ÔN TẬP CHƯƠNG V
A.LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Quy tắc tính đạo hàm: \[u=u\left( x \right),v=v\left( x \right)\]
\[\left( u\pm v \right)'=u'\pm v'\] ; \[\left( uv \right)'=u'v+uv'\] ; \[\left( \frac{u}{v} \right)'=\frac{u'v-uv'}{{{v}^{2}}}\]
Đạo hàm hàm hợp \[g=f\left( u\left( x \right) \right)\Leftrightarrow g{{'}_{x}}=f{{'}_{u}}.u'\left( x \right).\]
Bảng đạo hàm: \[\left( u=u\left( x \right) \right)\]
| \[\left( cx \right)'=c,c\] là hằng số | \[\left( cu \right)'=cu'\] (c là hằng số) | \[\left( \tan x \right)'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\] | \[\left( \tan u \right)'=\frac{u'}{{{\cos }^{2}}u}\] |
| \[\left( {{x}^{m}} \right)'=m{{x}^{m-1}}\] | \[\left( {{u}^{m}} \right)'=m{{u}^{m-1}}u'\] | \[\left( \cot x \right)'=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\] | \[\left( \cot u \right)'=-\frac{u'}{{{\sin }^{2}}u}\] |
| \[\left( \frac{1}{x} \right)'=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\] | \[\left( \frac{1}{u} \right)'=-\frac{u'}{{{u}^{2}}}\] | \[\left( \sin x \right)'=\cos x\] | \[\left( \sin u \right)'=u'.\cos u\] |
| \[\left( \sqrt{x} \right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\] | \[\left( \sqrt{u} \right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\] | \[\left( \cos x \right)'=-\sin x\] | \[\left( \cos u \right)'=-u'.\sin u\] |
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. SGK Đại số 11 trang 176
a) \[y=\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{2}}}{2}+x-5\]
\[\Rightarrow y'={{x}^{2}}-x+1\]
b) \[y=\frac{2}{x}-\frac{4}{{{x}^{2}}}+\frac{5}{{{x}^{3}}}-\frac{6}{7{{x}^{4}}}\]
\[\Rightarrow y'=-\frac{2}{{{x}^{2}}}+\frac{8}{{{x}^{3}}}-\frac{15}{{{x}^{4}}}+\frac{24}{7{{x}^{5}}}\]
c) \[y=\frac{3{{x}^{2}}-6x+7}{4x}\]
\[\Rightarrow y'=\frac{\left( 6x-6 \right).4x-4\left( 3{{x}^{2}}-6x+7 \right)}{16{{x}^{2}}}=\frac{12{{x}^{2}}-28}{16{{x}^{2}}}=\frac{3{{x}^{2}}-7}{4{{x}^{2}}}\]
d) \[y=\left( \frac{2}{x}+3x \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)\]
\[\Rightarrow y'=\left( -\frac{2}{{{x}^{2}}}+3 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)+\left( \frac{2}{x}+3x \right).\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{9{{x}^{2}}\sqrt{x}-6{{x}^{2}}-2\sqrt{x}+4}{2{{x}^{2}}}\]
e) \[y=\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\]
\[\Rightarrow y'=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\left( 1-\sqrt{x} \right)+\frac{1}{2\sqrt{x}}\left( 1+\sqrt{x} \right)}{{{\left( 1-\sqrt{x} \right)}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{x}{{\left( 1-\sqrt{x} \right)}^{2}}}\]
f) \[y=\frac{-{{x}^{2}}+7x+5}{{{x}^{2}}-3x}\]
\[\Rightarrow y'=\frac{\left( -2x+7 \right)\left( {{x}^{2}}-3x \right)-\left( 2x-3 \right)\left( -{{x}^{2}}+7x+5 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-3x \right)}^{2}}}=\frac{-4{{x}^{2}}-10x+15}{{{\left( {{x}^{2}}-3x \right)}^{2}}}\]
Bài 2. SGK Đại số 11 trang 176
a) \[y=2\sqrt{x}\sin x-\frac{\cos x}{x}\]
\[\Rightarrow y'=2.\frac{1}{2\sqrt{x}}\sin x+2\sqrt{x}\cos x-\frac{-\sin x.x-\cos x}{{{x}^{2}}}\]
\[=\frac{\sin x}{\sqrt{x}}+2\sqrt{x}\cos x+\frac{x\sin x+\cos x}{{{x}^{2}}}\]
\[=\frac{x\sqrt{x}\sin x+2{{x}^{2}}\sqrt{x}\cos x+x\sin x+\cos x}{{{x}^{2}}}\]
\[=\frac{\left( \sqrt{x}+1 \right)x\sin x+\left( 2{{x}^{2}}\sqrt{x}+1 \right)\cos x}{{{x}^{2}}}\]
b) \[y=\frac{3\cos x}{2x+1}\]
\[\Rightarrow y'=\frac{-3\sin x\left( 2x+1 \right)-2.3\cos x}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}=\frac{-3\left( 2x+1 \right)\sin x-6\cos x}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}\]
c) \[y=\frac{{{t}^{2}}+2\cos t}{\sin t}\]
\[\Rightarrow y'=\frac{\left( 2t-2\sin t \right)\sin t-\cos t\left( {{t}^{2}}+2\cos t \right)}{{{\sin }^{2}}t}=\frac{2t\sin t-{{t}^{2}}\cos t-2}{{{\sin }^{2}}t}\]
d) \[y=\frac{2\cos \varphi -\sin \varphi }{3\sin \varphi +\cos \varphi }\]
\[\Rightarrow y'=\frac{\left( -2\sin \varphi -\cos \varphi \right)\left( 3\sin \varphi +\cos \varphi \right)-\left( 2\cos \varphi -\sin \varphi \right)\left( 3\cos \varphi -\sin \varphi \right)}{{{\left( 3\sin \varphi +\cos \varphi \right)}^{2}}}\]
\[=\frac{-7{{\sin }^{2}}\varphi -7{{\cos }^{2}}\varphi }{{{\left( 3\sin \varphi +\cos \varphi \right)}^{2}}}\]
\[=\frac{-7}{{{\left( 3\sin \varphi +\cos \varphi \right)}^{2}}}\]
e) \[y=\frac{\tan x}{\sin x+2}\]
\[\Rightarrow y'=\frac{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\left( \sin x+2 \right)-\cos x.\tan x}{{{\left( \sin x+2 \right)}^{2}}}\]
\[=\frac{\sin x+2-{{\cos }^{3}}x.\frac{\sin x}{\cos x}}{{{\cos }^{2}}x{{\left( \sin x+2 \right)}^{2}}}\]
\[=\frac{2+\sin x-{{\cos }^{2}}x.\sin x}{{{\cos }^{2}}x{{\left( \sin x+2 \right)}^{2}}}\]
\[=\frac{2+\sin x\left( 1-{{\cos }^{2}}x \right)}{{{\cos }^{2}}x{{\left( \sin x+2 \right)}^{2}}}\]
\[=\frac{2+{{\sin }^{3}}x}{{{\cos }^{2}}x{{\left( \sin x+2 \right)}^{2}}}\]
f) \[y=\frac{\cot x}{2\sqrt{x}-1}\]
\[\Rightarrow y'=\frac{-\frac{2\sqrt{x}-1}{{{\sin }^{2}}x}-\frac{\cot x}{\sqrt{x}}}{{{\left( 2\sqrt{x}-1 \right)}^{2}}}\]
Bài 3. SGK Đại số 11 trang 176
\[f\left( x \right)=\sqrt{1+x}\Rightarrow f\left( 3 \right)=2\]
\[f'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}\Rightarrow f'\left( 3 \right)=\frac{1}{4}\]
\[\Rightarrow f\left( 3 \right)+\left( x-3 \right)f'\left( 3 \right)=2+\frac{x-3}{4}\]
Bài 4. SGK Đại số 11 trang 176
\[f\left( x \right)=\tan x\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\Rightarrow f'\left( 0 \right)=1\]
\[g\left( x \right)=\frac{1}{1-x}\Rightarrow g'\left( x \right)=\frac{1}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}\Rightarrow g'\left( 0 \right)=1\]
\[\Rightarrow \frac{f'\left( 0 \right)}{g'\left( 0 \right)}=1\]
Bài 5. SGK Đại số 11 trang 176
\[f\left( x \right)=3x+\frac{60}{x}-\frac{64}{{{x}^{3}}}+5\]
\[\Rightarrow f'\left( x \right)=3-\frac{60}{{{x}^{2}}}+\frac{192}{{{x}^{4}}}\]
\[\Rightarrow f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3-\frac{60}{{{x}^{2}}}+\frac{192}{{{x}^{4}}}=0\]
\[\Leftrightarrow 3{{x}^{4}}-60{{x}^{2}}+192=0\]
\[\Leftrightarrow {{x}^{2}}=16;{{x}^{2}}=4\]
\[\Leftrightarrow x=\pm 4;x=\pm 2\]
Bài 6. SGK Đại số 11 trang 176
\[{{f}_{1}}\left( x \right)=\frac{\cos x}{x}\Rightarrow f_{1}^{'}\left( x \right)=\frac{-x\sin x-\cos x}{{{x}^{2}}}\Rightarrow f_{1}^{'}\left( 1 \right)=-\sin 1-\cos 1\]
\[{{f}_{2}}\left( x \right)=x\sin x\Rightarrow f_{2}^{'}\left( x \right)=\sin x+x\cos x\Rightarrow f_{2}^{'}\left( 1 \right)=\sin 1+\cos 1\]
\[\Rightarrow \frac{f_{1}^{'}}{f_{2}^{'}}=-1\]
Bài 7. SGK Đại số 11 trang 176
a) \[y=\frac{x+1}{x-1}\]
\[\Rightarrow y'=\frac{x-1-\left( x+1 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=-\frac{2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\]
\[\Rightarrow y'\left( 2 \right)=-2\]
\[\Rightarrow \] Phương trình tiếp tuyến tại \[A\left( 2;3 \right)\] : \[y=-2\left( x-2 \right)+3\Leftrightarrow y=-2x+7\]
b) \[y={{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-1\]
\[\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}+8x\]
\[\Rightarrow y'\left( -1 \right)=-5\]
\[y\left( -1 \right)=2\]
\[\Rightarrow \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \[{{x}_{0}}=-1\] :
\[y=-5\left( x+1 \right)+2\Leftrightarrow y=-5x-3\]
c) \[y={{x}^{2}}-4x+4\Rightarrow y'=2x-4\]
