \begin{align}   & {{A}^{2}}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}c\text{os}\left( {{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}} \right)=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}c\text{os}\Delta \varphi  \\  & \tan \varphi =\frac{{{A}_{1}}\sin {{\varphi }_{1}}+{{A}_{2}}\sin {{\varphi }_{2}}}{{{A}_{1}}c\text{os}{{\varphi }_{1}}+{{A}_{2}}c\text{os}{{\varphi }_{2}}},\ \left( {{\varphi }_{1}}\le \varphi \le {{\varphi }_{2}} \right) \\ \end{align} \right.\)

+) Nếu \(\Delta \varphi = k2\pi \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = {A_1} + {A_2}\\ \varphi = {\varphi _1} = {\varphi _2} \end{array} \right.\)

+) Nếu \(\Delta \varphi = \left( {2k + 1} \right)\pi \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = \left| {{A_1} - {A_2}} \right|\\ \left[ \begin{array}{l} \varphi = {\varphi _2};{A_2} > {A_1}\\ \varphi = {\varphi _1};{A_2} > {A_2} \end{array} \right. \end{array} \right.\)

+) Nếu \(\Delta \varphi = \left( {2k + 1} \right)\frac{\pi }{2} \Rightarrow A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2} \) từ đó ta luôn có \(\left| {{A_1} - {A_2}} \right| \le A \le {A_1} + {A_2}\)

Dạng 2: Tìm dao động thành phần khi biết dao động tổng hợp

• Khi biết một dao động thành phần x1 = A1cos(ωt + φ1) và dao động tổng hợp là x = Acos(ωt + φ) thì dao động thành phần còn lại là x2 = A2cos(ωt + φ2).
• Trong đó: \(\left\{ \begin{align}   & A_{2}^{2}={{A}^{2}}+A_{1}^{2}-2A{{A}_{1}}c\text{os}\left( \varphi -{{\varphi }_{1}} \right) \\  & \tan {{\varphi }_{2}}=\frac{A\sin \varphi -{{A}_{1}}\sin {{\varphi }_{1}}}{Ac\text{os}\varphi -{{A}_{1}}c\text{os}{{\varphi }_{1}}},\ \left( {{\varphi }_{1}}\le \varphi \le {{\varphi }_{2}} \right) \\ \end{align} \right.\)

Dạng 3: Tìm cực trị biên độ cực độ trong dao động điều hòa

• Khi hai dao động thành phần lệch pha nhau góc \(\Delta \varphi >\frac{\pi }{2}\) thì ta có bài toán tìm A1 để A2 max hoặc ngược lại.

+) Khi A1 thay đổi để A2 max thì \(\overrightarrow{{{A}_{1}}}\bot \overrightarrow{A}\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{align}   & {{A}_{2m\text{ax}}}=\frac{A}{\sin \Delta \varphi }=\sqrt{A_{1}^{2}+{{A}^{2}}} \\  & {{A}_{1}}=A.\tan \left( \Delta \varphi -\frac{\pi }{2} \right) \\ \end{align} \right.\)

+) Khi A2 thay đổi để A1 max thì \(\overrightarrow{{{A}_{2}}}\bot \overrightarrow{A}\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{align}   & {{A}_{1m\text{ax}}}=\frac{A}{\sin \Delta \varphi }=\sqrt{A_{2}^{2}+{{A}^{2}}} \\  & {{A}_{2}}=A.\tan \left( \Delta \varphi -\frac{\pi }{2} \right) \\ \end{align} \right.\)

III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Câu C1 (trang 20 SGK Vật lí 12):

Hãy biểu diễn dao động điều hòa \(x=3co\text{s}\left( 5t-\frac{\pi }{3} \right)\,cm\) bằng một vectơ quay.

Trả lời:

Câu C2 (trang 20 SGK Vật lí 12):

Hãy tìm lại hai công thức (5.1 SGK) và (5.2 SGK).

