BÀI 3. CON LẮC ĐƠN
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Con lắc đơn
+ Cấu tạo : Con lắc đơn là một cơ hệ gồm một vật nhỏ khối lượng m, treo ở đầu một sợi dây không dãn, khối lượng không đáng kể, có chiều dài ℓ.
|
|
+ Con lắc đơn là một hệ dao động điều hòa nếu thỏa mãn điều kiện: dây dẫn không dãn và khối lượng không đáng kể; bỏ qua mọi ma sát và lực cản của môi trường. | |
2. Phương trình dao động của con lắc đơn
Phương trình dao động li độ cong: s = s0cos(ωt + φ)
Sử dụng hệ thức: s = ℓ.a [liên hệ giữa độ dài cung và bán kính cung], chia 2 vế phương trình trên cho ℓ, ta có phương trình dao động li độ góc: α = α0cos(ωt + φ)
- Tần số (w ; rad/s): \(\omega =\sqrt{\frac{g}{\ell }}\)
- Chu kì (T; s) : \(T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}\)
- Tần số (f; Hz) : \(f=\frac{\omega }{2\pi }=\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{\ell }}\)
4. Năng lượng dao động của con lắc đơn
- Động năng: \({{\text{W}}_{đ}}=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}\)
- Thế năng trọng trường: \({{\text{W}}_{t}}=mg\ell \left( 1-c\text{os}\alpha \right)\)
- Cơ năng: \(\text{W}={{\text{W}}_{đ}}+{{\text{W}}_{t}}=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}+mg\ell \left( 1-c\text{os}\alpha \right)\)
Nhận xét : Nếu bỏ qua mọi ma sát và lực cản của môi trường thì cơ năng của con lắc đơn là một đại lượng bảo toàn \(\text{W}={{\text{W}}_{đ}}+{{\text{W}}_{t}}=mg\ell \left( 1-c\text{os}{{\alpha }_{0}} \right)\text{= cons}t\)
5. Lực kéo về
- Lực kéo về (lực hồi phục) tác dụng lên vật nhỏ con lắc đơn có độ lớn:
|F| = mω2s = mgα (α tính bằng rad)
6. Ứng dụng của con lắc đơn
+ Dùng để xác định gia tốc rơi tự do trong lĩnh vực địa chất
+ Các xác định gia tốc rơi tự do (gia tốc trọng trường)
- Đo thời gian t của con lắc thực hiện được n dao động toàn phần, sử dụng công thức \(T=\frac{t}{n}\) để tính chu kì T.
- Sau đó tính gia tốc trọng trường bằng công thức \(g=\frac{4{{\pi }^{2}}\ell }{{{T}^{2}}}\)
- Lặp lại thí nghiệm nhiều lần, rồi tính giá trị trung bình g ở các lần đo, ta được gia tốc rơi tự do tại nơi đó.
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Chu kì, tần số dao động của con lắc đơn
- Tần số góc dao động của con lắc \(\omega =\sqrt{\frac{g}{\ell }}\Rightarrow \ell =\frac{g}{{{\omega }^{2}}}\)
- Từ đó, chu kì và tần số dao động của con lắc là \(\left\{ \begin{align} & T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}} \\ & f=\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2\pi }=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{\ell }} \\ \end{align} \right.\)
- Trong cùng một khoảng thời gian Δt mà con lắc thực hiện được N1 dao động, khi tăng hoặc giảm chiều dài con lắc một đoạn Δℓ thì con lắc thực hiện được N2 dao động.
Khi đó ta có hệ thức \(\left\{ \begin{array}{l} \Delta t = {N_1}{T_1} = {N_2}{T_2}\\ \frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \sqrt {\frac{{{\ell _2}}}{{{\ell _1}}}} \\ {\ell _2} = {\ell _1} \pm \Delta \ell \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {\frac{{{\ell _2}}}{{{\ell _1}}}} = \frac{{{N_1}}}{{{N_2}}}\\ {\ell _2} = {\ell _1} \pm \Delta \ell \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{\ell _2}}}{{{\ell _1}}} = {\left( {\frac{{{N_1}}}{{{N_2}}}} \right)^2}\\ {\ell _2} = {\ell _1} \pm \Delta \ell \end{array} \right.\)
Từ đó ta có thể tính được chiều dài con lắc ban đầu và sau khi tăng giảm độ dài.
- Cũng tương tự như con lắc lò xo, với con lắc đơn ta cũng có hệ độc lập với thời gian như sau:
\(a=-{{\omega }^{2}}S;\,{{\left( \frac{S}{{{S}_{0}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{{{S}_{0}}.\omega } \right)}^{2}}=1\Rightarrow S_{0}^{2}={{S}^{2}}+{{\left( \frac{v}{\omega } \right)}^{2}}\Leftrightarrow \alpha _{0}^{2}={{\alpha }^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{g\ell }\)
trong đó, x = ℓ.a là hệ thức liên hệ giữa độ dài cung và bán kính cung.
Dạng 2: Viết phương trình dao động của con lắc đơn
- Phương trình li độ dài: \(S={{S}_{0}}\cos \left( \omega t+\varphi \right)\)
- Phương trình li độ góc: \(\alpha ={{\alpha }_{0}}\cos \left( \omega t+\varphi \right)\) (Chú ý: α đổi về đơn vị rad; \(S=\alpha \ell\) )
- Phương trình vận tốc: \(v=S'=-S\omega \sin \left( \omega t+\varphi \right)=\underbrace{S\omega }_{{{v}_{\text{max}}}}\cos \left( \omega t+\varphi +\frac{\pi }{2} \right)\)
Dạng 3: Tốc độ, lực căng dây, gia tốc của con lắc đơn
- Tốc độ của con lắc đơn được cho bởi công thức :
\(v=\sqrt{2g\ell \left( c\text{os}\alpha -c\text{os}{{\alpha }_{o}} \right)}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{v}_{m\text{ax}}}=\sqrt{2g\ell \left( 1-c\text{os}{{\alpha }_{o}} \right)}\ ;\ khi\ \alpha ={{0}^{0}} \\ & {{v}_{\min }}=0;\ khi\ \alpha ={{\alpha }_{o}} \\ \end{align} \right.\)
- Lực căng dây được cho bởi công thức:
\(\tau =mg\left( 3c\text{os}\alpha -2c\text{os}{{\alpha }_{o}} \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{\tau }_{m\text{ax}}}=mg\left( 3-2c\text{os}{{\alpha }_{o}} \right);\ khi\ \alpha ={{0}^{0}} \\ & {{\tau }_{\min }}=mg.c\text{os}{{\alpha }_{o}};\ khi\ \alpha ={{\alpha }_{o}} \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow \frac{{{\tau }_{m\text{ax}}}}{{{\tau }_{\min }}}=\frac{mg\left( 3-2c\text{os}{{\alpha }_{o}} \right)}{mg.c\text{os}{{\alpha }_{o}}}=\frac{3-2\cos {{\alpha }_{o}}}{c\text{os}{{\alpha }_{o}}}=\frac{3}{c\text{os}{{\alpha }_{o}}}-2\)
Chú ý: Khi con lắc đơn dao động điều hòa (góc lệch nhỏ) thì ta có \(\left\{ \begin{align} & {{v}^{2}}=g\ell \left( \alpha _{o}^{2}-{{\alpha }^{2}} \right) \\ & \tau =mg\left( 1-1,5{{\alpha }^{2}}+\alpha _{o}^{2} \right) \\ \end{align} \right.\)
- Gia tốc của vật nặng:
\(\left\{ \begin{align} & {{a}_{tt}}=g\sin \alpha \\ & {{a}_{n}}=\frac{{{v}^{2}}}{\ell }=2g\left( \cos \alpha -\cos {{\alpha }_{0}} \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow a=\sqrt{a_{tt}^{2}+a_{n}^{2}}=g\sqrt{{{\sin }^{2}}\alpha +4{{\left( \cos \alpha -\cos {{\alpha }_{0}} \right)}^{2}}}\)
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Câu C1 (trang 15 SGK Vật lí 12):
Chứng tỏ rằng đối với những góc lệch nhỏ hơn 20° thì độ chênh lệch giữa sinα và α (rad) không đến 1%.
Trả lời:
Ta kiểm nghiệm với các góc lệch nhỏ bằng 20° , ta có sinα ≈ α (rad)
\(\begin{align} & \sin 20{}^\circ =0,3420 \\ & 20{}^\circ =\frac{20.\pi }{180}=0,3491\,(\text{rad}) \\ \end{align}\)
Do đó độ chênh lệch giữa sinα và α là: 0,3491 – 0,3420 = 0,0071 = 0,7%
Câu C2 (trang 15 SGK Vật lí 12):
Có nhận xét gì về chu kì của con lắc đơn?
Trả lời:
Chu kì con lắc đơn: \(T=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}\)
Nhận xét:
- Chu kì T phụ thuộc vào chiều dài dây ℓ của dây và gia tốc trọng trường g tại nơi đặt con lắc.
- T tỉ lệ với căn bậc hai của chiều dài ℓ và tỉ lệ nghịch căn bậc hai của gia tốc trọng trường g.
- T tăng khi chiều dài ℓ tăng hoặc gia tốc trọng trường giảm
- T giảm khi chiều dài ℓ giảm hoặc gia tốc trọng trường tăng.
Câu C3 (trang 16 SGK Vật lí 12):
Hãy mô tả một cách định tính sự biến đổi năng lượng của con lắc, khi nó đi từ vị trí biên về vị trí cân bằng và khi nó đi từ vị trí cân bằng ra vị trí biên.
Trả lời:
Tại vị trí cân bằng O (S = 0): thế năng Wt = 0; động năng cực đại Wđmax.
Tại vị trí biên (x = ± S): thế năng cực đại Wtmax; động năng Wđ = 0.
Khi vật đi từ vị trí biên về vị trí cân bằng thì thế năng giảm dần, động năng tăng dần.
Khi vật đi từ vị trí vị trí cân bằng ta biên thì thế năng tăng dần, động năng giảm dần.
IV. CÂU HỎI – BÀI TẬP
Bài 1 (trang 17 SGK Vật Lí 12):
Thế nào là con lắc đơn ? Khảo sát dao động của con lắc đơn về mặt động lực học.
Chứng minh rằng khi dao động nhỏ (sinα ≈ α (rad)), dao động của con lắc đơn là dao động điều hòa.
Lời giải:
+ Xét con lắc đơn như hình vẽ:
Chọn chiều dương từ trái sang phải, gốc tọa độ cong tại vị trí cân bằng O.
+ Áp dụng định luật 2 Niu-tơn ta có: \(\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}=m\overrightarrow{a}\)
+ Chiếu phương trình lên trục Ox ta được
– Psina = ma Þ – mga = ma Þ \(-g\frac{s}{\ell }=a={s}'' Þ -{s}''+\frac{g}{\ell }s=0(*) với \omega =\sqrt{\frac{g}{\ell }}\)
Phương trình (∗) là phương trình vi phân biểu diễn chuyển động của con lắc đơn,
Khi dao động nhỏ (sinα ≈ α rad), phương trình (*) có nghiệm là: s = s0cos(ωt + φ), như vậy chuyển động của con lắc đơn là một dao động điều hòa.
Bài 2 (trang 17 SGK Vật Lí 12):
Viết công thức tính chu kì của con lắc đơn khi dao động nhỏ.
Lời giải:
Công thức chu kì con lắc đơn là: \(T=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}\)
Bài 3 (trang 17 SGK Vật Lí 12):
Viết biểu thức của động năng, thế năng và cơ năng của con lắc đơn ở vị trí có góc lệch α bất kì.
Lời giải:
- Động năng: \({{\text{W}}_{đ}}=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}\)
- Thế năng trọng trường: \({{\text{W}}_{t}}=mg\ell \left( 1-c\text{os}\alpha \right)\)
- Cơ năng: \(\text{W}={{\text{W}}_{đ}}+{{\text{W}}_{t}}=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}+mg\ell \left( 1-c\text{os}\alpha \right)\)
Bài 4 (trang 17 SGK Vật Lí 12):
Chọn đáp án đúng.
Chu kì của con lắc đơn dao động nhỏ (sinα ≈ α (rad)) là:
A. \(T=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{\ell }{g}}\) B. \(T=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{\ell }}\) C. \(T=\sqrt{2\pi \frac{\ell }{g}}\) D. \(T=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}\)
Lời giải: Chọn D.
Công thức tính chu kì dao động của con lắc đơn là \(T=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}\)
Bài 5 (trang 17 SGK Vật Lí 12):
Hãy chọn đáp án đúng.
Một con lắc đơn dao động với biên độ góc nhỏ. Chu kì của con lắc không thay đổi khi
A. thay đổi chiều dài của con lắc. B. thay đổi gia tốc trọng trường.
C. tăng biên độ góc đến 30°. D. thay đổi khối lượng của con lắc.
Lời giải: Chọn D.
Chu kì của con lắc đơn phụ thuộc vào ℓ, g và biên độ góc không phụ thuộc vào khối lượng m. T không đổi khi thay đổi khối lượng m của con lắc.
Bài 6 (trang 17 SGK Vật Lí 12):
Một con lắc đơn được thả không vận tốc đầu từ li độ góc αo. Khi con lắc đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của quả cầu con lắc là bao nhiêu ?
A. \(v=\sqrt{g\ell \left( 1-c\text{os}{{\alpha }_{0}} \right)}\) B. \(v=\sqrt{2g\ell c\text{os}{{\alpha }_{0}}} \)
C. \(v=\sqrt{2g\ell \left( 1-c\text{os}{{\alpha }_{0}} \right)}\) D. \(v=\sqrt{g\ell c\text{os}{{\alpha }_{0}}}\)
Lời giải: Chọn C.
+ Cơ năng của con lắc lúc thả (tại biên) là: \(\text{W}=mg\ell \left( 1-c\text{os}{{\alpha }_{0}} \right)\)
+ Khi vật qua vị trí cân bằng, cơ năng của con lắc là: \(\text{W}=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}\)
Theo định luật bảo toàn cơ năng ta có: \(\frac{1}{2}m{{v}^{2}}=mg\ell \left( 1-c\text{os}{{\alpha }_{0}} \right)\Rightarrow v=\sqrt{2g\ell \left( 1-c\text{os}{{\alpha }_{0}} \right)}\)
Bài 7 (trang 17 SGK Vật Lí 12):
Một con lắc đơn dài ℓ = 2 m, dao động điều hòa tại một nơi có gia tốc rơi tự do g = 9,8 m/s2. Hỏi con lắc thực hiện được bao nhiêu dao động toàn phần trong 5 phút ?
Lời giải:
Chu kì con lắc đơn là: \(T=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}=2\pi \sqrt{\frac{2}{9,8}}=2,84\,s.\)
Số dao động toàn phần con lắc thực hiện được trong 5 phút là:
\(N=\frac{\Delta t}{T}=\frac{5.60}{2,84}\approx\) 106 dao động.
Hi vọng bài học "Con lắc đơn" này giúp các em nắm vững kiến thức nền tảng để phục vụ cho những bài học tiếp theo của chương trình Vật lí lớp 12.