Ta có \[{{y}_{0}}=1\Leftrightarrow x_{0}^{2}-4{{x}_{0}}+4=1\Leftrightarrow {{x}_{0}}=1;{{x}_{0}}=3\]
+ Với \[{{x}_{0}}=1\Rightarrow y'\left( 1 \right)=-2\]
\[\Rightarrow \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ \[\left( 1;1 \right)\] là
\[y=-2\left( x-1 \right)+1\Leftrightarrow y=-2x+3\]
+ Với \[{{x}_{0}}=3\Rightarrow y'\left( 3 \right)=2\]
\[\Rightarrow \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ \[\left( 3;1 \right)\] là
\[y=2\left( x-3 \right)+1\Leftrightarrow y=2x-5\]
Bài 8. SGK Đại số 11 trang 177
\[S={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}-9t\]
\[\Rightarrow v\left( t \right)=S'=3{{t}^{2}}-6t-9\] ; \[a\left( t \right)=v'\left( t \right)=6t-6\]
a) \[v\left( 2 \right)=-9\left( m/s \right)\]
b) \[a\left( 3 \right)=12\left( m/{{s}^{2}} \right)\]
c) Tại thời điểm vận tốc triệt tiêu thì :
\[v\left( t \right)=0\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-6t-9=0\Leftrightarrow t=3\] ( vì \[t>0\] )
\[\Rightarrow \] \[a\left( 3 \right)=12\left( m/{{s}^{2}} \right)\]
d) Tại thời điểm gia tốc triệt tiêu thì :
\[a\left( t \right)=0\Leftrightarrow 6t-6=0\Leftrightarrow t=1\]
\[\Rightarrow \] \[v\left( 1 \right)=-12\left( m/s \right)\]
Bài 9. SGK Đại số 11 trang 177
Phương trình hoành độ giao điểm : \[\frac{1}{x\sqrt{2}}=\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{2}}\]
\[\Leftrightarrow {{x}^{3}}=1\Leftrightarrow x=1\]
\[\Rightarrow y=\frac{1}{\sqrt{2}}\]
\[\Rightarrow A\left( 1;\frac{1}{\sqrt{2}} \right)\]
+ \[y=\frac{1}{x\sqrt{2}}\Rightarrow y'=-\frac{1}{{{x}^{2}}\sqrt{2}}\Rightarrow y'\left( 1 \right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\]
\[\Rightarrow \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm \[A\left( 1;\frac{1}{\sqrt{2}} \right)\] :
\[y=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left( x-1 \right)+\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow y=-\frac{1}{\sqrt{2}}x+\sqrt{2}\]
+ \[y=\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{2}}\Rightarrow y'=\sqrt{2}x\Rightarrow y'\left( 1 \right)=\sqrt{2}\]
\[\Rightarrow \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm \[A\left( 1;\frac{1}{\sqrt{2}} \right)\] :
\[y=\sqrt{2}\left( x-1 \right)+\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow y=\sqrt{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}\]
Ta thấy \[\frac{-1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}=-1\]
\[\Rightarrow \] Hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
\[\Rightarrow \] Góc giữa hai tiếp tuyến bằng \[{{90}^{0}}\] .
Bài 10. SGK Đại số 11 trang 177
\[{{C}_{1}}\] : Tự luận
\[{{C}_{2}}\] : Casio
\[\Rightarrow \] Đáp án B.
Bài 11. SGK Đại số 11 trang 177
\[f\left( x \right)={{\sin }^{3}}x+{{x}^{2}}\]
\[\Rightarrow f'\left( x \right)=3\cos x.{{\sin }^{2}}x+2x\]
Sử dụng Casio tính \[f''\left( -\frac{\pi }{2} \right)=5\]
\[\Rightarrow \] Đáp án D.
Bài 12. SGK Đại số 11 trang 177
\[h\left( x \right)=5{{\left( x+1 \right)}^{3}}+4\left( x+1 \right)\]
\[\Rightarrow h'\left( x \right)=15{{\left( x+1 \right)}^{2}}+4\]
\[\Rightarrow h''\left( x \right)=30\left( x+1 \right)\]
\[\Rightarrow h''\left( x \right)=0\Leftrightarrow 30\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow x=-1\]
\[\Rightarrow \] Đáp án C.
Bài 13. SGK Đại số 11 trang 177
\[f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}+\frac{{{x}^{2}}}{2}+x\]
\[\Rightarrow f'\left( x \right)={{x}^{2}}+x+1\]
\[\Rightarrow f'\left( x \right)\le 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x+1\le 0\] (vô lý)
\[\Rightarrow \] Đáp án A.
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa ôn tập chương 5 toán học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất