ÔN TẬP CUỐI NĂM
GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. SGK Đại số 11 trang 178
| \[y=\sin x\] | \[y=\cos x\] | \[y=\tan x\] | \[y=\cot x\] |
Định nghĩa | Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực \[\sin x\] : \(\begin{gathered} \sin :\mathbb{R} \to \mathbb{R} \hfill \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,x \mapsto y = \sin x \hfill \\ \end{gathered} \) được gọi là hàm số \[\sin \] . Kí hiệu : \[y=\sin x\] | Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực \[\cos x\] : \(\begin{gathered} \cos :\mathbb{R} \to \mathbb{R} \hfill \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \mapsto y = \cos x \hfill \\ \end{gathered} \) được gọi là hàm côsin. Kí hiệu : \[y=\cos x\] | Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức: \[y=\frac{\sin x}{\cos x}\left( \cos x\ne 0 \right)\] Kí hiệu : \[y=\tan x\] | Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức : \[y=\frac{\cos x}{\sin x}\left( \sin x\ne 0 \right)\] Kí hiệu : \[y=\cot x\] |
Tập xác định | R | R | \[R\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi \right\}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\] | \[R\backslash \left\{ k\pi \right\}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\] |
Tập giá trị | \[\left[ -1;1 \right]\] | \[\left[ -1;1 \right]\] | R | R |
Bài 2. SGK Đại số 11 trang 178
Hàm số | \[y=\sin x\] | \[y=\cos x\] | \[y=\tan x\] | \[y=\cot x\] |
Chu kì | \[2\pi \] | \[2\pi \] | \[\pi \] | \[\pi \] |
Bài 3. SGK Đại số 11 trang 178
Phương trình | \[\sin x=a\] | \[\cos x=a\] | \[\tan x=a\] | \[\cot x=a\] |
Cách giải | +) \[\left| a \right|>1\] : Phương trình vô nghiệm. +) \[\left| a \right|\le 1\] : \[\sin x=a\] \[\Leftrightarrow \sin x=\sin \alpha \] \(\begin{gathered} \Leftrightarrow x = \alpha + k2\pi ; \hfill \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \hfill \\ \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \) | +) \[\left| a \right|>1\] : Phương trình vô nghiệm. +) \[\left| a \right|\le 1\] : \[\cos x=a\] \[\Leftrightarrow \cos x=\cos \alpha \] \(\begin{gathered} \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \hfill \\ \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \) | Điều kiện : \[\begin{align} & x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ & \left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{align}\] \[\tan x=a\] \[\Leftrightarrow \tan x=\tan \alpha \] \(\begin{gathered} \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \hfill \\ \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \) | Điều kiện : \[x\ne k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\] \[\cot x=a\] \[\Leftrightarrow \cot x=\cot \alpha \] \(\begin{gathered} \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \hfill \\ \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \) |
Phương trình \[a\sin x+b\cos x=c\] (*)
+) \[a=0\] hoặc \[b=0\] => Phương trình lượng giác cơ bản.
+) \[a,b\ne 0\] :
Chia cả hai vế của (*) cho \[\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\] ta có :
\[\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\cos x=\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\]
\[\Leftrightarrow \sin \left( x+\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\]
Với \[\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}};\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\]
Bài 4. SGK Đại số 11 trang 178
- Công thức : \[{{P}_{n}}=n!\left( n>1 \right)\]
- Ví dụ :
Xếp 5 học sinh vào 1 dãy bàn gồm 5 ghế thì có \[{{P}_{5}}=5!\] cách.
Bài 5. SGK Đại số 11 trang 178
+) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử : \[A_{n}^{k}=\frac{n!}{\left( n-k \right)!}\left( 1\le k\le n \right)\]
Ví dụ : Số các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 là:
\[A_{6}^{3}=\frac{6!}{\left( 6-3 \right)!}=120\]
+) Số tổ hợp chập k của n phần tử : \[C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}\left( 0\le k\le n \right)\]
Ví dụ : Chọn ngẫu nhiên 3 bông hoa trong 5 bông hoa để cắm vào 3 lọ có \[C_{5}^{3}\] cách.
Bài 6. SGK Đại số 11 trang 178
\[{{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\nolimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}+C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}b+...+C_{n}^{n-1}a{{b}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{b}^{n}}}\]
Bài 7. SGK Đại số 11 trang 178
Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện.
Ta gọi tỉ số \[\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}\] là xác suất của biến cố A.
Kí hiệu : \[P\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}\]
Với \[n\left( A \right)\] : số phần tử của A
\[n\left( \Omega \right)\] : số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.
Bài 8. SGK Đại số 11 trang 178
* Phương pháp quy nạp toán học
- Bước 1 : Kiểm tra mệnh đề đúng với \[n=1\] .
- Bước 2 : Giả thiết mệnh đề đúng với \[n=k\ge 1\] .
Chứng minh rằng nó cũng đúng với \[n=k+1\] .
- Bước 3 : Kết luận.
* Ví dụ : Chứng minh \[{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}}=\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}\] (*)
+ Với \[n=1\] ta có : \[{{1}^{1}}=\frac{1.2.3}{6}\] (đúng)
+ Giả sử (*) đúng với \[n=k\ge 1\] , tức là
\[{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{k}^{2}}=\frac{k\left( k+1 \right)\left( 2k+1 \right)}{6}\]
Ta cần chứng minh (*) đúng với \[n=k+1\] , tức là
\[{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{\left( k+1 \right)}^{2}}=\frac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left[ 2\left( k+1 \right)+1 \right]}{6}\]
Thật vậy :
\[VT={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{k}^{2}}+{{\left( k+1 \right)}^{2}}=\frac{k\left( k+1 \right)\left( 2k+1 \right)}{6}+{{\left( k+1 \right)}^{2}}\]
\[=\frac{k\left( k+1 \right)\left( 2k+1 \right)+6{{\left( k+1 \right)}^{2}}}{6}\]
\[=\frac{\left( k+1 \right)\left[ k\left( 2k+1 \right)+6\left( k+1 \right) \right]}{6}\]
\[=\frac{\left( k+1 \right)\left( 2{{k}^{2}}+7k+6 \right)}{6}\]
\[=\frac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( 2k+3 \right)}{6}\]
\[=\frac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left[ 2\left( k+1 \right)+1 \right]}{6}=VP\]
Vậy \[{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}}=\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}\] .
Bài 9. SGK Đại số 11 trang 180
Gọi cấp số nhân \[\left( {{u}_{n}} \right)\] với số hạng đầu \[\left( {{u}_{1}} \right)\] và công bội q.
Ta có : \[{{u}_{3}}-{{u}_{2}}=12;{{u}_{1}}+10+{{u}_{3}}=2\left( {{u}_{2}}+8 \right)\]
\[\Leftrightarrow {{u}_{1}}{{q}^{2}}-{{u}_{1}}q=12;{{u}_{1}}+10+{{u}_{1}}{{q}^{2}}=2\left( {{u}_{1}}q+8 \right)\]
\[\Leftrightarrow {{u}_{1}}\left( {{q}^{2}}-q \right)=12;{{u}_{1}}\left( {{q}^{2}}-2q+1 \right)=6\]
\[\Leftrightarrow {{u}_{1}}\left( {{q}^{2}}-q \right)=12;\frac{{{q}^{2}}-q}{{{q}^{2}}-2q+1}=2\left( {{u}_{1}}\ne 0,q\ne 1 \right)\]
\[\Leftrightarrow {{u}_{1}}=6;q=2\]
\[\Rightarrow \] Tổng của 5 số hạng đầu là \[{{S}_{5}}={{u}_{1}}.\frac{1-{{q}^{5}}}{1-q}=186\]
Bài 10. SGK Đại số 11 trang 180
a) \[\lim \frac{\left( n+1 \right){{\left( 3-2n \right)}^{2}}}{{{n}^{3}}+1}=\lim \frac{\left( 1+\frac{1}{n} \right){{\left( \frac{3}{n}-2 \right)}^{2}}}{1+\frac{1}{{{n}^{3}}}}=4\]
b) \[\lim \left( \frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{2}{{{n}^{2}}+1}+\frac{3}{{{n}^{2}}+1}+...+\frac{n-1}{{{n}^{2}}+1} \right)\]
\[=\lim \frac{1+2+3+...+\left( n-1 \right)}{{{n}^{2}}+1}\]
\[=\lim \frac{n\left( n-1 \right)}{2\left( {{n}^{2}}+1 \right)}\]
\[=\lim \frac{1.\left( 1-\frac{1}{n} \right)}{2\left( 1+\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)}=\frac{1}{2}\]
c) \[\lim \frac{\sqrt{4{{n}^{2}}+1}+n}{2n+1}=\lim \frac{\sqrt{4+\frac{1}{{{n}^{2}}}}+1}{2+\frac{1}{n}}=\frac{3}{2}\]
d) \[\lim \sqrt{n}\left( \sqrt{n-1}-\sqrt{n} \right)\]
\[=\lim \sqrt{n}\frac{\left( n-1 \right)-n}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}\]
\[=\lim \frac{-\sqrt{n}}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}\]
\[=\lim \frac{-1}{\sqrt{1-\frac{1}{n}}+1}=-\frac{1}{2}\]
Bài 11. SGK Đại số 11 trang 180
a) \[\lim {{u}_{n}}=\lim \frac{n}{{{n}^{2}}+1}=\lim \frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}=0\]
b) \[\lim {{v}_{n}}=\lim \frac{n\cos \frac{\pi }{n}}{{{n}^{2}}+1}=\lim \left( \frac{n}{{{n}^{2}}+1}.\cos \frac{\pi }{n} \right)\]
Vì \[n\to +\infty \] nên \[\frac{\pi }{n}\to 0\]
\[\Rightarrow \lim \cos \frac{\pi }{n}=1\]
\[\Rightarrow \lim {{v}_{n}}=0.1=0\]
Bài 12. SGK Đại số 11 trang 180
+ Chọn dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right)\] với \[{{x}_{n}}=2\pi .n\left( n\in {{N}^{*}} \right)\]
\[\lim {{x}_{n}}=\lim \left( 2\pi .n \right)=+\infty \]
\[\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\lim f\left( {{x}_{n}} \right)=\lim \cos \left( 2\pi .n \right)=1\] (*)
+ Chọn dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right)\] với \[{{x}_{n}}=\frac{\pi }{2}+2\pi n\left( n\in {{N}^{*}} \right)\]
\[\lim {{x}_{n}}=\lim \left( \frac{\pi }{2}+2\pi .n \right)=+\infty \]
\[\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\lim f\left( {{x}_{n}} \right)=\lim \cos \left( \frac{\pi }{2}+2\pi n \right)=0\] (**)
(*),(**) \[\Rightarrow \] Điều phải chứng minh.
Bài 13. SGK Đại số 11 trang 180
a) \[\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{6-3x}{\sqrt{2{{x}^{2}}+1}}=\frac{6-3\left( -2 \right)}{\sqrt{2.{{\left( -2 \right)}^{2}}+1}}=4\]
b) \[\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-\sqrt{3x-2}}{{{x}^{2}}-4}\]
\[=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-\sqrt{3x-2} \right)\left( x+\sqrt{3x-2} \right)}{\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( x+\sqrt{3x-2} \right)}\]
\[=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( x+\sqrt{3x-2} \right)}\]
\[=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( x+\sqrt{3x-2} \right)}\]
\[=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{\left( x+2 \right)\left( x+\sqrt{3x-2} \right)}=\frac{1}{16}\]
c) \[\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3x+1}{x-2}\]
Ta có : \[\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)=-1\] ; \[\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x-2 \right)=0,x-2>0\left( x\to {{2}^{+}} \right)\]
\[\Rightarrow \underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3x+1}{x-2}=-\infty \]
d) \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}}+...+{{x}^{n}}-\frac{n}{1-x} \right)\]
\[=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{x\left( 1-{{x}^{n}} \right)}{1-x}-\frac{n}{1-x} \right)\]
\[=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( 1-{{x}^{n}} \right)-n}{1-x}\]
Ta có : \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ x\left( 1-{{x}^{n}} \right)-n \right]=-n<0\] ; \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 1-x \right)=0;1-x>0\left( x\to {{1}^{-}} \right)\]
\[\Rightarrow \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( 1-{{x}^{n}} \right)-n}{1-x}=-\infty \]
e) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1}{x+3}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2-\frac{1}{x}}{1+\frac{3}{x}}=2\]
f) \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+\sqrt{4{{x}^{2}}-1}}{2-3x}\]
\[=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+\left| x \right|\sqrt{4-\frac{1}{{{x}^{2}}}}}{2-3x}\]
\[=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x-x\sqrt{4-\frac{1}{{{x}^{2}}}}}{2-3x}\]
\[=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\sqrt{4-\frac{1}{{{x}^{2}}}}}{\frac{2}{x}-3}=\frac{1}{3}\]
g) \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-3x+1 \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}\left( -2+\frac{1}{x}-\frac{3}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)\]
Ta có : \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}=-\infty ;\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2+\frac{1}{x}-\frac{3}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)=-2\]
\[\Rightarrow \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-3x+1 \right)=+\infty \]
Bài 14. SGK Đại số 11 trang 181
\[\sin x=x-1\Leftrightarrow \sin x-x+1=0\]
Xét hàm số \[f\left( x \right)=\sin x-x+1\] liên tục trên R.