\(\left\{ \begin{align}   & {{A}^{2}}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}c\text{os}\left( {{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}} \right)\text{;}\,\,\text{(5}\text{.1) } \\  & \tan \varphi =\frac{{{A}_{1}}\sin {{\varphi }_{1}}+{{A}_{2}}\sin {{\varphi }_{2}}}{{{A}_{1}}c\text{os}{{\varphi }_{1}}+{{A}_{2}}c\text{os}{{\varphi }_{2}}};\ \text{(5}\text{.1) } \\ \end{align} \right.\)

Trả lời:

Ta có định lí hàm cos ta có: \(\begin{array}{*{35}{l}}    {{A}^{2}}=O{{M}_{1}}^{2}+{{M}_{1}}{{M}^{2}}2O{{M}_{1}}{{M}_{1}}M.cos\,\widehat{O{{M}_{1}}M}  \\    \Leftrightarrow {{A}^{2}}={{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}2{{A}_{1}}{{A}_{2}}cos(\pi \widehat{{{M}_{1}}O{{M}_{2}}})  \\    \Leftrightarrow {{A}^{2}}={{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}cos(\pi +\widehat{{{M}_{1}}O{{M}_{2}}})  \\    \Leftrightarrow {{A}^{2}}={{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}cos\left( {{\varphi }_{1}}{{\varphi }_{2}} \right)  \\ \end{array}\)

Theo hình vẽ: \({{\overrightarrow{OM}}_{1}}+{{\overrightarrow{OM}}_{2}}=\overrightarrow{OM}\,\,\,\left( 1 \right)\)

Chiếu (1) trục Ox: Acosφ = A1.cosφ1 + A2.cosφ2 (2)

Chiếu (1) trục Oy: Asinφ = A1.sinφ1 + A2.sinφ2 (3)

Lập tỉ số (3) / (2) ta được: \(\tan \varphi =\frac{{{A}_{1}}\sin {{\varphi }_{1}}+{{A}_{2}}\sin {{\varphi }_{2}}}{{{A}_{1}}c\text{os}{{\varphi }_{1}}+{{A}_{2}}c\text{os}{{\varphi }_{2}}}\)

IV. CÂU HỎI – BÀI TẬP

Bài 1 (trang 25 SGK Vật Lí 12):

Nêu cách biểu diễn một dao động điều hòa bằng một vectơ quay.

Lời giải:

• Biểu diễn phương trình của dao động điều hòa bằng một vectơ quay được vẽ tại thời điểm ban đầu như hình vẽ. Vectơ quay có những đặc điểm sau đây

Có gốc taị gốc tọa độ của trục Ox; Có độ dài bằng biên độ dao động, OM = A; Hợp với trục Ox một góc bằng pha ban đầu (chọn chiều dương là chiều của đường tròn lượng giác).

Bài 2 (trang 25 SGK Vật Lí 12):

Trình bày phương pháp giản đồ Fre-nen để tìm dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số.

Lời giải:

Biểu diễn các dao động điều hòa bằng vectơ quay

Lần lượt vẽ hai vectơ quay \({{\overrightarrow{OM}}_{1}}\) và \({{\overrightarrow{OM}}_{2}}\)biểu diễn hai li độ x1 = A1cos(ωt + φ1) và x2 = A2cos(ωt + φ2) tại thời điểm ban đầu. Sau đó ta vẽ vectơ \(\overrightarrow{OM}\) là tổng của hai vectơ trên. Vì hai vectơ \({{\overrightarrow{OM}}_{1}}\) và \({{\overrightarrow{OM}}_{2}}\) có cùng một tốc đô góc w nên hình bình hành OM1MM2 không biến dạng và quay với tốc độ góc w. Vectơ đường chéo \(\overrightarrow{OM}\) cùng là một vectơ quay với tốc độ góc w quanh gốc tọa độ O.

+ Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số là một dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số với hai dao động đó.

+ Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp được tính bằng các công thức sau đây: \(\left\{ \begin{align}   & {{A}^{2}}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}c\text{os}\left( {{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}} \right)\text{; } \\  & \tan \varphi =\frac{{{A}_{1}}\sin {{\varphi }_{1}}+{{A}_{2}}\sin {{\varphi }_{2}}}{{{A}_{1}}c\text{os}{{\varphi }_{1}}+{{A}_{2}}c\text{os}{{\varphi }_{2}}},\ \left( {{\varphi }_{1}}\le \varphi \le {{\varphi }_{2}} \right) \\ \end{align} \right.\)

Bài 3 (trang 25 SGK Vật Lí 12):

Nêu ảnh hưởng của độ lệch pha (φ2 – φ1) đến biên độ của dao động tổng hợp trong các trường hợp:

a) Hai dao động thành phần cùng pha

b) Hai dao động thành phần ngược pha

c) Hai dao động thành phần có pha vuông góc

Lời giải:

Biên độ của dao động tổng hợp phụ thuộc vào các biên độ A1, A2 và độ lệch pha (φ2 - φ1) của các dao động thành phần.

a) Nếu các dao động thành phần cùng pha, tức ∆φ = φ2 - φ1 = 2nπ, (n = 0, ± 1, ± 2,...), thì biên độ dao động tổng hợp là lớn nhất và bằng tổng hai biên độ: A = A1 + A2.

b) Nếu hai dao động thành phần ngược pha, tức ∆φ = φ2 - φ1 = (2n + 1)π, (n = 0, ± 1, ± 2,...), thì biên độ dao động tổng hợp là nhỏ nhất: A = |A1 – A2|.

c) Nếu hai dao động thành phần vuông pha, tức \(\Delta \varphi =\left( 2k+1 \right)\frac{\pi }{2}\), (n = 0, ± 1, ± 2,...), thì biên độ dao động tổng hợp là: \(A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}}\)

Bài 4 (trang 25 SGK Vật Lí 12):

Chọn đáp án đúng.

Hai dao động là ngược pha khi

A. φ2 – φ1 = 2nπ. B. φ2 – φ1 = nπ. C. φ2 – φ1 = (2n – 1)π. D. φ2 – φ1 = (2n + 1)π.

Lời giải: Chọn D.

Hai dao động là ngược pha khi φ2 – φ1 = (2n + 1)π vơi (n = 0, ± 1, ± 2,...),

Bài 5 (trang 21 SGK Vật Lí 12):

Xét một vectơ quay \(\overrightarrow{OM}\) có những đặc điểm sau:

Có độ lớn bằng hai đơn vị chiều dài.

Quay quanh O với tốc độ góc 1 rad/s

Tại thời điểm t = 0, vectơ \(\overrightarrow{OM}\) hợp với trục Ox một góc 30°

Hỏi vectơ quay \(\overrightarrow{OM}\) biểu diễn phương trình của dao động điều hòa nào?

A. x = 2cos(t – π/3). B. x = 2cos(t + π/6).

C. x = 2cos(t – 30o). D. x = 2cos(t + π/3).

Lời giải: Chọn B.

Vectơ quay \(\overrightarrow{OM}\) có:

• Độ lớn bằng hai đơn vị chiều dài nên biên độ dao động A = 2 đơn vị chiều dài.
• Quay quanh O với tốc độ góc 1 rad/s nên tần số ω = 1rad/s.

Tại thời điểm t = 0, vectơ \(\overrightarrow{OM}\) hợp với trục Ox một góc 30o nên pha ban đầu là φ = π/6 rad.

Phương trình dao động: x = 2cos(t + π/6).

Bài 6 (trang 25 SGK Vật Lí 12):

Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số góc \(\omega =5\pi \,rad/s,\) với các biên độ: \({{A}_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}cm,{{A}_{2}}=\sqrt{3}\,cm\) và các pha ban đầu tương ứng \({{\varphi }_{1}}=\frac{\pi }{2}\) và \({{\varphi }_{2}}=\frac{5\pi }{6}\). Tìm phương trình dao động tổng hợp của hai dao động trên.

Lời giải:

\(\begin{array}{*{20}{l}} {{A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \left( {{\varphi _2} - {\varphi _1}} \right) = \frac{3}{4} + 3 + 2 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \sqrt 3 \cdot \cos 60^\circ = 5,25}\\ { \Rightarrow A = 2,29 \approx 2,3\;{\rm{cm}}} \end{array}\) \(\begin{array}{l} \tan \varphi = \frac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}\cos {\varphi _2}}} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \sin \frac{\pi }{2} + \sqrt 3 \cdot \sin \frac{{5\pi }}{6}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \frac{\pi }{2} + \sqrt 3 \cos \frac{{5\pi }}{6}}}\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \sqrt 3 \frac{1}{2}}}{{0 + \sqrt 3 \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}} = - \frac{{\sqrt 3 }}{{\frac{3}{2}}} = - \frac{2}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \varphi = 0,73\pi \end{array}\)

Phương trình dao động tổng hợp của hai dao động trên: x = 2,3cos(5pt + 0,73p) cm.

Hi vọng bài học này giúp các em nắm vững kiến thức về tổng hợp dao động điều hòa để phục vụ cho các bài học tiếp theo của chương trình Vật lí lớp 12.