BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM
GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (SGK hình học 11 trang 125)
a) \({T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{A'}} = 3\\ {y_{A'}} = 2 \end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {3;2} \right)\)
Tương tự $${{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( B \right)=B'\Rightarrow B'\left( 2;4 \right)$$
$${{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( C \right)=C'\Rightarrow C'\left( 4;5 \right)$$
b) Đ\(_{Ox}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{A'}} = 1\\ {y_{A'}} = - 1 \end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {1; - 1} \right)\)
Tương tự Đ$$_{Ox}\left( B \right)=B'\Rightarrow B'\left( 0;-3 \right)$$
Đ$$_{Ox}\left( C \right)=C'\Rightarrow C'\left( 2;-4 \right)$$
c) Đ$$_{I}\left( A \right)=A'\Leftrightarrow \overrightarrow{IA'}=-\overrightarrow{IA}\Rightarrow A'\left( 3;1 \right)$$
Tương tự Đ$$_{I}\left( B \right)=B'\Rightarrow B'\left( 4;-1 \right)$$
Đ$$_{I}\left( C \right)=C'\Rightarrow C'\left( 2;-2 \right)$$
d) \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{A'}} = - {y_A} = - 1\\ {y_{A'}} = {x_A} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 1;1} \right)\)
Tương tự $${{Q}_{\left( O;{{90}^{0}} \right)}}\left( B \right)=B'\Rightarrow B'\left( -3;0 \right)$$
$${{Q}_{\left( O;{{90}^{0}} \right)}}\left( C \right)=C'\Rightarrow C'\left( -4;2 \right)$$
e) $$A\xrightarrow{{{D}_{Oy}}}{{A}_{1}}\xrightarrow{{{V}_{\left( O;-2 \right)}}}{{A}_{2}}$$
Đ\(_{Oy}\left( A \right) = {A_1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{{A_1}}} = - {x_A} = - 1\\ {y_{{A_1}}} = {y_A} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow {A_1}\left( { - 1;1} \right)\)
\({V_{\left( {O; - 2} \right)}}\left( {{A_1}} \right) = {A_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{{A_2}}} = k{x_{{A_1}}} = 2\\ {y_{{A_2}}} = k{x_{{A_1}}} = - 2 \end{array} \right. \Rightarrow {A_2}\left( {2; - 2} \right)\)
Tương tự $$B\xrightarrow{{{D}_{Oy}}}{{B}_{1}}\left( 0;3 \right)\xrightarrow{{{V}_{\left( O;-2 \right)}}}{{B}_{2}}\left( 0;-6 \right)$$
$$C\xrightarrow{{{D}_{Oy}}}{{C}_{1}}\left( -2;4 \right)\xrightarrow{{{V}_{\left( O;-2 \right)}}}{{C}_{2}}\left( 4;-8 \right)$$
Bài 2. (SGK hình học 11 trang 125)
a) Ta có G là trọng tâm $$\Delta ABC$$
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {GA'} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {GA} \\ \overrightarrow {GB'} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {GB} \\ \overrightarrow {GC'} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {GC} \end{array} \right. \Rightarrow {F_{\left( {G; - \frac{1}{2}} \right)}}\) biến $$A;B;C$$ tương ứng thành $$A';B';C'\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$$
b) A’ là trung điểm BC$$\Rightarrow OA'\bot BC$$
Mà $$B'C'//BC\Rightarrow OA'\bot B'C'$$
Tương tự $$\Rightarrow OB'\bot A'C'$$
$$\Rightarrow O$$ là trực tâm của $$\Delta A'B'C'\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$$
Mà $$H$$là trực tâm của $$\Delta ABC\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$$
Từ $$\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\Rightarrow {{F}_{\left( G;-\frac{1}{2} \right)}}\left( H \right)=O\Rightarrow \overrightarrow{GO}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GH}$$
$$\Rightarrow O;G;H$$ thẳng hàng.
c) Gọi $$O'={{F}_{\left( G;-\frac{1}{2} \right)}}\left( O \right)\Rightarrow \overrightarrow{GO'}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GO}$$
Mà $$\overrightarrow{GO}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GH}\Rightarrow \overrightarrow{OG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{GH}$$
Cộng vế - vế ta có \[\overrightarrow{OO'}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{GH}-\overrightarrow{GO} \right)=\frac{1}{2}\overrightarrow{OH}\]
$$\Rightarrow O'$$ là trung điểm $$OH$$.
d) Ta có $$A'';B'';C''$$ lần lượt là trung điểm $$AH;BH;CH$$
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {HA''} = \frac{1}{2}\overrightarrow {HA} \\ \overrightarrow {HB''} = \frac{1}{2}\overrightarrow {HB} \\ \overrightarrow {HC''} = \frac{1}{2}\overrightarrow {HC} \end{array} \right. \Rightarrow {V_{\left( {H;\frac{1}{2}} \right)}}\) biến $$A;B;C$$ tương ứng thành $$A'';B'';C''$$
Ta có $$\widehat{CB{{A}_{1}}}=\widehat{{{A}_{1}}AC}$$ (cùng chắn cung $$\overset\frown{{{A}_{1}}C}$$)
$$\widehat{CB{{B}_{1}}}=\widehat{{{A}_{1}}AC}$$ (cùng phụ $$\widehat{ACB}$$)
\[\Rightarrow \widehat{CB{{A}_{1}}}=\widehat{CB{{B}_{1}}}\Rightarrow BC\] là phân giác của \[\widehat{HB{{A}_{1}}}\]
Mà $$BC$$ là đường cao của $$\Delta HB{{A}_{1}}$$
$$\Rightarrow \Delta HB{{A}_{1}}$$ cân tại B.
$$\Rightarrow {{A}_{1}}$$ là trung điểm $$H{{A}_{1}}$$
Chứng minh tương tự ta có $${{B}_{1}};{{C}_{1}}$$ lần lượt là trung điểm $$H{{B}_{1}};H{{C}_{1}}$$
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {H{A_1}'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {H{A_1}} \\ \overrightarrow {H{B_1}'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {H{B_1}} \\ \overrightarrow {H{C_1}'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {H{C_1}} \end{array} \right. \Rightarrow {V_{\left( {H;\frac{1}{2}} \right)}}\) biến $${{A}_{1}};{{B}_{1}};{{C}_{1}}$$ tương ứng thành $${{A}_{1}}';{{B}_{1}}';{{C}_{1}}'$$
e) Gọi $${{A}_{2}};{{B}_{2}};{{C}_{2}}$$ lần lượt là các điểm đối xứng với $$A;B;C$$ qua tâm $$O$$.
Ta có $$\widehat{BC{{A}_{2}}}=\widehat{{{A}_{1}}AC}$$ (cùng phụ $$\widehat{ACB}$$)
Mà $$\widehat{CB{{B}_{1}}}=\widehat{{{A}_{1}}AC}$$ (chứng minh ý d)
\[\Rightarrow \widehat{BC{{A}_{2}}}=\widehat{CB{{B}_{1}}}\Rightarrow BH//C{{A}_{2}}\]
Mặt khác, \[\widehat{CB{{A}_{2}}}=\widehat{BC{{C}_{1}}}\](cùng phụ $$\widehat{ABC}$$)
$$\Rightarrow HC//B{{A}_{2}}$$
$$\Rightarrow BHC{{A}_{2}}$$ là hình bình hành.
Mà $$A'$$ là trung điểm của $$BC\Rightarrow A'$$ là trung điểm của $$H{{A}_{2}}$$
Chứng minh tương tự ta có $$B';C'$$ lần lượt là trung điểm của $$H{{B}_{2}};H{{C}_{2}}$$
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {HA'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {H{A_2}} \\ \overrightarrow {HB'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {H{B_2}} \\ \overrightarrow {HC'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {H{C_2}} \end{array} \right. \Rightarrow {V_{\left( {H;\frac{1}{2}} \right)}}\) biến $${{A}_{2}};{{B}_{2}};{{C}_{2}}$$ tương ứng thành $$A';B';C'$$
$$\Rightarrow A';B';C';A'';B'';C'';{{A}_{1}}';{{B}_{1}}';{{C}_{1}}'$$ lần lượt là ảnh của \({{A}_{2}};{{B}_{2}};{{C}_{2}};A;B;C;{{A}_{1}};{{B}_{1}};{{C}_{1}}\) qua $${{V}_{\left( H;\frac{1}{2} \right)}}$$
Mà \({{A}_{2}}; {{ B }_{2}};{{C}_{2}};A;B;C;{{A}_{1}};{{B}_{1}};{{C}_{1}}\in \left( O \right)\)
$$\Rightarrow A';B';C';A'';B'';C'';{{A}_{1}}';{{B}_{1}}';{{C}_{1}}'\in \left( O' \right)$$ là ảnh của $$\left( O \right)$$qua $${{V}_{\left( H;\frac{1}{2} \right)}}$$.
Bài 3. (SGK hình học 11 trang 126)
a) Gọi $$N=EM\cap CD$$
Ta có $$CD//AB\Rightarrow \frac{ND}{MA}=\frac{NE}{ME}=\frac{NC}{MB}$$
Vì $$MA=MB\Rightarrow ND=NC\Rightarrow N$$ là trung điểm CD.
$$\Rightarrow G\in EN\Rightarrow E;G;M$$ thẳng hàng.
$$\Rightarrow S;E;M;G\in \left( \alpha \right)$$
Gọi $$O=EM\cap BD$$
Ta có $$CD//AB\Rightarrow \frac{O'N}{O'M}=\frac{ND}{MB}\Rightarrow \frac{ON}{OM}=\frac{O'N}{O'M}$$
Mà $$O;O'$$ nằm giữa $$M,N\Rightarrow O\equiv O'$$
$$\Rightarrow AC;BD;EM$$ đồng quy tại O.
$$\Rightarrow O$$ thuộc ba mặt phẳng $$\left( SAC \right);\left( SBD \right);\left( \alpha \right)$$
Mặt khác, $$S$$thuộc ba mặt phẳng $$\left( SAC \right);\left( SBD \right);\left( \alpha \right)$$
$$\Rightarrow \left( \alpha \right)$$ cắt hai mặt phẳng $$\left( SAC \right);\left( SBD \right)$$ theo cùng một giao tuyến là đường thẳng $$d\equiv SO$$
b) Ta có $$E=AD\cap BC\Rightarrow E\in \left( SAD \right)\cap \left( SBC \right)$$
Mà $$S\in \left( SAD \right)\cap \left( SBC \right)$$
$$\Rightarrow \left( SAD \right)\cap \left( SBC \right)=SE$$
c) Gọi \(I = AC' \cap BD' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} I \in AC' \subset \left( {SAC} \right)\\ I \in BD' \subset \left( {SBD} \right) \end{array} \right.\)
Mà \[\left( SAC \right)\cap \left( SBD \right)=d\Rightarrow I\in d\]
Bài 4. (SGK hình học 11 trang 126)
Trong $$\Delta ACC'$$ có: $$AM=MC';AE=EC\Rightarrow ME$$ là đường trung bình trong $$\Delta ACC'$$
$$\Rightarrow ME//CC';ME=\frac{1}{2}CC'$$
Chứng minh tương tự ta có $$NF//DD';NF=\frac{1}{2}DD'$$.
Mà $$CC'//DD';CC'=DD'$$
$$\Rightarrow MNFE$$ là hình bình hành $$\Rightarrow MN=FE$$
Bài 5. (SGK hình học 11 trang 126)
Kẻ $$FG//AB\left( G\in CC' \right)$$
Ta có $$\left( EFB \right)\cap \left( ABB'A' \right)=AB$$
$$\left( EFB \right)\cap \left( BCC'B' \right)=BG$$
$$\left( EFB \right)\cap \left( CDD'C' \right)=GF$$
$$\left( EFB \right)\cap \left( ADD'A' \right)=FA$$
$$\Rightarrow $$Thiết diện là tứ giác $$ABGF$$
Mặt khác, $$AB//FG;AB=FG\Rightarrow ABGF$$ là hình bình hành.
Mà $$AB\bot \left( BCC'B' \right)\Rightarrow AB\bot BG\Rightarrow ABGF$$ là hình chữ nhật.
Gọi $$J=CE\cap AD;I=FJ\cap AA'$$
Ta có $$\left( EFC \right)\cap \left( ABCD \right)=CE$$
$$\left( EFC \right)\cap \left( ABB'A' \right)=EI\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$$
$$\left( EFC \right)\cap \left( ADD'A' \right)=IF$$
$$\left( EFC \right)\cap \left( CDD'C' \right)=FC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$$
$$\Rightarrow $$Thiết diện là tứ giác $$CEIF$$
Ta có $$\left( ABB'A' \right)//\left( CDD'C' \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$$
Từ $$\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\Rightarrow EI//FC\Rightarrow CEIF$$ là hình thang.
Gọi $$M=C'F\cap CD;N=ME\cap AD;Q=ME\cap BC;P=QC'\cap BB'$$
Ta có $$\left( EFC' \right)\cap \left( ABCD \right)=NE$$
$$\left( EFC' \right)\cap \left( ABB'A' \right)=EP$$
$$\left( EFC' \right)\cap \left( ADD'A' \right)=FN$$
$$\left( EFC' \right)\cap \left( CDD'C' \right)=C'F$$
$$\left( EFC' \right)\cap \left( BCC'B' \right)=PC'$$
$$\Rightarrow $$Thiết diện là ngũ giác $$EPC'FN$$
Ta có $$\left( ABB'A' \right)//\left( CDD'C' \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$$
Từ $$\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\Rightarrow EI//FC\Rightarrow CEIF$$ là hình thang.
Kẻ $$EM//AB'\Rightarrow M$$ là trung điểm BB’.
Ta có $$MK//BC'$$(với MK là đường trung bình của $$\Delta BB'C'$$
$$BC'//AD'$$
$$\Rightarrow MK//AD'\Rightarrow \left( MEK \right)//\left( AB'D' \right)$$
Ta có $$MF$$ là đường trung bình của hình chữ nhật $$BDD'B'\Rightarrow MF//B'D'\Rightarrow MF//\left( AB'D' \right)$$
Mà $$M\in \left( MEK \right);\left( MEK \right)//\left( AB'D' \right)$$
$$\Rightarrow MF\subset \left( MEK \right)\Rightarrow \left( MEK \right)\equiv \left( EFK \right)\Rightarrow \left( EFK \right)//\left( AB'D' \right)$$
Kẻ $$KN//B'D';FH//AD'$$
$$\Rightarrow N;H\in \left( EFK \right)$$
$$\Rightarrow $$Thiết diện cắt bởi $$\left( EFK \right)$$ là lục giác $$EMKNFH$$.
Vì $$E;M;K;N;F;H$$ lần lượt là trung điểm của $$AB;BB';B'C';C'D';DD';AD$$ nên $$EMKNFH$$ là lục giác đều.
Bài 6. (SGK hình học 11 trang 126)
a) Gọi $$I=BC'\cap B'C$$
Trong $$\left( ABC'D' \right)$$, kẻ $$IK\bot BD'\,\,\,\,\left( 1 \right)$$
Ta có \[AB\bot \left( BCC'B' \right)\Rightarrow AB\bot B'C\]
Mà \[BC'\bot B'C\Rightarrow B'C\bot \left( ABC'D' \right)\Rightarrow B'C\bot IK\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\]
Từ $$\left( 1 \right);\left( 2 \right)\Rightarrow IK$$ là đường vuông góc chung của BD’ và B’C.
b) Ta có \[C'D'\bot \left( BCC'B' \right)\Rightarrow C'D'\bot BC'\Rightarrow \Delta BD'C'\] vuông tại C’.
Xét $$\Delta BIK\sim \Delta BD'C'\left( g.g \right)$$
$$\Rightarrow \frac{IK}{D'C'}=\frac{BI}{BD'}\Rightarrow IK=\frac{BI.D'C'}{BD'}$$
Mà $$BI=\frac{BC'}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$$
\(\begin{array}{l} BD' = \sqrt {C'{B^2} + C'D{'^2}} = a\sqrt 3 \\ D'C' = a\\ \Rightarrow IK = \frac{{a\sqrt 6 }}{6} \end{array}\)
Bài 7. (SGK hình học 11 trang 126)
a) Ta có $$SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot BC$$
Mà $$AB\bot BC$$ (do ABCD là hình thang vuông tại A và B)
$$\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB\Rightarrow \widehat{SBC}={{90}^{0}}$$
Gọi $$M$$ là trung điểm $$AD\Rightarrow AM=a$$
Vì $$AM//BC;AM=BC\left( =AB \right)$$ nên tứ giác ABCM là hình thoi.
$$\Rightarrow CM=a=\frac{AD}{2}\Rightarrow \Delta ACD$$ vuông tại $$C\Rightarrow DC\bot AC$$
Mà $$DC\bot SA\left( SA\bot \left( ABCD \right) \right)$$
$$\Rightarrow DC\bot \left( SAC \right)\Rightarrow DC\bot SC\Rightarrow \widehat{SCD}={{90}^{0}}$$
b) Ta có $$AB\bot SA;AB\bot AD\Rightarrow AB\bot \left( SAD \right)\Rightarrow AB\bot SD\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$$
Mặt khác, $$DC\bot \left( SAC \right)\Rightarrow DC\bot AC'$$
Mà $$SC\bot AC'\Rightarrow AC'\bot \left( SCD \right)\Rightarrow AC'\bot SD\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$$
Lại có, $$AD'\bot SD\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$$
Từ $$\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\Rightarrow AD';AC';BC$$ cùng nằm trên mặt phẳng $$\left( \alpha \right)$$ qua A và vuông góc với SD.
c) Gọi $$K=AB\cap CD$$
Ta có $$\left( \alpha \right)\cap \left( ABCD \right)=AB$$
$$\left( \alpha \right)\cap \left( SCD \right)=C'D'$$
$$\left( ABCD \right)\cap \left( SCD \right)=CD$$
$$\Rightarrow AB;C'D';CD$$ đồng quy tại K hay \[C'D'\] luôn đi qua điểm K cố định khi S chạy trên $$Ax$$.