Ta có : \[f\left( 0 \right)=1;f\left( \pi \right)=1-\pi \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( \pi \right)=1-\pi <0\]
\[\Rightarrow \] Phương trình \[\sin x-x+1=0\] có ít nhất 1 nghiệm thuộc \[\left( 0;\pi \right)\]
Bài 15. SGK Đại số 11 trang 181
Xét hàm số \[f\left( x \right)={{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+x-1\] liên tục trên R
Ta có : \[f\left( -1 \right)=2;f\left( 0 \right)=-1\Rightarrow f\left( -1 \right)f\left( 0 \right)=-2<0\]
\[\Rightarrow \] Phương trình \[{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+x-1=0\] có ít nhất 1 nghiệm thuộc \[\left( -1;0 \right)\]
\[\Rightarrow \] Phương trình có nghiệm thuộc \[\left( -1;3 \right)\]
Bài 16. SGK Đại số 11 trang 181
a) \[f\left( x \right)={{\sin }^{3}}2x\]
\[\Rightarrow f'\left( x \right)=3{{\sin }^{2}}2x.\left( \sin 2x \right)'=6{{\sin }^{2}}2x.\cos 2x\]
Ta có : \[f'\left( x \right)=g\left( x \right)\]
\[\Leftrightarrow 6{{\sin }^{2}}2x\cos 2x=4\cos 2x-5\sin 4x\]
\[\Leftrightarrow 6{{\sin }^{2}}2x\cos 2x=4\cos 2x-10\sin 2x\cos 2x\]
\[\Leftrightarrow \cos 2x\left( 6{{\sin }^{2}}2x-4+10\sin 2x \right)=0\]
\[\Leftrightarrow \cos 2x=0;6{{\sin }^{2}}2x+10\sin 2x-4=0\]
\[\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right);\sin 2x=-2\] (loại); \[\sin 2x=\frac{1}{3}\]
\[\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2};2x=\arcsin \frac{1}{3}+k2\pi ;2x=\pi -\arcsin \frac{1}{3}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
\[\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2};x=\frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{3}+k\pi ;x=\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{3}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
b) \[f\left( x \right)=20\cos 3x+12\cos 5x-15\cos 4x\]
\[\Rightarrow f'\left( x \right)=-60\sin 3x-60\sin 5x+60\sin 4x\]
Ta có : \[f'\left( x \right)=0\]
\[\Leftrightarrow \sin 3x+\sin 5x-\sin 4x=0\]
\[\Leftrightarrow 2\sin 4x\cos x-\sin 4x=0\]
\[\Leftrightarrow \sin 4x\left( 2\cos x-1 \right)=0\]
\[\Leftrightarrow \sin 4x=0;\cos x=\frac{1}{2}\]
\[\Leftrightarrow 4x=k\pi ;x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
\[\Leftrightarrow x=k\frac{\pi }{4};x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
Bài 17. SGK Đại số 11 trang 181
a) \[y=\frac{1}{{{\cos }^{2}}3x}\]
\[\Rightarrow y'=-\frac{\left( {{\cos }^{2}}3x \right)'}{{{\cos }^{4}}3x}=-\frac{2\cos 3x.\left( -3\sin 3x \right)}{{{\cos }^{4}}3x}=\frac{6\sin 3x}{{{\cos }^{3}}3x}\]
b) \[y=\frac{\cos \left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\]
\[\Rightarrow y'=\frac{\left( \cos \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)'.\sqrt{{{x}^{2}}+1}-\cos \sqrt{{{x}^{2}}+1}.\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)'}{{{x}^{2}}+1}\]
\[=\frac{-\sqrt{{{x}^{2}}+1}.\left( \sin \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}-\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}.\cos \sqrt{{{x}^{2}}+1}}{{{x}^{2}}+1}\]
\[=\frac{-x\sin \sqrt{{{x}^{2}}+1}-\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\cos \sqrt{{{x}^{2}}+1}}{{{x}^{2}}+1}\]
\[=-\frac{x\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}\sin \sqrt{{{x}^{2}}+1}+\cos \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}}}\]
c) \[y=\left( 2-{{x}^{2}} \right)\cos x+2x\sin x\]
\[\Rightarrow y'=-2x\cos x-\left( 2-{{x}^{2}} \right)\sin x+2\sin x+2x\cos x={{x}^{2}}\sin x\]
d) \[y=\frac{\sin x-x\cos x}{\cos x+x\sin x}\]
\[\Rightarrow y'=\frac{x\sin x\left( \cos x+x\sin x \right)-x\cos x\left( \sin x-x\cos x \right)}{{{\left( \cos x+x\sin x \right)}^{2}}}\]
\[=\frac{{{x}^{2}}\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}{{{\left( \cos x+x\sin x \right)}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( \cos x+x\sin x \right)}^{2}}}\]
Bài 18. SGK Đại số 11 trang 181
a) \[y=\frac{1}{x+1}\]
\[\Rightarrow y'=-\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\]
\[\Rightarrow y''=\frac{2\left( x+1 \right)}{{{\left( x+1 \right)}^{4}}}=\frac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}\]
b) \[y=\frac{1}{x\left( 1-x \right)}=\frac{1}{x-{{x}^{2}}}\]
\[\Rightarrow y'=-\frac{1-2x}{{{\left( x-{{x}^{2}} \right)}^{2}}}=\frac{2x-1}{{{\left( x-{{x}^{2}} \right)}^{2}}}\]
\[\Rightarrow y''=\frac{2{{\left( x-{{x}^{2}} \right)}^{2}}-\left( 2x-1 \right)\left[ 2\left( x-{{x}^{2}} \right)\left( 1-2x \right) \right]}{{{\left( x-{{x}^{2}} \right)}^{4}}}=\frac{2\left( 3{{x}^{2}}-3x+1 \right)}{{{\left( x-{{x}^{2}} \right)}^{3}}}\]
c) \[y=\sin ax\]
\[\Rightarrow y'=a\cos ax\]
\[\Rightarrow y''=-{{a}^{2}}\sin ax\]
d) \[y={{\sin }^{2}}x\]
\[\Rightarrow y'=2\sin x.\cos x=\sin 2x\]
\[\Rightarrow y''=2\cos 2x\]
Bài 19. SGK Đại số 11 trang 181
Ta có \[f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2bx+c\]
Theo bài ra ta có :
\[f\left( -1 \right)=-3;f\left( 1 \right)=-1;f'\left( \frac{1}{3} \right)=0\]
\[\Leftrightarrow -1+b-c+d=-3;1+b+c+d=-1;\frac{1}{3}+\frac{2}{3}b+c=0\]
\[\Leftrightarrow b=-\frac{1}{2};c=0;d=-\frac{3}{2}\]
Bài 20. SGK Đại số 11 trang 181
\[f\left( x \right)={{x}^{3}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-\frac{3}{2}\]
\[\Rightarrow f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-x\]
a) Ta có : \[f\left( -1 \right)=-3;f'\left( -1 \right)=4\]
\[\Rightarrow \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \[x=-1\] là :
\[y=4\left( x+1 \right)-3=4x+1\]
b) \[f'\left( \sin x \right)=0\]
\[\Leftrightarrow 3{{\sin }^{2}}x-\sin x=0\]
\[\Leftrightarrow \sin x=0;\sin x=\frac{1}{3}\]
\[\Leftrightarrow x=k\pi ;x=\arcsin \frac{1}{3}+k2\pi ;x=\pi -\arcsin \frac{1}{3}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
c) Ta có : \[f''\left( x \right)=6x-1;g'\left( x \right)=2x-3\]
\[\Rightarrow \frac{f''\left( \sin 5x \right)+1}{g'\left( \sin 3x \right)+3}=\frac{6\sin 5x}{2\sin 3x}=\frac{3\sin 5x}{\sin 3x}\]
\[\Rightarrow \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{3\sin 5x}{\sin 3x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,3.\frac{\frac{\sin 5x}{5x}}{\frac{\sin 3x}{3x}}.\frac{5}{3}=5\]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa ôn tập cuối năm đại số 11, toán đại số 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất