I. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ1. Các giới hạn đặc biệt<img src="https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1555466844251_bang_gioi_han.PNG" alt="">2. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn$S = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{n - 1}} + ... = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}\left( {\left| q \right| &lt; 1} \right)$3. Định lý kẹpNếu $\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}$ và $\lim {v_n} = 0$ thì $\lim {u_n} = 0$II. GIỚI HẠN HÀM SỐ1. Giới hạn đặc biệta) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0}$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c,\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c$ ($c$ là hằng số)b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = + \infty ,$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to&nbsp; - \infty } {x^k} =&nbsp; + \infty $ nếu $k$ chẵn và $\mathop {\lim }\limits_{x \to&nbsp; - \infty } {x^k} =&nbsp; - \infty $ nếu $k$ lẻ.c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{c}{{{x^k}}} = 0$d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{1}{x} =-&nbsp;\infty ; \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{x} =&nbsp; + \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{1}{{\left| x \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{{\left| x \right|}} =&nbsp; + \infty $Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số cũng tương tự với giới hạn dãy số.2. Giới hạn một bên$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L$III. HÀM SỐ LIÊN TỤC1. Hàm số liên tục- Tại một điểm ${x_0}$ $ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$.- Trong một khoảng: liên tục tại mọi điểm trong khoảng.- Trong một đoạn $\left[ {a;b} \right]$: liên tục trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)$.2. Tính chất có nghiệm của phương trình- Nếu $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ và $f\left( a \right).f\left( b \right) &lt; 0$ thì tồn tại ít nhất một số $c \in \left( {a;b} \right)$ sao cho $f\left( c \right) = 0$ hay phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm.- Nếu $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$, đặt $m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)$. Khi đó với mọi $T \in \left( {m;M} \right)$ luôn tồn tại ít nhất một số $c \in \left( {a;b} \right)$ sao cho $f\left( c \right) = T$.

Bài tập ôn tập chương 4

Bài 4

Ôn tập chương 4

Chương 4

Toán 11

GIỚI HẠN

Chương 1

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Chương 3

DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG. CẤP SỐ NHÂN

Chương 2

TỔ HỢP XÁC SUẤT

VECTO TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

Chương 5

ĐẠO HÀM

I. CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC1. Hàm số tuần hoànHàm số $f\left( x \right)$ xác định trên tập hợp $D$ gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số dương $T$ sao cho với mọi $x \in D$ ta có:&nbsp;&nbsp;+) $x - T \in D$ và $x + T \in D$+) $f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)$Số nhỏ nhất (nếu có) trong các số $T$ có các tính chất trên gọi là chu kì của hàm tuần hoàn $f\left( x \right).$2. Các hàm số lượng giáca) Hàm số $y = \sin x$+ TXĐ: $D = \mathbb{R}$+ Tập giá trị $\left[ { - 1;1} \right]$+ Hàm số $y = \sin x$ là hàm số lẻ trên $\mathbb{R}$.+ Hàm số $y = \sin x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi $Chiều biến thiên trên $\left[ { - \pi ;\pi } \right]$<img src="https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1539674422106_00.png" alt="">Đồ thị:<img src="https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1539674455322_00.png" alt="">b) Hàm số $y = \cos x$+ Hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn trên $\mathbb{R}$.+ Hàm số $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi $.Chiều biến thiên trên $\left[ { - \pi ;\pi } \right]$<img src="https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1539674529450_00.png" alt="">Đồ thị:<img src="https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1562809542991_do_thi_y=cosx.PNG" alt="">c) Hàm số $y = \tan x$+ Hàm số $y = \tan x$ là hàm số lẻ trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$+ Hàm số $y = \tan x$ tuần hoàn với chu kì $\pi $.Chiều biến thiên trên $\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)$<img src="https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1539674621581_00.png" alt="">Đồ thị:<img src="https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1539674652622_00.png" alt="">Chú ý: Trong hệ trục toạ độ $Oxy$ các đường thẳng có phương trình &nbsp;$x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ được gọi là các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \tan x$.d) Hàm số $y = \cot x$+ Hàm số $y = \cot x$ là hàm số lẻ trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$+ Hàm số $y = \cot x$ tuần hoàn với chu kì $\pi $.Chiều biến thiên trên $\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)$<img src="https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1539674716319_00.png" alt="">Đồ thị:<img src="https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1539674790383_00.png" alt="">Chú ý: Trong hệ trục toạ độ $Oxy$ các đường thẳng có phương trình $x = k\pi ,\;k \in \mathbb{Z}$ được gọi là các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \cot x$II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN1. Phương trình $\sin x = m$+ Nếu $\left| m \right| &gt; 1$ phương trình vô nghiệm.+ Nếu $\left| m \right| \le 1$, khi đó đặt $m = \sin \alpha $ ta được: $\sin x = {\rm{sin}}\alpha&nbsp; \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha&nbsp; + 2k\pi \\x = \pi&nbsp; - \alpha&nbsp; + 2k\pi \end{array} \right.,k \in Z$Đặc biệt: Ta có các kết quả:$ + )\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ;$$ + )\sin x =&nbsp; - 1 \Leftrightarrow x =&nbsp; - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;$$ + )\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;$2. Phương trình $\cos x = m$+ Nếu $\left| m \right| &gt; 1$ phương trình vô nghiệm.+ Nếu $\left| m \right| \le 1$, khi đó đặt $m = \cos \alpha $ ta được: $\cos x = \cos \alpha&nbsp; \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha&nbsp; + 2k\pi \\x =&nbsp; - \alpha&nbsp; + 2k\pi \end{array} \right.,k \in Z$Đặc biệt: Ta có các kết quả:$\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi ;$$\cos x =&nbsp; - 1 \Leftrightarrow x = \pi&nbsp; + k2\pi ;$$\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi $3. Phương trình $\tan x = m$Phương trình luôn có nghiệm $x = \arctan m + k\pi $.Đặc biệt: $\tan x = \tan \alpha&nbsp; \Leftrightarrow x = \alpha&nbsp; + k\pi \left( {k \in Z} \right)$4. Phương trình $\cot x = m$Phương trình luôn có nghiệm $x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} m + k\pi $.Đặc biệt: $\cot x = \cot \alpha&nbsp; \Leftrightarrow x = \alpha&nbsp; + k\pi \left( {k \in Z} \right)$.III.&nbsp; MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giácChuyển phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản.2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giácĐặt hàm số lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ nếu có (thí dụ t = sinx hoặc t = cosx, điều kiện ½t½ £ 1), rồi giải phương trình theo ẩn phụ này.3. Phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$Phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$ có dạng:$a\sin x + b\cos x = c$ &nbsp;&nbsp;(1)Phương pháp chung:Cách 1: (Thường dùng cho giải phương trình)- Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình: ${a^2} + {b^2} \ge {c^2}$.- Bước 2: Chia hai vế của phương trình cho $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $ thì phương trình có dạng:$\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x + \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.- Bước 3: Đặt $\cos \alpha&nbsp; = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }},\sin \alpha&nbsp; = \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ thì phương trình trở thành $\cos \left( {x - \alpha } \right) = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.- Bước 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản trên tìm $x$.Cách 2: (Thường dùng để giải và biện luận):- Bước 1: Xét $x = \pi&nbsp; + k2\pi&nbsp; \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi $ có là nghiệm hay không.- Bước 2: Xét $x \ne \pi&nbsp; + k2\pi&nbsp; \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi $ thì đặt $t = \tan \dfrac{x}{2} \Rightarrow \sin x = \dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}},\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}$ ta được phương trình bậc hai theo $t:\left( {b + c} \right){t^2} - 2at + c - b = 0$.- Bước 3: Giải phương trình trên tìm $t \Rightarrow x$ và kiểm tra điều kiện, kết luận nghiệm.Nhận xét&nbsp;:Từ cách giải 1 ta có được kết quả sau:$ - \sqrt {{a^2} + {b^2}}&nbsp; \le a\sin x + b\cos x \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} $Kết quả đó gợi ý cho bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số dạng $y = a\sin x + b\cos x$ hoặc $y = \dfrac{{a.\sin x + b.\cos x}}{{c.\sin x + d.\cos x}}$ và phương pháp đánh giá cho một số phương trình lượng giác.Dạng đặc biệt: Ta có các kết quả:$\begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0 \Leftrightarrow x =&nbsp; - \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\\sin x - \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array}$4. Phương trình đẳng cấp đối với $\sin x$ và $\cos x$Phương trình dạng ${a_0}{\sin ^n}x + {a_1}{\sin ^{n - 1}}x\cos x + ... + {a_{n - 1}}\sin x{\cos ^{n - 1}}x + {a_n}{\cos ^n}x = 0$.Phương pháp chung:- Bước 1: Xét $\cos x = 0 \Rightarrow \sin x = 1$, thay vào phương trình xem có thỏa mãn hay không.- Bước 2: Xét $\cos x \ne 0$, chia hai vế của phương trình cho ${\cos ^n}x \ne 0$ và đặt $\tan x = t$.- Bước 3: Giải phương trình ẩn $t$ tìm nghiệm $t$.- Bước 4: Giải phương trình $\tan x = t$ tìm nghiệm, kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.5. Phương trình đối xứng và dạng đối xứng với $\sin x$ và $\cos x$Phương trình dạng $a\left( {\sin x + \cos x} \right) + b\sin x\cos x + c = 0$.Phương pháp chung:- Bước 1: Đặt $\sin x + \cos x = t \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}$.- Bước 2: Thay vào phương trình tìm $t$.- Bước 3: Giải phương trình $\sin x + \cos x = t \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = t$ để tìm $x$.

Bài tập ôn tập chương 1

Ôn tập chương 1 (trang 40-41)

<h2 style="text-align:center;">BÀI 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><figure class="table"><table><tbody><tr><td style="border:1px solid black;width:56px;">&nbsp;</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;width:211px;">\[y=\sin x\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;width:225px;">\[y=\cos x\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;width:194px;">\[y=\tan x\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;width:194px;">\[y=\cot x\]</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:56px;">Định nghĩa</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:211px;">Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực \[\sin x\] :$\begin{array}{l} \sin :R \to R\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,x \mapsto y = \sin x \end{array}$được gọi là hàm số \[\sin \] .Kí hiệu:\[y=\sin x\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:225px;">Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực \[\cos x\] :$\begin{array}{l} \cos :R \to R\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \mapsto y = \cos x \end{array}$được gọi là hàm côsin.Kí hiệu:\[y=\cos x\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:194px;">Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức:\[y=\frac{\sin x}{\cos x}\left( \cos x\ne 0 \right)\]Kí hiệu:\[y=\tan x\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:194px;">Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức:\[y=\frac{\cos x}{\sin x}\left( \sin x\ne 0 \right)\]Kí hiệu:\[y=\cot x\]</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:56px;">Tập xác định</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:211px;">$ R$</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:225px;">$R$</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:194px;">$R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right\}\left( {k \in Z} \right)$</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:194px;">$R\backslash \left\{ {k\pi } \right\}\left( {k \in Z} \right)$</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:56px;">Tập giá trị</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:211px;">\[\left[ -1;1 \right]\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:225px;">\[\left[ -1;1 \right]\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:194px;">$R$</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:194px;">$R$</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:56px;">Chu kì tuần hoàn</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:211px;">\[2\pi \]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:225px;">\[2\pi \]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:194px;">\[\pi \]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:194px;">\[\pi \]</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:56px;">Tính chẵn, lẻ</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:211px;">Là hàm số lẻ</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:225px;">Là hàm số chẵn</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:194px;">Là hàm số lẻ</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:194px;">Là hàm số lẻ</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:56px;">Đồ thị hàm số</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:211px;"><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_DSC_1_BT_01_LT_01_bf157c10c5.PNG?21972454.939999998" alt=""></td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:225px;"><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_DSC_1_BT_01_LT_02_85a7484c32.PNG?21960285.220000006" alt=""></td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:194px;"><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_DSC_1_BT_01_LT_03_830b5c8648.PNG?21940647.494999997" alt=""></td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:194px;"><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_DSC_1_BT_01_LT_04_2f6c064455.PNG?21908099.514999993" alt=""></td></tr></tbody></table></figure>&nbsp;<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác.Cách giải:<ul><li>Tìm điều kiện để hàm số có nghĩa</li><li>Giải điều kiện và rút ra kết luận</li></ul>Chú ý: Với các hàm chứa căn bậc chẵn thì biểu thức dưới dấu căn phải \[\ge 0\] ; các hàm phân thức thì mẫu số phải \[\ne 0\] ; các hàm liên quan đến \[\tan ,\cot \] thì \[\sin \] hoặc \[\cos \] phải \[\ne 0\] ;…Dạng 2. Tính chẵn lẻ của hàm số.Cách giải:<ul><li>Tìm tập xác định \[D\] của hàm số</li><li>Với \[x\in D\Leftrightarrow -x\in D\]</li><li>Tính \[f\left( -x \right)\] : Nếu \[f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D\] thì hàm số chẵn. Nếu \[f\left( -x \right)=-f\left( x \right),\forall x\in D\] thì hàm số lẻ.</li></ul>Dạng 3. Chu kỳ của hàm số lượng giác.Cách giải:Áp dụng cách tính chu kì sau:<ul><li>Hàm số \[y=k\sin \left( ax+b \right);y=k\cos \left( ax+b \right)\left( ka\ne 0 \right)\] có chu kì \[T=\frac{2\pi }{\left| a \right|}\]</li><li>Hàm số \[y=k\tan \left( ax+b \right);y=k\cot \left( ax+b \right)\left( ka\ne 0 \right)\] có chu kì \[T=\frac{\pi }{\left| a \right|}\]</li></ul>Dạng 4. Vẽ bảng biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác sin, cos, tan, cotang và các hàm liên quan.Cách giải:<ul><li>Áp dụng kiến thức về bảng biến thiên, đồ thị hàm số của các hàm lượng giác sin, cos, tan, cotang</li><li>Từ đó, sử dụng các phép tịnh tiến, đối xứng,… để xác định đồ thị của các hàm cần tìm.</li></ul>Dạng 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác.Cách giải:<ul><li>Cách 1: Đưa các hàm lượng giác về dạng sin, cos và áp dụng \[-1\le \sin ,\cos \le 1\]</li><li>Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên</li></ul><h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁOKHOA</h2><h3>Bài 1. (SGK Đại số 11 trang 17)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_DSC_1_BT_01_BT_01_b605eed644.PNG?21848354.525000002">Dựa vào đồ thị hàm số ta có:a) \[\tan x=0\left( x\in \left[ -\pi ;\frac{3\pi }{2} \right] \right)\Leftrightarrow x=\pm \pi ;x=0\]b) \[\tan x=1\left( x\in \left[ -\pi ;\frac{3\pi }{2} \right] \right)\Leftrightarrow x=\frac{-3\pi }{4};x=\frac{\pi }{4};x=\frac{5\pi }{4}\]c) \[\tan x&gt;0\left( x\in \left[ -\pi ;\frac{3\pi }{2} \right] \right)\Leftrightarrow x\in \left\{ \left( -\pi ;\frac{-\pi }{2} \right);\left( 0;\frac{\pi }{2} \right);\left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right) \right\}\]d) \[\tan x&lt;0\left( x\in \left[ -\pi ;\frac{3\pi }{2} \right] \right)\Leftrightarrow x\in \left\{ \left( \frac{-\pi }{2};0 \right);\left( \frac{\pi }{2};\pi&nbsp; \right) \right\}\]<h3>Bài 2. (SGK Đại số 11 trang 17)</h3>a) Biểu thức xác định $ \Leftrightarrow \sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \left( {k \in Z} \right)$\[\Rightarrow \] TXĐ: ${D_1} = R\backslash \left\{ {k\pi } \right\}\left( {k \in Z} \right)$b) Biểu thức xác định \[\Leftrightarrow \frac{1+\cos x}{1-\cos x}\ge 0\] (luôn đúng); \[1-\cos x\ne 0\]$ \Leftrightarrow \cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne k2\pi \left( {k \in Z} \right)$\[\Rightarrow \] TXĐ: ${D_2} = R\backslash \left\{ {k2\pi } \right\}\left( {k \in Z} \right)$c) Ta có: $x - \frac{\pi }{3} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{{5\pi }}{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$\[\Rightarrow \] TXĐ: ${D_3} = R\backslash \left\{ {\frac{{5\pi }}{6} + k\pi } \right\}\left( {k \in Z} \right)$d) Ta có: $x + \frac{\pi }{6} \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{{ - \pi }}{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$\[\Rightarrow \] TXĐ: ${D_4} = R\backslash \left\{ {\frac{{ - \pi }}{6} + k\pi } \right\}\left( {k \in Z} \right)$<h3>Bài 3. (SGK Đại số 11 trang 17)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_DSC_1_BT_01_BT_03_063af3cc8c.PNG?21735298.584999997">Ta có: $\left| {\sin x} \right| = \left\{ \begin{array}{l} \sin x\,\,\,\,\,\,,\,\,\sin x \ge 0\\ - \sin x\,\,\,,\,\,\sin x &lt; 0 \end{array} \right.$Khi đó, đồ thị hàm số \[y=\left| \sin x \right|\] được vẽ như sau:- Giữ nguyên phần đồ thị hàm số \[y=\sin x\] nằm phía trên trục \[Ox\] .- Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số \[y=\sin x\] nằm phía dưới trục \[Ox\] qua trục \[Ox\] .<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_DSC_1_BT_01_BT_03_B_6a86968e17.PNG?21718200.945000004"><h3>Bài 4. (SGK Đại số 11 trang 17)</h3>Ta có $\sin 2\left( {x + k\pi } \right) = \sin \left( {2x + k2\pi } \right) = \sin 2x,\forall k \in Z$.\[\Rightarrow \] Hàm số \[y=\sin 2x\] có chu kì tuần hoàn \[T=\pi \] .+ Xét \[y=\sin 2x\] trên \[\left[ \frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]\] :Ta có bảng biến thiên:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_DSC_1_BT_01_BT_04_A_51ade8ac0e.PNG?21693926.334999997">Đồ thị hàm số<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_DSC_1_BT_01_BT_04_B_f523066470.PNG?21825682.915">Bài 5. (SGK Đại số 11 trang 18)<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_DSC_1_BT_01_BT_05_02ddb96a7f.PNG?21787288.004999995">Dựa vào đồ thị hàm số ta có: $\cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$<h3>Bài 6. (SGK Đại số 11 trang 18)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_DSC_1_BT_01_BT_06_cbda8da994.PNG?21756565.34">Dựa vào đồ thị hàm số , ta có: $\sin x &gt; 0 \Leftrightarrow x \in \left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)\left( {k \in Z} \right)$<h3>Bài 7. (SGK Đại số 11 trang 18)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_DSC_1_BT_01_BT_07_f3315ea8ab.PNG?21802054.919999994">Ta có: $\cos x &lt; 0 \Leftrightarrow x \in \left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)\left( {k \in Z} \right)$.<h3>Bài 8. (SGK Đại số 11 trang 18)</h3>a) Ta có: \[0\le \cos x\le 1\Leftrightarrow 0\le \sqrt{\cos x}\le 1\Leftrightarrow 0\le 2\sqrt{\cos x}\le 2\Leftrightarrow 1\le 2\sqrt{\cos x}+1\le 3\]$\Rightarrow {y_{\max }} = 3 \Leftrightarrow \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \left( {k \in Z} \right)$.b) Ta có: \[-1\le \sin x\le 1\Leftrightarrow 2\ge -2\sin x\ge -2\Leftrightarrow 5\ge 3-2\sin x\ge 1\]$ \Rightarrow {y_{\max }} = 5 \Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$&nbsp;Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 11 bài Bài 1. Hàm số lượng giác do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ&nbsp;

Hàm số lượng giác

Bài 1

BÀI 3: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP<h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>I. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác</h3>1. Định nghĩaPhương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng: \[at+b=0\]Trong đó, \[a, b\] là các hằng số \[\left( a\ne 0 \right)\] và t là một trong các hàm số lượng giác.2. Cách giảiChuyển về rồi chia cả hai vế cho a, ta đưa phương trình về phương trình lượng giác cơ bản. 3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giácSử dụng các công thức lượng giác để biến đổi phương trình về các phương trình lượng giác cơ bản rồi giải.<h3>II. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác</h3>1. Định nghĩaPhương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng: \[a{{t}^{2}}+bt+c=0\left( a\ne 0 \right)\]Trong đó \[a,b,c\] là các hằng số và t là một trong số các hàm số lượng giác.2. Cách giải<ul><li>Đặt ẩn phụ và điều kiện cho ẩn (nếu có).</li><li>Giải phương trình theo ẩn phụ.</li><li>Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản.</li></ul>3. Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giácSử dụng các công thức lượng giác để biến đổi phương trình về các phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác rồi giải.<h3>III. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x&nbsp; Xét phương trình \[a\operatorname{s}i\text{nx}+b\cos x=c\left( a,b,c\in \mathbb{R};{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0 \right)\]</h3><ul><li>Nếu $\left[ \begin{array}{l} a = 0;b \ne 0\\ a \ne 0;b = 0 \end{array} \right.$ phương trình đã cho trở thành phương trình lượng giác cơ bản.</li><li>Nếu \[a\ne 0,b\ne 0\] ta có:</li></ul>\[a\operatorname{s}i\text{nx}+b\cos x=c\]\[\Leftrightarrow \frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\cos x=\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\]\[\Leftrightarrow \sin \left( x+\alpha&nbsp; \right)=\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\] với \[\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}};\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\]Phương trình có nghiệm \[\Leftrightarrow \frac{\left| c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\le 1\Leftrightarrow {{c}^{2}}\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\]<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác</h3>Cách giải:\[at+b=0\left( a\ne 0 \right)\Leftrightarrow t=-\frac{b}{a}\] với \[t\] là một hàm số lượng giác.<h3>Dạng 2. Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác</h3>Cách giải:\[a{{t}^{2}}+bt+c=0\left( a\ne 0 \right)\] với \[t\] là một hàm số lượng giác.<ul><li>Đặt ẩn phụ và điều kiện cho ẩn (nếu có).</li><li>Giải phương trình theo ẩn phụ.</li><li>Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản.</li></ul><h3>Dạng 3. Giải phương trình đưa về phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác</h3>Cách giải:Sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi phương trình về các phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác rồi giải.<h3>Dạng 4. Giải phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x</h3>Cách giải:Nếu \[a\ne 0,b\ne 0\] ta có:\[a\operatorname{s}i\text{nx}+b\cos x=c\]\[\Leftrightarrow \frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\cos x=\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\]\[\Leftrightarrow \sin \left( x+\alpha&nbsp; \right)=\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\] với \[\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}};\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\]<h3>Dạng 5. Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x có nghiệm hoặc vô nghiệm</h3>Cách giải:Phương trình \[a\operatorname{s}i\text{nx}+b\cos x=c\] có nghiệm \[\Leftrightarrow \frac{\left| c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\le 1\Leftrightarrow {{c}^{2}}\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\]Phương trình \[a\operatorname{s}i\text{nx}+b\cos x=c\] vô nghiệm \[\Leftrightarrow \frac{\left| c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}&gt;1\Leftrightarrow {{c}^{2}}&gt;{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\]<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (SGK Đại số 11 trang 36)</h3>\[{{\sin }^{2}}x-\sin x=0\]\[\Leftrightarrow \sin x\left( \sin x-1 \right)=0\]$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0\\ \sin x = 1 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi \\ x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$<h3>Bài 2. (SGK Đại số 11 trang 36)</h3>a) \[2{{\cos }^{2}}x-3\cos x+1=0\]$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 1\\ \cos x = \frac{1}{2} \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k2\pi \\ x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$b) \[2\sin 2x+\sqrt{2}\sin 4x=0\]\[\Leftrightarrow 2\sin 2x+2\sqrt{2}\sin 2x.\cos 2x=0\]\[\Leftrightarrow 2\sin 2x\left( 1+\sqrt{2}\cos 2x \right)=0\]$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin 2x = 0\\ \cos 2x = - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \end{array} \right.$&nbsp;$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = k\pi \\ 2x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\frac{\pi }{2}\\ x = \pm \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$&nbsp;<h3>Bài 3. (SGK Đại số 11 trang 37)</h3>a) \[{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}-2\cos \frac{x}{2}+2=0\]\[\Leftrightarrow 1-{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}-2\cos \frac{x}{2}+2=0\]\[\Leftrightarrow -{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}-2\cos \frac{x}{2}+3=0\]$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos \frac{x}{2} = - 3\left( {loai} \right)\\ \cos \frac{x}{2} = 1 \end{array} \right.$\[\Leftrightarrow \frac{x}{2}=k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]\[\Leftrightarrow x=k4\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]b) \[8{{\cos }^{2}}x+2\sin x-7=0\]\[\Leftrightarrow 8\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)+2\sin x-7=0\]\[\Leftrightarrow -8{{\sin }^{2}}x+2\sin x+1=0\]$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = \frac{1}{2}\\ \sin x = - \frac{1}{4} \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\ x = \arcsin \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k2\pi \\ x = \pi - \arcsin \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$c) \[2{{\tan }^{2}}x+3\tan x+1=0\] (1)Điều kiện : $x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$(1)$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = - 1\\ \tan x = - \frac{1}{2} \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$d) \[\tan x-2\cot x+1=0\] (2)Điều kiện : \[x\ne \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ;k\pi&nbsp; \right\}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\](2) \[\Leftrightarrow \tan x-\frac{2}{\tan x}+1=0\]\[\Leftrightarrow {{\tan }^{2}}x+\tan x-2=0\]$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = 1\\ \tan x = - 2 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \arctan \left( { - 2} \right) + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$<h3>Bài 4. (SGK Đại số 11 trang 37)</h3>a) \[2{{\sin }^{2}}x+\sin x.\cos x-3{{\cos }^{2}}x=0\]+ Xét \[\cos x=0\] ta có : \[VT=2;VP=0\Leftrightarrow \] Phương trình vô nghiệm.+ Xét \[\cos x\ne 0\] , chia cả hai vế của phương trình cho \[{{\cos }^{2}}x\] ta có :<h2>\[2{{\tan }^{2}}x+\tan x-3=0\]</h2>$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = 1\\ \tan x = \frac{{ - 3}}{2} \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \arctan \left( { - \frac{3}{2}} \right) + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$b) \[3{{\sin }^{2}}x-4\sin x.\cos x+5{{\cos }^{2}}x=2\]+ Xét \[\cos x=0\] ta có : \[VT=3;VP=2\Leftrightarrow \] Phương trình vô nghiệm.+ Xét \[\cos x\ne 0\] , chia cả hai vế của phương trình cho \[{{\cos }^{2}}x\] ta có :\[3{{\tan }^{2}}x-4\tan x+5=\frac{2}{{{\cos }^{2}}x}\]\[\Leftrightarrow 3{{\tan }^{2}}x-4\tan x+5=2\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)\]\[\Leftrightarrow {{\tan }^{2}}x-4\tan x+3=0\]$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = 1\\ \tan x = 3 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \arctan 3 + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$ (thỏa mãn)c) \[{{\sin }^{2}}x+\sin 2x-2{{\cos }^{2}}x=\frac{1}{2}\]\[\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x+2\sin x.\cos x-2{{\cos }^{2}}x=\frac{1}{2}\]+ Xét \[\cos x=0\] ta có : \[VT=1;VP=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \] Phương trình vô nghiệm.+ Xét \[\cos x\ne 0\] , chia cả hai vế của phương trình cho \[{{\cos }^{2}}x\] ta có :\[{{\tan }^{2}}x+2\tan x-2=\frac{1}{2}\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)\]\[\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{\tan }^{2}}x+2\tan x-\frac{5}{2}=0\]$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = 1\\ \tan x = - 5 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \arctan \left( { - 5} \right) + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$ (thỏa mãn)d) \[2{{\cos }^{2}}x-3\sqrt{3}\sin 2x-4{{\sin }^{2}}x=-4\]\[\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x-6\sqrt{3}\sin x.\cos x-4{{\sin }^{2}}x=-4\]\[\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}x-3\sqrt{3}\sin x.\cos x-2{{\sin }^{2}}x=-2\]+ Xét \[\cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]Khi đó phương trình \[\Leftrightarrow -2=-2\] (luôn đúng)<ul><li>\[x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\] là một họ nghiệm của phương trình.</li></ul>+ Xét \[\cos x\ne 0\] , chia cả hai vế của phương trình cho \[{{\cos }^{2}}x\] ta có :\[1-3\sqrt{3}\tan x-2{{\tan }^{2}}x=-2\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)\]\[\Leftrightarrow -3\sqrt{3}\tan x+3=0\]\[\Leftrightarrow \tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}\]\[\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]<h3>Bài 5. (SGK Đại số 11 trang 37)</h3>a) \[\cos x-\sqrt{3}\sin x=\sqrt{2}\]\[\Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\]\[\Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{3}.\cos x-\sin \frac{\pi }{3}.\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\]\[\Leftrightarrow \cos \left( \frac{\pi }{3}+x \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\]$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{\pi }{3} + x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ \frac{\pi }{3} + x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{ - \pi }}{{12}} + k2\pi \\ x = \frac{{ - 7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$&nbsp;b) \[3\sin 3x-4\cos 3x=5\]\[\Leftrightarrow \frac{3}{5}\sin 3x-\frac{4}{5}\cos 3x=1\]Đặt \[\cos \alpha =\frac{3}{5};\sin \alpha =\frac{4}{5}\]Phương trình \[\Leftrightarrow \sin \left( 3x-\alpha&nbsp; \right)=1\]\[\Leftrightarrow 3x-\alpha =\frac{\pi }{2}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]\[\Leftrightarrow x=\frac{\alpha }{3}+\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]c) \[2\sin x+2\cos x-\sqrt{2}=0\]\[\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x=\frac{1}{2}\]\[\Leftrightarrow \sin x.\cos \frac{\pi }{4}+\cos x.\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}\]\[\Leftrightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{1}{2}\]$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ x + \frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{ - \pi }}{{12}} + k2\pi \\ x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$d) \[5\cos 2x+12\sin 2x-13=0\]\[\Leftrightarrow \frac{5}{13}\cos 2x+\frac{12}{13}\sin 2x=1\]Đặt \[\cos \alpha =\frac{5}{13};\sin \alpha =\frac{12}{13}\]Phương trình \[\Leftrightarrow \cos \left( 2x-\alpha&nbsp; \right)=1\]\[\Leftrightarrow 2x-\alpha =k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]\[\Leftrightarrow x=\frac{\alpha }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]<h3>Bài 6. (SGK Đại số 11 trang 37)</h3>a) \[\tan \left( 2x+1 \right)\tan \left( 3x-1 \right)=1\] (1)Điều kiện : \[2x+1\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ;3x-1\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\](1) \[\Leftrightarrow \frac{\sin \left( 2x+1 \right)}{\cos \left( 2x+1 \right)}.\frac{\sin \left( 3x-1 \right)}{\cos \left( 3x-1 \right)}=1\]\[\Leftrightarrow \sin \left( 2x+1 \right).\sin \left( 3x-1 \right)=\cos \left( 2x+1 \right).\cos \left( 3x-1 \right)\]\[\Leftrightarrow \cos \left( 3x-1 \right).\cos \left( 2x+1 \right)-\sin \left( 3x-1 \right).\sin \left( 2x+1 \right)=0\]\[\Leftrightarrow \cos \left( 3x-1+2x+1 \right)=0\]\[\Leftrightarrow \cos \left( 5x \right)=0\]\[\Leftrightarrow 5x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]\[\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{10}+k\frac{\pi }{5}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\] (thỏa mãn điều kiện)b) \[\tan x+\tan \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=1\] (2)Điều kiện : \[x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ;x+\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\](2) \[\Leftrightarrow \tan x+\frac{\tan x+\tan \frac{\pi }{4}}{1-\tan x.\tan \frac{\pi }{4}}=1\]\[\Leftrightarrow \tan x+\frac{\tan x+1}{1-\tan x}=1\]\[\Leftrightarrow \tan x\left( 1-\tan x \right)+\tan x+1=1-\tan x\]\[\Leftrightarrow -{{\tan }^{2}}x+3\tan x=0\]$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = 0\\ \tan x = 3 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi \\ x = \arctan 3 + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$ (thỏa mãn điều kiện)&nbsp;Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 11 bài Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ

Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp 

Bài 3

Một số phương trình lượng giác thường gặp

I. CÁC QUY TẮC ĐẾM1. Quy tắc cộnga) Định nghĩaXét một công việc $H$.Giả sử $H$ có $k$ phương án ${H_1},{H_2},...,{H_k}$ thực hiện công việc $H$. Nếu có ${m_1}$ cách thực hiện phương án&nbsp; ${H_1}$, có ${m_2}$ cách thực hiện phương án ${H_2}$,.., có ${m_k}$ cách thực hiện phương án ${H_k}$ và mỗi cách thực hiện phương án ${H_i}$ không trùng với bất kì cách thực hiện phương án ${H_j}$ ($i \ne j;i,j \in \left\{ {1,2,...,k} \right\}$) thì có ${m_1} + {m_2} + ... + {m_k}$ cách thực hiện công việc $H$.b) Công thức quy tắc cộngNếu các tập ${A_1},{A_2},...,{A_n}$ đôi một rời nhau. Khi đó:$\left| {{A_1} \cup {A_2} \cup ... \cup {A_n}} \right| = \left| {{A_1}} \right| + \left| {{A_2}} \right| + ... + \left| {{A_n}} \right|$2. Quy tắc nhâna) Định nghĩaGiả sử một công việc $H$ bao gồm $k$ công đoạn ${H_1},{H_2},...,{H_k}$. Công đoạn ${H_1}$ có ${m_1}$ cách thực hiện, công đoạn${H_2}$ có ${m_2}$ cách thực hiện,…, công đoạn ${H_k}$ có ${m_k}$ cách thực hiện. Khi đó công việc H có thể thực hiện theo ${m_1}.{m_2}...{m_k}$ cách.b) Công thức quy tắc nhânNếu các tập ${A_1},{A_2},...,{A_n}$ đôi một rời nhau. Khi đó:$\left| {{A_1} \cap {A_2} \cap ... \cap {A_n}} \right| = \left| {{A_1}} \right|.\left| {{A_2}} \right|.....\left| {{A_n}} \right|$.II. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP1. Hoán vịa) Định nghĩaCho tập $A$ gồm $n$ phần tử ($n \ge 1$). Khi sắp xếp $n$ phần tử này theo một thứ tự ta được một hoán vị các phần tử của tập $A.$Kí hiệu số hoán vị của $n$ phần tử là ${P_n}$.b) Số hoán vị của tập n phần tửĐịnh lí: Ta có ${P_n} = n!$2. Chỉnh hợpa) Định nghĩa: Cho tập $A$ gồm $n$ phần tử và số nguyên $k$ với $1 \le k \le n$. Khi lấy $k$ phần tử của $A$ và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử của $A$.b) Số chỉnh hợpKí hiệu $A_n^k$ là số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tửĐịnh lí: Ta có $A_n^k = \dfrac{{n!}}{{(n - k)!}}$.3. Tổ hợpa) Định nghĩa: Cho tập $A$ có $n$ phần tử và số nguyên $k$ với $1 \le k \le n$. Mỗi tập con của $A$ có $k$ phần tử được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử của $A.$b) Số tổ hợpKí hiệu $C_n^k$ là số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử.Định lí: Ta có: $C_n^k = \dfrac{{n!}}{{(n - k)!k!}}$.III. NHỊ THỨC NEWTON1. Nhị thức NewtonĐịnh lí: ${(a + b)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} $$ = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}$Nhận xét:&nbsp;Trong khai triển Newton ${(a + b)^n}$ có các tính chất sau* Gồm có $n + 1$ số hạng* Số mũ của $a$ giảm từ $n$ đến $0$ và số mũ của $b$ tăng từ $0$ đến $n$* Tổng các số mũ của $a$ và $b$ trong mỗi số hạng bằng $n$* Các hệ số có tính đối xứng: $C_n^k = C_n^{n - k}$* Số hạng tổng quát : ${T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}$Một số hệ quảMột số kết quả ta thường hay sử dụng:* $C_n^k = C_n^{n - k}$* $C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n = {2^n}$* $C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - ... + {( - 1)^n}C_n^n = 0$* $\sum\limits_{k = 0}^n {C_{2n}^{2k}}&nbsp; = \sum\limits_{k = 0}^n {C_{2n}^{2k - 1}}&nbsp; = \dfrac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^{2n} {C_{2n}^k} $* $\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^k}}&nbsp; = {(1 + a)^n}$.IV. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ1. Biến cốKhông gian mẫu $\Omega $ : là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.Biến cố $A$ : là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra $A$. $A \subset \Omega .$Biến cố không: $\emptyset $Biến cố chắc chắn: $\Omega $Biến cố đối của $A$ : $\overline A = \Omega \backslash A$Hợp hai biến cố: $A \cup B$Giao hai biến cố: $A \cap B$&nbsp; (hoặc $A.B$ )Hai biến cố xung khắc: $A \cap B{\rm{ }} = \emptyset $Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia.2. Xác suấtXác suất của biến cố: $P\left( A \right) = \dfrac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}$$0 \le P\left( A \right) \le 1,P\left( \Omega \right) = 1,P\left( \emptyset&nbsp; \right) = 0$Qui tắc cộng: Nếu $A \cap B = \emptyset $ thì $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$Mở rộng: $A,B$ bất kì: $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)-P\left( {A.B} \right)$$P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right)$Qui tắc nhân: Nếu $A,B$ độc lập thì $P\left( {A.{\rm{ }}B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)$

Bài tập ôn tập chương 2

Bài 6

Ôn tập chương 2 (trang 76-78)

<h2 style="text-align:center;">BÀI 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3 style="text-align:justify;">1. Hoán vị</h3>a) Định nghĩaĐịnh nghĩa:Cho tập hợp A gồm n phần tử \[\left( n\ge 1 \right)\].Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử.Lưu ý: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.b) Số các hoán vịKí hiệu: \[{{P}_{n}}\] là số các hoán vị của n phần tử.Định lý: $P_{n}=n(n -1) \ldots 2.1=n !$<h3 style="text-align:justify;">2. Chỉnh hợp</h3>a) Định nghĩaCho tập hợp A gồm n phần tử \[\left( n\ge 1 \right)\].Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.b) Số các chỉnh hợp:Kí hiệu: \[{{A}_{n}}^{k}\] là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử \[\left( 1\le k\le n \right)\].Định lý: \[\text{A}_{\text{n}}^{\text{k}}=\text{n}\left( \text{n}-1 \right)\ldots \left( \text{n}-\text{k}+1 \right)=\frac{n!}{\left( n-k \right)!}\]Lưu ý: Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy, ta có: \[{{P}_{n}}={{A}_{n}}^{n}\]<h3 style="text-align:justify;">3. Tổ hợp</h3>a) Định nghĩaĐịnh nghĩa:Giả sử A có n phần tử \[\left( n\ge 1 \right)\]. Mỗi tập hợp gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho \[\left( 1\le k\le n \right)\].Quy ước: Tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.b) Số các tổ hợp:Kí hiệu: \[{{C}_{n}}^{k}\] là số các tổ hợp chập k của n phần tử \[\left( 0\le k\le n \right)\].Định lý: \[C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\]c) Tính chất của các số \[{{C}_{n}}^{k}\]<ul><li style="text-align:justify;">\[{{C}_{n}}^{k}={{C}_{n}}^{n-k}\left( 0\le k\le n \right)\]</li><li style="text-align:justify;">\[C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}=C_{n}^{k}\left( 1\le k\le n \right)\]</li></ul><h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng bài. Các bài toán đếmCách giải:<ul><li>Đếm trực tiếp: Dựa vào yêu cầu của đề bài, ta phân ra các trường hợp và sử dụng các quy tắc đếm để tính toán trong từng trường hợp. Kết quả bài toán là tổng các phương án đếm trong các trường hợp trên.</li><li>Đếm gián tiếp: Ta đếm số phương án thực hiện hành động \[H\] là \[a\] và đếm số phương án thực hiện hành động \[H\] nhưng không thỏa mãn tính chất \[T\] là \[b\] . Số phương án hành động \[H\] và thỏa mãn yêu cầu bài toán là \[a-b\] .</li></ul>Một số lưu ý khi làm bài toán đếm:+ Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng hoán vị của n phần tử, ta dựa trên dấu hiệu<ul><li>Tất cả n phần tử đều có mặt.</li><li>Mỗi phần tử chỉ xuất hiện 1 lần.</li><li>Có sự phân biệt thứ tự giữa các phần tử.</li><li>Số cách xếp n phần tử là số hoán vị của n phần tử đó.</li></ul>+ Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử, ta cần có các dấu hiệu:<ul><li>Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước.</li><li>Có sự phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.</li><li>Số cách chọn k phần tử có phân biệt thứ tự từ n phần tử là \[A_{n}^{k}\] cách.</li></ul>+ Để nhận dạng bài toán sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử, ta dựa trên dấu hiệu:<ul><li>Phải chọn ra k phần tử từ n phần tử cho trước.</li><li>Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.</li><li>Số cách chọn k phần tử không phân biệt thứ tự từ n phần tử đã cho là \[C_{n}^{k}\] cách.</li></ul>+ Với các dạng bài tập yêu cầu xếp hai hoặc nhiều phần tử đứng cạnh nhau thì ta sẽ “buộc” các phần tử này một nhóm và coi như 1 phần tử.+ Với các dạng bài tập yêu cầu xếp hai hoặc nhiều phần tử không đứng cạnh nhau thì ta có thể tạo ra các “vách ngăn” các phần tử này trước khi xếp chúng.<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (SGK Đại số 11 trang 54)</h3>a) Việc lập các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau là việc sắp xếp thứ tự của 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Mỗi số là một hoán vị của 6 phần tử đó.Vậy có \[6!=720\] số.b) Gọi số chẵn cần lập là \[\overline{abcdef}\] .Vì \[\overline{abcdef}\] là số chẵn nên:+) Có 3 cách chọn \[f\left( f=\left\{ 2;4;6 \right\} \right)\]+) Có \[5!=120\] cách chọn a, b, c, d, eVậy có \[3.120=360\] số chẵn cần lập.Có \[720-360=360\] số lẻ cần lập.c) Gọi số cần lập là \[\overline{abcdef}\] .Vì \[\overline{abcdef}&lt;432000\] nên có 2 trường hợp:TH1: \[a&lt;4\] : có 3 cách chọn aCó \[5!=120\] cách chọn a, b, c, d, e, fTH2: \[a=4\] : có 1 cách chọn a. Ta có 2 khả năng:<ul><li>\[b&lt;3\] : có 2 cách chọn b. Có \[4!=24\] cách chọn c, d, e, f.</li><li>\[b=3\] : có 1 cách chọn b. Có 1 cách chọn c \[\left( c=1 \right)\] . Có \[3!=6\] cách chọn \[d,e,f\].</li></ul>Có \[1.\left( 2.24+1.1.6 \right)=54\] số.Vậy có tất cả \[3.120+54=414\] số.<h3>Bài 2. (SGK Đại số 11 trang 54)</h3>Mỗi cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 người khách vào 10 ghế là 1 hoán vị của tập hợp gồm 10 phần tử.Vậy có \[{{P}_{10}}=10!\] cách.<h3>Bài 3. (SGK Đại số 11 trang 54)</h3>Việc cắm 3 bông hoa vào 3 lọ đã cho là việc chọn 3 trong 7 bông hoa rồi sắp xếp chúng vào lọ.Vậy có \[A_{7}^{3}=210\] cách.<h3>Bài 4. (SGK Đại số 11 trang 55)</h3>Việc chọn 4 bóng đèn mắc nối tiếp là việc chọn 4 bóng đèn khác nhau trong tập hợp 6 bóng đèn và sắp xếp chúng theo thứ tự.Vậy co \[A_{6}^{4}=360\] cách.<h3>Bài 5. (SGK Đại số 11 trang 55)</h3>a) Việc cắm 3 bông hoa vào 3 lọ là việc chọn 3 lọ hoa khác nhau từ 5 lọ rồi sắp xếp chúng với các bông hoa tương ứng.Vậy có \[A_{5}^{3}=60\] cách.b) Việc cắm 3 bông hoa như nhau vào 3 lọ là việc chọn 3 lọ hoa khác nhau từ 5 lọ hoa để cắm.Vậy có \[C_{5}^{3}=10\] cách.<h3>Bài 6. (SGK Đại số 11 trang 55)</h3>Cứ 3 điểm không thẳng hàng lập được 1 tam giác.Việc lập các tam giác là chọn 3 điểm trong tập hợp 6 điểm đã cho.Vậy có \[C_{6}^{3}=20\] cách.<h3>Bài 7. (SGK Đại số 11 trang 55)</h3>Việc lập một hình chữ nhật phải trải qua 2 bước:+) Chọn 2 đường thẳng trong 4 đường thẳng song song: Có \[C_{4}^{2}\] cách.+) Chọn 2 đường thẳng trong 5 đường thẳng vuông góc: Có \[C_{5}^{2}\] cách.Vậy có \[C_{4}^{2}.C_{5}^{2}=60\] cách.Giải bài tập sách giáo khoa tổ hợp chỉnh hợp lớp 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất.

Bài 2. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp

Bài 2

Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp

<h2 style="text-align:center;">BÀI 1: QUY TẮC ĐẾM</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Quy tắc cộng</h3>Quy tắc:Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có \[m+n\] cách thực hiện.Đặc biệt: Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì số phần tử của \[A\cup B\] bằng tổng số phần tử của A và của B, tức là:\[n(A\cup B)=n\left( A \right)+n\left( B \right)\]Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động<h3>2. Quy tắc nhân</h3>Quy tắc:Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có \[m.n~\] cách hoàn thành công việc.<h2>Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động</h2><h2> B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng bài. Các bài toán đếmCách giải:<ul><li>Đếm trực tiếp: Dựa vào yêu cầu của đề bài, ta phân ra các trường hợp và sử dụng các quy tắc đếm để tính toán trong từng trường hợp. Kết quả bài toán là tổng các phương án đếm trong các trường hợp trên.</li><li>Đếm gián tiếp: Ta đếm số phương án thực hiện hành động \[H\] là \[a\] và đếm số phương án thực hiện hành động \[H\] nhưng không thỏa mãn tính chất \[T\] là \[b\] . Số phương án hành động \[H\] và thỏa mãn yêu cầu bài toán là \[a-b\] .</li></ul>Một số lưu ý khi làm bài toán đếm:Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên: Khi lập một số tự nhiên \[\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{n}}}\] ta cần lưu ý:<ul><li>\[{{a}_{1}}\ne 0\]</li><li>Tùy theo yêu cầu đề bài, ta có cách phân chia trường hợp thích hợp. Ví dụ: \[\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{n}}}\] là số chẵn thì \[{{a}_{n}}=\left\{ 0;2;4;6;8 \right\}\] ; \[\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{n}}}\] chia hết cho \[5\] thì \[{{a}_{n}}=\left\{ 0;5 \right\}\] ;…</li></ul>Bài toán sắp xếp vị trí: Đối với trường hợp xếp vào bàn tròn, cần lưu ý chọn 1 vị trí cố định rồi sắp xếp theo yêu cầu<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (SGK Đại số 11 trang 46)</h3>a) Số tự nhiên gồm 1 chữ số được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4 là 4 số.b) Gọi số cần tìm là \[\overline{ab}\left( a,b\in \left\{ 1,2,3,4 \right\} \right)\]- Có 4 cách chọn a.- Có 4 cách chọn b.Vậy có \[4.4=16\] số cần tìm.c) Gọi số cần tìm là \[\overline{ab}\left( a,b\in \left\{ 1,2,3,4 \right\} \right)\] .- Có 4 cách chọn a.- Có 3 cách chọn b.Vậy có \[4.3=12\] số cần tìm.<h3>Bài 2. (SGK Đại số 11 trang 46)</h3>Số tự nhiên bé hơn 100 gồm :+) Số có một chữ số : 6 số được lập từ các chữ số 1,2,…,6+) Số có 2 chữ số :<ul><li>Có 6 cách lập chữ số hàng chục.</li><li>Có 6 cách lập chữ số hàng đơn vị.</li><li>Có \[6.6=36\] số có 2 chữ số.</li></ul>Vậy có \[6+36=42\] số thỏa mãn yêu cầu bài toán.<h3>Bài 3. (SGK Đại số 11 trang 46)</h3>a) Để đi từ \[A\to D\] , ta thực hiện các hành động liên tiếp :+) Đi từ \[A\to B\] : có 4 cách+) Đi từ \[B\to C\] : có 2 cách+) Đi từ \[C\to D\] : có 3 cáchVậy có \[4.2.3=24\] cách đi từ A đến D.b) Để đi từ A đến D rồi quay về A, ta thực hiện các hành động liên tiếp :+) Đi từ A đến D : có 24 cách+) Đi từ D về A : có 24 cáchVậy có \[24.24=576\] cách đi từ A đến D rồi quay về A.<h3>Bài 4. (SGK Đại số 11 trang 46)</h3>Để chọn 1 chiếc đồng hồ, ta sử dụng 2 hành động liên tiếp :+ Chọn mặt đồng hồ : có 3 cách+ Chọn dây đồng hồ : có 4 cáchVậy \[3.4=12\] cách chọn đồng hồ.Giải bài tập sách giáo khoa quy tắc đếm lớp 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất.

Bài 1. Quy tắc đếm

Quy tắc đếm

<h2 style="text-align:center;">BÀI 5: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3 style="text-align:justify;">1. Định nghĩa xác suất</h3>Định nghĩa:Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số \[\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega&nbsp; \right)}\] là xác suất của biến cố A, kí hiệu là \[P\left( A \right)\].\[P\left( A \right)=\] \[\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega&nbsp; \right)}\]Chú ý: \[n\left( A \right)\] là số phần tử của biến cố \[A\]; còn \[n\left( \Omega&nbsp; \right)\] là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.<h3 style="text-align:justify;">2. Tính chất của xác suất</h3>Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện.Khi đó, ta có định lý:\[P\left( \varnothing&nbsp; \right)=0,P\left( \Omega&nbsp; \right)=1\]\[0\le P\left( A \right)\le 1\],với mọi biến cố A.<h3 style="text-align:justify;">3. Quy tắc cộng xác suất</h3>Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nhau nếu chúng không đồng thời xảy ra trong một phép thử.Quy tắc cộng xác suất:<ul><li style="text-align:justify;">Nếu A và B xung khắc, thì \[P\left( A\cup B \right)=P\left( A \right)+P\left( B \right)\]</li><li>Nếu các biến cố \[{{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},\ldots ,{{A}_{k}}\] xung khắc nhau thì</li></ul>\[P\left( {{A}_{1}}\cup {{A}_{2}}\cup \ldots \cup {{A}_{k}} \right)=P\left( {{A}_{1}} \right)+P\left( {{A}_{2}} \right)+\ldots +P\left( {{A}_{k}} \right)\]Hệ quả:Với mọi biến cố A, ta có: \[P\left( \overline{A} \right)=1P\left( A \right)\].<h3 style="text-align:justify;">4. Quy tắc nhân xác suất</h3><ul><li style="text-align:justify;">Hai biến cố gọi là độc lập: nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra biến cố kia.</li><li style="text-align:justify;">Quy tắc nhân xác suất: Nếu A và B là hai biến cố độc lập nhau thì \[P\left( A.B \right)=P\left( A \right).P\left( B \right)\]</li></ul><h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Sử dụng định nghĩa tính xác suất</h3>Cách giải:Quy về bài toán đếm:Cách 1: Tính trực tiếp:<ul><li>Tính số phần tử của không gian mẫu \[\Omega \] là \[n\left( \Omega&nbsp; \right)\] tức là đếm số kết quả có thể của phép thử \[T\].</li><li>Tính số phần tử của biến cố \[A\] rồi tính số phần tử của \[A\] là \[n\left( A \right)\], tức là đếm số kết quả thuận lợi cho \[A\].</li><li>Khi đó, xác suất \[P\left( A \right)=\] \[\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega&nbsp; \right)}\] .</li></ul>Cách 2: Tính gián tiếpTrong nhiều bài toán tính xác suất, việc tính số phần tử thuận lợi cho biến cố A trở nên khó khăn do có quá nhiều trường hợp, thì ta đi tìm số phần tử thuận lợi cho biến cố đối của biến cố A . Khi đó, \[P\left( A \right)=1P\left( \overline{A} \right)\].<h3>Dạng 2. Sử dụng các quy tắc công, nhân xác suất</h3>Cách giải:<ul><li>Tính xác suất của các biến cố \[{{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},\ldots ,{{A}_{k}}\]</li><li>Xác định mối quan hệ giữa các biến cố \[{{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},\ldots ,{{A}_{k}}\] (độc lập, xung khắc,…)</li><li>Từ đó, sử dụng quy tắc cộng hoặc nhân xác suất để tính toán</li></ul><h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (SGK Đại số 11 trang 74)</h3>a) \[\Omega =\left\{ \left( i;j \right)|1\le i,j\le 6 \right\}\] với i, j là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ nhất và thứ hai.b) \[A=\left\{ \left( 4;6 \right);\left( 5;6 \right);\left( 6;6 \right);\left( 6;4 \right);\left( 6;5 \right);\left( 5;5 \right) \right\}\]\[B=\left\{ \left( 1;5 \right);\left( 2;5 \right);\left( 3;5 \right);\left( 4;5 \right);\left( 5;5 \right);\left( 6;5 \right);\left( 5;6 \right);\left( 5;4 \right);\left( 5;3 \right);\left( 5;2 \right);\left( 5;1 \right) \right\}\]c) \[P\left( A \right)=\frac{{{n}_{\left( A \right)}}}{{{n}_{\left( \Omega&nbsp; \right)}}}=\frac{6}{6.6}=\frac{1}{6}\] ; \[P\left( B \right)=\frac{{{n}_{\left( B \right)}}}{{{n}_{\left( \Omega&nbsp; \right)}}}=\frac{11}{6.6}=\frac{11}{36}\]<h3>Bài 2. (SGK Đại số 11 trang 74)</h3>a) \[\Omega =\left\{ \left( 1;2;3 \right);\left( 1;2;4 \right);\left( 2;3;4 \right);\left( 1;3;4 \right) \right\}\Rightarrow {{n}_{\left( \Omega&nbsp; \right)}}=4\]b) \[A=\left\{ \left( 1;3;4 \right) \right\}\Rightarrow {{n}_{\left( A \right)}}=1\]\[B=\left\{ \left( 1;2;3 \right);\left( 2;3;4 \right) \right\}\Rightarrow {{n}_{\left( B \right)}}=2\]c) \[P\left( A \right)=\frac{1}{4};P\left( B \right)=\frac{1}{2}\]<h3>Bài 3. (SGK Đại số 11 trang 74)</h3>\[n\left( \Omega&nbsp; \right)=C_{8}^{2}=28\]A : “ Hai chiếc giày chọn được tạo thành một đôi”\[\Rightarrow n\left( A \right)=4\] \[\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{1}{7}\]<h3>Bài 4. (SGK Đại số 11 trang 74)</h3>\[\Omega =\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}\]Ta có : \[\Delta ={{b}^{2}}-8\]A : “ Con súc sắc xuất hiện mặt b chấm”a) Phương trình có nghiệm \[\Leftrightarrow \Delta \ge 0\Leftrightarrow b\ge 2\sqrt{2};b\le -2\sqrt{2}\]Mà \[b\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}\] \[\Rightarrow b=\left\{ 3,4,5,6 \right\}\]\[\Rightarrow A=\left\{ 3,4,5,6 \right\}\Rightarrow \] \[n\left( A \right)=4\Rightarrow \] \[P\left( A \right)=\frac{2}{3}\]b) Phương trình vô nghiệm \[\Leftrightarrow \Delta &lt;0\Leftrightarrow -2\sqrt{2}Mà \[b\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}\]\[\Rightarrow b=\left\{ 1,2 \right\}\Rightarrow \] \[A=\left\{ 1,2 \right\}\Rightarrow \] \[n\left( A \right)=2\Rightarrow \] \[P\left( A \right)=\frac{1}{3}\]c) Phương trình có nghiệm \[\Leftrightarrow b=\left\{ 3;4;5;6 \right\}\]<figure class="table"><table style=";"><tbody><tr><td style="border:1px solid black;width:155px;">b</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;width:125px;">3</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;width:125px;">4</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;width:125px;">5</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;width:125px;">6</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:155px;">\[{{x}^{2}}+bx+2=0\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:125px;">\[-1;-2\](thỏa mãn)</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:125px;">\[-2\pm \sqrt{2}\](Loại)</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:125px;">\[\frac{-5\pm \sqrt{17}}{2}\](loại)</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:125px;">\[-3\pm \sqrt{7}\](loại)</td></tr></tbody></table></figure>&nbsp;\[\Rightarrow b=\left\{ 3 \right\}\Rightarrow A=\left\{ 3 \right\}\Rightarrow n\left( A \right)=1\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{1}{6}\]<h3>Bài 5. (SGK Đại số 11 trang 74)</h3>\[\Omega \] : “ Chọn ngẫu nhiên 4 con trong 52 con bài”\[\Rightarrow n\left( \Omega&nbsp; \right)=C_{52}^{4}\]a) A : “ Cả 4 con đều là át”\[\Rightarrow n\left( A \right)=1\Rightarrow \] \[P\left( A \right)=\frac{1}{C_{52}^{4}}=\frac{1}{270725}\]b) B : “ Ít nhất được một con át”\[\Rightarrow \overline{B}\] : “ Không được con át nào”\[\Rightarrow n\left( \overline{B} \right)=C_{48}^{4}\Rightarrow P\left( B \right)=1-P\left( \overline{B} \right)=1-\frac{C_{48}^{4}}{C_{52}^{4}}\approx 0,72\] .c) C : “ Rút được con át và 2 con K”\[\Rightarrow n\left( C \right)=C_{4}^{2}.C_{4}^{2}\Rightarrow P\left( C \right)=\frac{C_{4}^{2}.C_{4}^{2}}{C_{52}^{4}}=\frac{36}{270725}\]<h3>Bài 6. (SGK Đại số 11 trang 74)</h3>\[n\left( \Omega&nbsp; \right)=4!=24\]a) A : “ Nam, nữ ngồi đối diện nhau”+) Vị trí thứ nhất : Có 4 cách chọn 1 bạn vào vị trí thứ nhất+) Có 2 cách chọn 1 bạn vào vị trí đối diện vị trí thứ nhất.+) Có \[2!=2\] cách chọn 2 bạn vào 2 vị trí còn lại.\[\Rightarrow n\left( A \right)=4.2.2=16\]\[\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}\]b) \[\overline{A}\] : “ Nữ ngồi đối diện nhau”\[\Rightarrow P\left( \overline{A} \right)=1-P\left( A \right)=\frac{1}{3}\]<h3>Bài 7. (SGK Đại số 11 trang 75)</h3>a) \[n\left( \Omega&nbsp; \right)=10.10=100\]\[n\left( A \right)=6.10=60\]\[n\left( B \right)=10.4=40\]\[\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{60}{100}=\frac{3}{5};P\left( B \right)=\frac{40}{100}=\frac{2}{5}\]\[\Rightarrow P\left( A \right).P\left( B \right)=\frac{6}{25}\] (1)A.B : “Lấy được ở hộp thứ nhất quả cầu màu trắng và hộp thứ hai quả cầu màu trắng”\[\Rightarrow n\left( AB \right)=6.4=24\]\[\Rightarrow P\left( AB \right)=\frac{24}{100}=\frac{6}{25}\] (2)Từ (1) và (2) \[\Rightarrow A\] và B độc lậpb) C : “ Hai quả cầu lấy ra cùng màu”\[\Rightarrow C=AB\cup \overline{A}\overline{B}\]Ta có \[AB\cup \overline{A}\overline{B}=\varnothing \Rightarrow AB\] và \[\overline{A}\overline{B}\] là xung khắc.\[\Rightarrow P\left( C \right)=P\left( AB \right)+P\left( \overline{A}\overline{B} \right)\]Vì A, B độc lập nên \[\overline{A},\overline{B}\] độc lập\[\Rightarrow P\left( C \right)=P\left( A \right).P\left( B \right)+P\left( \overline{A} \right).P\left( \overline{B} \right)\]\[=\frac{6}{25}+\left( 1-P\left( A \right) \right)\left( 1-P\left( B \right) \right)\]\[=\frac{6}{25}+\frac{2}{5}.\frac{3}{5}=\frac{12}{25}\]c) \[\overline{C}\] : “ Hai quả cầu lấy ra khác màu” \[\Rightarrow P\left( \overline{C} \right)=1-P\left( C \right)=\frac{13}{25}\]Giải bài tập sách giáo khoa xác suất của biến cố đại số 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất.

Bài 5. Xác suất của biến cố

Bài 5

Xác suất của biến cố

<h2 style="text-align:center;">BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Phương trình \[\sin x=a\]</h3>* Nếu \[\left| a \right|&gt;1\] , phương trình vô nghiệm.* Nếu \[\left| a \right|\le 1\] , phương trình có nghiệm $\left[ \begin{array}{l} x = \arcsin a + k2\pi \\ x = \pi - \arcsin a + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$với $\left\{ \begin{array}{l} - \frac{\pi }{2} \le \alpha \le \frac{\pi }{2}\\ \sin \alpha = a \end{array} \right.$Chú ý:<ul><li>Nếu \[\sin x=\sin \alpha \] thì $\left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in } \right)$</li></ul>Tổng quát, $\sin f\left( x \right) = \sin g\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( x \right) = g\left( x \right) + k2\pi \\ f\left( x \right) = \pi - g\left( x \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$<ul><li>Nếu \[\sin x=\sin {{\beta }^{0}}\] thì $\left[ \begin{array}{l} x = \beta + k{360^0}\\ x = {180^0} - \beta + k{360^0} \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$</li><li>$\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$</li><li>$\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$</li><li>$\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in Z} \right)$</li></ul><h3>2. Phương trình \[\cos x=a\]</h3>* Nếu \[\left| a \right|&gt;1\] , phương trình vô nghiệm.* Nếu \[\left| a \right|\le 1\] , phương trình có nghiệm $x = \pm \arccos a + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$ với $\left\{ \begin{array}{l} 0 \le \alpha \le \pi \\ \cos \alpha = a \end{array} \right.$Chú ý:<ul><li>Nếu \[\cos x=\cos \alpha \] thì $x = \pm \alpha + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$</li></ul>Tổng quát, $\cos f\left( x \right) = \cos g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = \pm g\left( x \right) + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$<ul><li>Nếu \[\cos x=\cos {{\beta }^{0}}\] thì $x = \pm \beta + k{360^0}\left( {k \in Z} \right)$</li><li>$\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \left( {k \in Z} \right)$</li><li>$\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$</li><li>$\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$</li></ul><h3>3. Phương trình \[\tan x=a\]</h3>Điều kiện: $x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$$\tan x = a \Leftrightarrow x = \arctan a + k\pi \left( {k \in Z} \right)$Chú ý:<ul><li>Nếu \[\tan x=\tan \alpha \] thì $x = \alpha + k\pi \left( {k \in Z} \right)$</li></ul>Tổng quát, $\tan f\left( x \right) = \tan g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + k\pi \left( {k \in Z} \right)$<ul><li>Nếu \[\tan x=\tan {{\beta }^{0}}\] thì $x = \beta + k{180^0}\left( {k \in Z} \right)$</li></ul><h3>4. Phương trình \[\cot x=a\]</h3>Điều kiện: $x \ne k\pi \left( {k \in Z} \right)$$\cot x = a \Leftrightarrow x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} a + k\pi \left( {k \in Z} \right)$Chú ý:<ul><li>Nếu \[\cot x=\cot \alpha \] thì $x = \alpha + k\pi \left( {k \in Z} \right)$</li></ul>Tổng quát, $\cot f\left( x \right) = \cot g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + k\pi \left( {k \in Z} \right)$<ul><li>Nếu \[\cot x=\cot {{\beta }^{0}}\] thì $x = \beta + k{180^0}\left( {k \in Z} \right)$</li></ul>Ghi nhớ:<ul><li>Mỗi phương trình \[\sin x=a\left( \left| a \right|\le 1 \right),\cos x=a\left( \left| a \right|\le 1 \right)\] ,$\tan x = a$, \[\cot x=a\] có vô số nghiệm.</li><li>Giải các phương trình trên là tìm tất cả các nghiệm của chúng.</li></ul><h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản</h3>Cách giải:Áp dụng cách giải các phương trình \[\sin \] \[\sin x=a\left( \left| a \right|\le 1 \right),\cos x=a\left( \left| a \right|\le 1 \right)\] , \[\tan x=a\] , \[\cot x=a\]<h3>Dạng 2. Giải các phương trình đưa về phương trình lượng giác cơn bản</h3>Cách giải:Sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi phương trình về các phương trình lượng giác cơ bản rồi giải.Lưu ý điều kiện đối với các phương trình chứa \[\tan ,\cot \] , mẫu số, căn thức,…<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (SGK Đại số 11 trang 28)</h3>a) \[\sin \left( x+2 \right)=\frac{1}{3}\]$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + 2 = \arcsin \frac{1}{3} + k2\pi \\ x + 2 = \pi - \arcsin \frac{1}{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right) \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2 + arc\sin \frac{1}{3} + k2\pi \\ x = - 2 + \pi - \arcsin \frac{1}{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right) \end{array} \right.$b) \[\sin 3x=1\]$ \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$$ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\left( {k \in Z} \right)$c) \[\sin \left( \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3} \right)=0\]$ \Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3} = k\pi \left( {k \in Z} \right)$$ \Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} = \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$$ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{3\pi }}{2}\left( {k \in Z} \right)$d) \[\sin \left( 2x+{{20}^{0}} \right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\]$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x + {20^0} = - {60^0} + k{360^0}\\ 2x + {20^0} = {240^0} + k{360^0} \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = - {80^0} + k{360^0}\\ 2x = {220^0} + k{360^0} \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - {40^0} + k{180^0}\\ x = {110^0} + k{180^0} \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$<h3>Bài 2. (SGK Đại số 11 trang 28)</h3>Ta có : \[\sin 3x=\sin x\]$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = x + k2\pi \\ 3x = \pi - x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi \\ x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2} \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$&nbsp;Vậy với $\left[ \begin{array}{l} x = k\pi \\ x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2} \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.<h3>Bài 3. (SGK Đại số 11 trang 28)</h3>a) \[\cos \left( x-1 \right)=\frac{2}{3}\]\[\Leftrightarrow x-1=\pm \arccos \frac{2}{3}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]\[\Leftrightarrow x=1\pm \arccos \frac{2}{3}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]b) \[\cos x=\cos {{12}^{0}}\]\[\Leftrightarrow 3x=\pm {{12}^{0}}+k{{360}^{0}}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]\[\Leftrightarrow x=\pm {{4}^{0}}+k{{120}^{0}}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]c) \[\cos \left( \frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{-1}{2}\]$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\ \frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4} = \frac{{ - 2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{3x}}{2} = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \\ \frac{{3x}}{2} = \frac{{ - 5\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{11\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}\\ x = \frac{{ - 5\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3} \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$d) \[{{\cos }^{2}}\left( 2x \right)=\frac{1}{4}\]$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 2x = - \frac{1}{2}\\ \cos 2x = \frac{1}{2} \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\ 2x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \\ x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$&nbsp;<h3>Bài 4. (SGK Đại số 11 trang 29)</h3>Điều kiện: \[1-\sin 2x\ne 0\Leftrightarrow \sin 2x\ne 1\Leftrightarrow 2x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\] .Phương trình \[\Leftrightarrow 2\cos 2x=0\Leftrightarrow \cos 2x=0\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\] .Đối chiếu với điều kiện ta có : \[x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\] .<h3>Bài 5. (SGK Đại số 11 trang 29)</h3>a) \[\tan \left( x-{{15}^{0}} \right)=\frac{\sqrt{3}}{3}\] (1)Điều kiện : \[x-{{15}^{0}}\ne {{90}^{0}}+k{{180}^{0}}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]\[\Leftrightarrow x\ne {{105}^{0}}+k{{180}^{0}}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\](1) \[\Leftrightarrow x-{{15}^{0}}={{30}^{0}}+k{{180}^{0}}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]\[\Leftrightarrow x={{45}^{0}}+k{{180}^{0}}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\] (thỏa mãn điều kiện)b) \[\cot \left( 3x-1 \right)=-\sqrt{3}\] (2)Điều kiện : \[3x-1\ne k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]\[\Leftrightarrow x\ne \frac{1}{3}+k\frac{\pi }{3}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\](2) \[\Leftrightarrow 3x-1=\frac{-\pi }{6}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]\[\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\] (thỏa mãn điều kiện)c) \[\cos 2x.\tan x=0\] (3)Điều kiện : \[x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\](3)$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 2x = 0\\ \tan x = 0 \end{array} \right.$&nbsp;$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x = k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$&nbsp;$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\\ x = k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$ (thỏa mãn điều kiện)d) \[\sin 3x.\cot x=0\] (4)Điều kiện : \[x\ne k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\](4)$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin 3x = 0\\ \cot x = 0 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = k\pi \\ x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\frac{\pi }{3}\\ x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$ (thỏa mãn điều kiện)<h3>Bài 6. (SGK Đại số 11 trang 29)</h3>Ta có : \[\tan 2x=\tan \left( \frac{\pi }{4}-x \right)\]\[\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{4}-x+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]\[\Leftrightarrow 3x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]\[\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]Vậy với \[x=\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\] thì giá trị của các hàm số \[y=\tan \left( \frac{\pi }{4}-x \right)\] và \[y=\tan 2x\] bằng nhau.<h3>Bài 7. (SGK Đại số 11 trang 29)</h3>a) \[\sin 3x-\cos 5x=0\]\[\Leftrightarrow \sin 3x=\cos 5x\]\[\Leftrightarrow \sin 3x=\sin \left( \frac{\pi }{2}-5x \right)\]$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = \frac{\pi }{2} - 5x + k2\pi \\ 3x = \frac{\pi }{2} + 5x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in 2} \right)$&nbsp;$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 8x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ - 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$&nbsp;$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{4}\\ x = - \frac{\pi }{4} - k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$b) \[\tan 3x.\tan x=1\] (*)Điều kiện : $\left\{ \begin{array}{l} 3x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$(*) \[\Leftrightarrow \tan 3x=\frac{1}{\tan x}\]\[\Leftrightarrow \tan 3x=\cot x\]\[\Leftrightarrow \tan 3x=\tan \left( \frac{\pi }{2}-x \right)\]\[\Leftrightarrow 3x=\frac{\pi }{2}-x+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]\[\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{4}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\] (thỏa mãn điều kiện)Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 11 bài Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ

Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình lượng giác cơ bản

<h2 style="text-align:center;">BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2>Gọi \[P\left( n \right)\] là một mệnh đề chứa biến \[n\left( n\in {{N}^{*}} \right)\]. Chứng minh \[P\left( n \right)\] đúng với mọi số tự nhiên \[n\left( n\in {{N}^{*}} \right)\]Phương pháp quy nạp toán học- Bước 1: Chứng minh \[P\left( n \right)\] đúng với \[n=1\].- Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \[P\left( n \right)\] đúng với \[n=k\ge 1\], chứng minh \[P\left( n \right)\] cũng đúng khi \[n=k+1\].Chú ý:Đối với bài toán chứng minh \[P\left( n \right)\] đúng với mọi \[n\ge p\] với p là số tự nhiên cho trước thì:- Bước 1: Chứng minh \[P\left( n \right)\] đúng với \[n=p\].- Bước 2: Với \[k\ge p\] là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \[P\left( n \right)\] đúng với \[n=k\] , chứng minh \[P\left( n \right)\] cũng đúng khi \[n=k+1\].<h2> B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng bài: Chứng minh tính đúng đắn của mệnh đề bằng phương pháp quy nạp toán họcCách giải:Áp dụng lần lượt các bước của phương pháp.<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (SGK Đại số 11 trang 82)</h3>a)+ Với \[n=1\] ta có : \[2=2\] (luôn đúng)+ Đặt \[{{S}_{n}}=2+5+8+...+3n-1\]Giả sử đẳng thức đúng với \[n=k\ge 1\] , tức là :\[{{S}_{k}}=2+5+8+3k-1=\frac{k\left( 3k+1 \right)}{2}\]Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với \[n=k+1\] , tức là :\[{{S}_{k+1}}=2+5+8+...+3\left( k+1 \right)-1=\frac{\left( k+1 \right)\left[ 3\left( k+1 \right)+1 \right]}{2}\]Thật vậy :\[{{S}_{k+1}}=2+5+8+...+3k-1+3\left( k+1 \right)-1\]\[={{S}_{k}}+3\left( k+1 \right)-1\]\[=\frac{k\left( 3k+1 \right)}{2}+3\left( k+1 \right)-1\]\[=\frac{k\left( 3k+1 \right)+6\left( k+1 \right)-2}{2}\]\[=\frac{3{{k}^{2}}+7k+4}{2}\]\[=\frac{\left( k+1 \right)\left( 3k+4 \right)}{2}\]\[=\frac{\left( k+1 \right)\left[ 3\left( k+1 \right)+1 \right]}{2}\]\[\Rightarrow \] Điều phải chứng minh.b)+ Với \[n=1\] ta có : \[\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\] (luôn đúng)+ Đặt \[{{S}_{n}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{{{2}^{n}}}\]Giả sử đẳng thức đúng với \[n=k\ge 1\] , tức là :\[{{S}_{k}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{{{2}^{k}}}=\frac{{{2}^{k}}-1}{{{2}^{k}}}\]Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với \[n=k+1\] , tức là :\[{{S}_{k}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{{{2}^{k+1}}}=\frac{{{2}^{k+1}}-1}{{{2}^{k+1}}}\]Thật vậy :\[{{S}_{k+1}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{{{2}^{k}}}+\frac{1}{{{2}^{k+1}}}\]\[={{S}_{k}}+\frac{1}{{{2}^{k+1}}}\]\[=\frac{{{2}^{k}}-1}{{{2}^{k}}}+\frac{1}{{{2}^{k+1}}}\]\[=\frac{{{2}^{k+1}}-2+1}{{{2}^{k+1}}}\]\[=\frac{{{2}^{k+1}}-1}{{{2}^{k+1}}}\]\[\Rightarrow \] Điều phải chứng minh.c)+ Với \[n=1\] ta có : \[1=1\] (luôn đúng)+ Đặt \[{{S}_{n}}={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}}\]Giả sử đẳng thức đúng với \[n=k\ge 1\] , tức là :\[{{S}_{k}}={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{k}^{2}}=\frac{k\left( k+1 \right)\left( 2k+1 \right)}{6}\]Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với \[n=k+1\] , tức là :\[{{S}_{k+1}}={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{\left( k+1 \right)}^{2}}=\frac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( 2\left( k+1 \right)+1 \right)}{6}\]Thật vậy :\[{{S}_{k+1}}={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{k}^{2}}+{{\left( k+1 \right)}^{2}}\]\[={{S}_{k}}+{{\left( k+1 \right)}^{2}}\]\[=\frac{k\left( k+1 \right)\left( 2k+1 \right)}{6}+{{\left( k+1 \right)}^{2}}\]\[=\frac{k\left( k+1 \right)\left( 2k+1 \right)+6{{\left( k+1 \right)}^{2}}}{6}\]\[=\frac{\left( k+1 \right)\left[ k\left( 2k+1 \right)+6\left( k+1 \right) \right]}{6}\]\[=\frac{\left( k+1 \right)\left( 2{{k}^{2}}+7k+6 \right)}{6}\]\[=\frac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( 2k+3 \right)}{6}\]\[=\frac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left[ 2\left( k+1 \right)+1 \right]}{6}\]\[\Rightarrow \] Điều phải chứng minh.<h3>Bài 2. (SGK Đại số 11 trang 82)</h3>a)Đặt \[{{A}_{n}}={{n}^{3}}+3{{n}^{2}}+5n\]+ Với \[n=1\] , ta có \[9\vdots 3\] (luôn đúng)+ Giả sử với \[n=k\ge 1\] , ta luôn có :\[{{A}_{k}}=\left( {{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+5k \right)\vdots 3\]Ta cần chứng minh, với \[n=k+1\] thì \[{{A}_{k+1}}\vdots 3\]Thật vậy :\[{{A}_{k+1}}={{\left( k+1 \right)}^{3}}+3{{\left( k+1 \right)}^{2}}+5\left( k+1 \right)\]\[={{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+3k+1+3\left( {{k}^{2}}+2k+1 \right)+5k+5\]\[={{k}^{3}}+6{{k}^{2}}+14k+9\]\[=\left( {{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+5k \right)+3{{k}^{2}}+9k+9\]\[=\left( {{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+5k \right)+3\left( {{k}^{2}}+3k+3 \right)\]Vì \[{{A}_{k}}=\left( {{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+5k \right)\vdots 3\] và \[3\left( {{k}^{2}}+3k+3 \right)\vdots 3\] nên \[{{A}_{k+1}}\vdots 3\]Vậy ta có điều phải chứng minh.b)Đặt \[{{A}_{n}}={{4}^{n}}+15n-1\]Với \[n=1\] ta có \[18\vdots 9\] ( luôn đúng)Giả sử với \[n=k\ge 1\] , ta luôn có : \[{{A}_{k}}=\left( {{4}^{k}}+15k-1 \right)\vdots 9\] (1)Ta cần chứng minh, với \[n=k+1\] thì \[{{A}_{k+1}}\vdots 9\]Thạt vậy \[{{A}_{k+1}}={{4}^{k+1}}+15\left( k+1 \right)-1\]\[={{4.4}^{k}}+15k+14\]\[=\left( {{4}^{k}}+15k-1 \right)+\left( {{3.4}^{k}}+15 \right)\]\[=\left( {{4}^{k}}+15k-1 \right)+3.\left( {{4}^{k}}+5 \right)\]Xét \[\left( {{4}^{k}}+5 \right)\vdots 3\]+ Với \[k=1\] ta có \[9\vdots 3\] ( luôn đúng)+ Giả sử với \[n=k\ge 1\] ta luôn có \[\left( {{4}^{n}}+5 \right)\vdots 3\]Ta cần chứng minh, với \[k=u+1\] thì \[\left( {{4}^{u+1}}+5 \right)\vdots 3\]Thật vậy \[{{4}^{u+1}}+5={{4.4}^{u}}+5=\left( {{4}^{u}}+5 \right)+{{3.4}^{u}}\]Vì \[\left( {{4}^{u}}+5 \right)\vdots 3\] và \[{{3.4}^{u}}\vdots 3\] nên \[\left( {{4}^{u+1}}+5 \right)\vdots 3\] (2)Từ (1) và (2) \[\Rightarrow {{A}_{k+1}}\vdots 9\]Vậy ta có điều phải chứng minh.c)Đặt \[{{A}_{n}}={{n}^{3}}+11n\]Với \[n=1\] ta có \[12\vdots 6\] (luôn đúng)Giả sử với \[n=k\ge 1\] ta luôn có : \[{{A}_{k}}=\left( {{k}^{3}}+11k \right)\vdots 6\]Ta cần chứng minh, với \[n=k+1\] thì \[{{A}_{k+1}}\vdots 6\]Thật vậy \[{{A}_{k+1}}={{\left( k+1 \right)}^{3}}+11\left( k+1 \right)\]\[={{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+3k+1+11k+11\]\[={{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+14k+12\]\[=\left( {{k}^{3}}+11k \right)+3{{k}^{2}}+3k+12\]\[=\left( {{k}^{3}}+11k \right)+3.\left( {{k}^{2}}+k+4 \right)\]\[=\left( {{k}^{3}}+11k \right)+3\left[ k.\left( k+1 \right)+4 \right]\]Vì \[{{A}_{k}}=\left( {{k}^{3}}+11k \right)\vdots 6\] và \[\left[ k\left( k+1 \right)+4 \right]\vdots 2\Rightarrow 3\left[ k.\left( k+1 \right)+4 \right]\vdots 6\]\[\Rightarrow {{A}_{k+1}}\vdots 6\]Vậy ta có điều phải chứng minh.<h3>Bài 3. (SGK Đại số 11 trang 82)</h3>a)Với \[n=2\] ta có \[9&gt;7\] ( luôn đúng)Giả sử với \[n=k\ge 2\] ta luôn có \[{{3}^{k}}&gt;3k+1\]Ta cần chứng minh với \[n=k+1\] thì \[{{3}^{k+1}}&gt;3\left( k+1 \right)+1\]Thật vậy \[{{3}^{k+1}}={{3.3}^{k}}&gt;3\left( k+1 \right)\]$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {3^{k + 1}} &gt; 9k + 3\\ \Leftrightarrow {3^{k + 1}} &gt; 3\left( {k + 1} \right) + 1 + 6k - 1\left( * \right) \end{array}$Vì \[k\ge 2\] nên \[6k-1\ge 11\]\[\left( * \right)\Leftrightarrow {{3}^{k+1}}&gt;3\left( k+1 \right)+1+11&gt;3\left( k+1 \right)+1\]Vậy ta có điều phải chứng minh.b)Với \[n=2\] ta có \[8&gt;7\] ( luôn đúng)Giả sử với \[n=k\ge 2\] ta luôn có \[{{2}^{k+1}}&gt;2k+3\]Ta cần chứng minh với \[n=k+1\] thì \[{{2}^{k+2}}&gt;2\left( k+1 \right)+3\]Thật vậy \[{{2}^{k+2}}={{2}^{k+1}}.2&gt;2.\left( 2k+3 \right)\]$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {2^{k + 2}} &gt; 4k + 6\\ \Leftrightarrow {2^{k + 2}} &gt; 2\left( {k + 1} \right) + 3 + 2k + 1\left( * \right) \end{array}$Vì \[k\ge 2\] nên \[2k+1\ge 5\]\[\left( * \right)\Leftrightarrow {{2}^{k+2}}&gt;2\left( k+1 \right)+3+5&gt;2\left( k+1 \right)+3\]Vậy ta có điều phải chứng minh.<h3>Bài 4. (SGK Đại số 11 trang 83)</h3>a)$\begin{array}{l} {S_1}_` = \frac{1}{{2.1}} = \frac{1}{2}\\ {S_2} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} = \frac{2}{3}\\ {S_3} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} = \frac{3}{4} \end{array}$b)Dự đoán \[{{S}_{n}}=\frac{n}{n+1}\]Với \[n=1\] ta có \[{{S}_{1}}=\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\] ( luôn đúng)Giả sử đẳng thức đúng với \[n=k\ge 1\] tức là \[{{S}_{k}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{k\left( k+1 \right)}=\frac{k}{k+1}\]Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với \[n=k+1\] tức là :\[{{S}_{k+1}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}=\frac{k+1}{k+2}\]Thật vậy \[{{S}_{k+1}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}\]$\begin{array}{l} = {S_k} + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}\\ = \frac{k}{{k + 1}} + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}\\ = \frac{{k\left( {k + 2} \right) + 1}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}\\ = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{{k + 1}}{{k + 2}} \end{array}$<h3>Bài 5. (SGK Đại số 11 trang 83)</h3>+ Với \[n=4\] ta có tứ giác có hai đường chéo hay \[\frac{4\left( 4-3 \right)}{2}=2\] đường chéo.Vậy khẳng định đúng với \[n=4\] .+ Giả sử khẳng định đúng với \[n=k\ge 4\] , tức là :Số đường chéo của đa giác \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{k}}\] có k cạnh là \[\frac{k\left( k-3 \right)}{2}\]Ta cần chứng minh khẳng định đúng với \[n=k+1\] , tức làĐa giác \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{k+1}}\] có \[k+1\] cạnh có số đường chéo là \[\frac{\left( k+1 \right)\left[ \left( k+1 \right)-3 \right]}{2}\]<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/111111_c960317b5e.PNG?30813.645000045653">Nối \[{{A}_{1}}{{A}_{k}}\] , ta có đa giác \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{k}}\] có số đường chéo là \[\frac{k\left( k-3 \right)}{2}\] .Nối \[{{A}_{k+1}}\] với các điểm \[{{A}_{2}},{{A}_{3}},...,{{A}_{k-1}}\] ta được \[k-2\] đường chéo và \[{{A}_{1}}{{A}_{k}}\] là đường chéo\[\Rightarrow \] Tổng số đường chéo của đa giác \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{k+1}}\] là :$\begin{array}{l} \frac{{k\left( {k - 3} \right)}}{2} + \left( {k - 2} \right) + 1\\ = \frac{{{k^2} - k - 2}}{2}\\ = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k - 2} \right)}}{2}\\ = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) - 3} \right]}}{2} \end{array}$Vậy ta có điều phải chứng minh.Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa phương pháp quy nạp toán học lớp 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất.

Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học

Phương pháp quy nạp toán học

<h2 style="text-align:center;">BÀI 3: NHỊ THỨC NEWTON</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3 style="text-align:justify;">1. Công thức nhị thức Niu-tơn</h3>\[{{\left( a+b \right)}^{n}}={{C}_{n}}^{0}{{a}^{n}}+{{C}_{n}}^{1}{{a}^{n-1}}b+\ldots +{{C}_{n}}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}+\ldots +{{C}_{n}}^{n-1}a{{b}^{n-1}}+{{C}_{n}}^{n}{{b}^{n}}\left( 1 \right)\]\[{{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}\]<h3 style="text-align:justify;">2. Hệ quả</h3><ul><li style="text-align:justify;">Với \[a=b=1\], ta có: \[{{2}^{n}}={{C}_{n}}^{0}+{{C}_{n}}^{1}+\ldots +{{C}_{n}}^{n}\].</li><li style="text-align:justify;">Với \[a=1;b=1\], ta có: \[0={{C}_{n}}^{0}{{C}_{n}}^{1}+\ldots +{{\left( 1 \right)}^{k}}{{C}_{n}}^{k}+\ldots +\left( 1 \right){{C}_{n}}^{n}.\]</li></ul><h3 style="text-align:justify;">3. Chú ý</h3>Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1):<ul><li style="text-align:justify;">Số các hạng tử là \[n+1\];</li><li>Tổng số mũ của \[a\] và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức:</li></ul>\[\left( n-k \right)+k=n\]<ul><li style="text-align:justify;">Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.</li><li style="text-align:justify;">Số hạng tổng quát của nhị thức là: \[{{T}_{k+1}}=C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}\] (Đó là số hạng thứ \[k+1\] trong khai triển \[{{\left( a+b \right)}^{n}}\] )</li></ul><h3>4. Tam giác Pascal trong khai triển nhị thức Newton</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/11_a8cdd08af1.PNG?20699.480000010226" alt=""><h2 style="text-align:justify;">B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Tìm số hạng, hệ số chứa \[{{x}^{\alpha }}\] trong khai triển</h3>Cách giải:<ul><li>Viết khai triển \[~{{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}\];</li><li>Biến đổi khai triển thành \[{{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{A}.{{x}^{f(k)}}\] ;</li><li>Số hạng chứa \[{{x}^{\alpha }}\] tương ứng với số hạng chứa \[k\] thỏa mãn \[f\left( k \right)=\alpha \] .</li><li>Từ đó suy ra số hạng cần tìm.</li></ul><h3>Dạng 2. Ứng dụng của nhị thức Newton trong các bài toán liên quan đến \[C_{n}^{k}\] .</h3>Cách giải:<ul><li>Chọn một khai triển \[{{\left( a+x \right)}^{n}}\] phù hợp với \[a\] là hằng số.</li><li>Sử dụng các phép biến đổi đại số hoặc lấy đạo hàm, tích phân.</li><li>Dựa vào điều kiện bài toán, thay \[x\] bởi một giá trị cụ thể.</li></ul><h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (SGK Đại số 11 trang 57)</h3>a) \[{{\left( a+2b \right)}^{2}}\]\[=C_{5}^{0}{{a}^{5}}+C_{5}^{1}{{a}^{4}}.2b+C_{5}^{2}{{a}^{3}}{{\left( 2b \right)}^{2}}+C_{5}^{3}{{a}^{2}}{{\left( 2b \right)}^{3}}+C_{5}^{4}a{{\left( 2b \right)}^{4}}+C_{5}^{5}{{\left( 2b \right)}^{5}}\]\[=C_{5}^{0}{{a}^{5}}+2C_{5}^{1}{{a}^{4}}b+{{2}^{2}}C_{5}^{2}{{a}^{3}}{{b}^{2}}+{{2}^{3}}C_{5}^{3}{{a}^{2}}{{b}^{3}}+{{2}^{4}}C_{5}^{4}a{{b}^{4}}+{{2}^{5}}C_{5}^{5}{{b}^{5}}\]b) \[{{\left( a-\sqrt{2} \right)}^{6}}\]\[=C_{6}^{0}{{a}^{6}}+C_{6}^{1}{{a}^{5}}\left( -\sqrt{2} \right)+C_{6}^{2}{{a}^{4}}{{\left( -\sqrt{2} \right)}^{2}}+C_{6}^{3}{{a}^{3}}{{\left( -\sqrt{2} \right)}^{3}}+C_{6}^{4}{{a}^{2}}{{\left( \sqrt{2} \right)}^{4}}+C_{6}^{5}a{{\left( -\sqrt{2} \right)}^{5}}+C_{6}^{6}{{\left( -\sqrt{2} \right)}^{6}}\]\[=C_{6}^{0}{{a}^{6}}-\sqrt{2}C_{6}^{1}{{a}^{5}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}C_{6}^{2}{{a}^{4}}-{{\left( \sqrt{2} \right)}^{3}}C_{6}^{3}{{a}^{3}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{4}}C_{6}^{4}{{a}^{2}}-{{\left( \sqrt{2} \right)}^{5}}C_{6}^{5}a+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{6}}C_{6}^{6}\]c) \[{{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{13}}\]\[=C_{13}^{0}{{x}^{13}}+C_{13}^{1}{{x}^{12}}\left( -\frac{1}{x} \right)+C_{13}^{2}{{x}^{11}}{{\left( -\frac{1}{x} \right)}^{2}}+...+C_{13}^{12}x{{\left( -\frac{1}{x} \right)}^{12}}+C_{13}^{13}{{\left( -\frac{1}{x} \right)}^{13}}\]\[=C_{13}^{0}{{x}^{13}}-C_{13}^{1}{{x}^{11}}+C_{13}^{2}{{x}^{9}}-...+C_{13}^{12}\frac{1}{{{x}^{11}}}-C_{13}^{13}\frac{1}{{{x}^{13}}}\]<h3>Bài 2. (SGK Đại số 11 trang 58)</h3>\[{{\left( x+\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{6}}=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{x}^{k}}{{\left( \frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{6-k}}}=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{x}^{3k-12}}{{.2}^{6-k}}}\]Ta có : \[3k-12=3\Leftrightarrow k=5\]Vậy hệ số của \[{{x}^{3}}\] là \[2.C_{6}^{5}\]<h3>Bài 3. (SGK Đại số 11 trang 58)</h3>\[{{\left( 1-3x \right)}^{n}}\]\[=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{1}^{k}}.{{\left( -3x \right)}^{n-k}}}\]\[=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( -3 \right)}^{n-k}}C_{n}^{k}{{x}^{n-k}}}\]Theo bài ra ta có :\[n-k=2;{{\left( -3 \right)}^{n-k}}C_{n}^{k}=90\]\[\Leftrightarrow k=n-2;{{\left( -3 \right)}^{2}}C_{n}^{k}=90\]\[\Rightarrow C_{n}^{k}=10\Leftrightarrow C_{n}^{n-2}=10\]\[\Leftrightarrow \frac{n!}{2!\left( n-2 \right)!}=10\]\[\Leftrightarrow n\left( n-1 \right)=20\]\[\Leftrightarrow n=-4\] (loại); \[n=5\]<h3>Bài 4. (SGK Đại số 11 trang 58)</h3>\[{{\left( {{x}^{3}}+\frac{1}{x} \right)}^{8}}=\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}{{x}^{3k}}{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{8-k}}}=\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}{{x}^{4k-8}}}\]Ta có : \[4k-8=0\Leftrightarrow k=2\]Vậy số hạng không chứa x là \[C_{8}^{2}\] .<h3>Bài 5. (SGK Đại số 11 trang 58)</h3>\[{{\left( 3x-14 \right)}^{17}}\]\[=C_{17}^{0}{{\left( 3x \right)}^{17}}+C_{17}^{1}{{\left( 3x \right)}^{16}}.\left( -4 \right)+C_{17}^{2}{{\left( 3x \right)}^{15}}.{{\left( -4 \right)}^{2}}+C_{17}^{3}{{\left( 3x \right)}^{14}}.{{\left( -4 \right)}^{3}}+...+C_{17}^{16}3x.{{\left( -4 \right)}^{16}}+C_{17}^{17}{{\left( -4 \right)}^{17}}\]\[={{3}^{17}}C_{17}^{0}{{x}^{17}}-{{3}^{16}}.4C_{17}^{1}{{x}^{16}}+{{3}^{15}}{{.4}^{2}}C_{17}^{2}{{x}^{15}}-{{3}^{14}}{{.4}^{3}}C_{17}^{3}{{x}^{14}}+...+{{3.4}^{16}}C_{17}^{16}x-{{4}^{17}}C_{17}^{17}\]Chọn \[x=1\] ta có :\[{{3}^{17}}C_{17}^{0}-{{3}^{16}}.4C_{17}^{1}+{{3}^{15}}{{.4}^{2}}C_{17}^{2}-{{3}^{14}}{{.4}^{3}}C_{17}^{3}+...+{{3.4}^{16}}C_{17}^{16}-{{4}^{17}}C_{17}^{17}={{\left( 3.1-4 \right)}^{17}}=-1\]<h3>Bài 6. (SGK Đại số 11 trang 58)</h3>a) \[{{11}^{10}}={{\left( 10+1 \right)}^{10}}\]\[=C_{10}^{0}{{.10}^{10}}+C_{10}^{1}{{.10}^{9}}.1+C_{10}^{2}{{.10}^{8}}{{.1}^{2}}+...+C_{10}^{9}{{.10.1}^{9}}+C_{10}^{10}{{.1}^{10}}\]\[=C_{10}^{0}{{.10}^{10}}+C_{10}^{1}{{.10}^{9}}+C_{10}^{2}{{.10}^{8}}+...+C_{10}^{9}.10+C_{10}^{10}\]\[\Rightarrow {{11}^{10}}-1=C_{10}^{0}{{.10}^{10}}+C_{10}^{1}{{.10}^{9}}+C_{10}^{2}{{.10}^{8}}+...+C_{10}^{9}.10+C_{10}^{10}-1\]\[=C_{10}^{0}{{.10}^{10}}+C_{10}^{1}{{.10}^{9}}+C_{10}^{2}{{.10}^{8}}+...+C_{10}^{9}.10\]\[\Rightarrow \left( C_{10}^{0}{{.10}^{10}}+C_{10}^{1}{{.10}^{9}}+C_{10}^{2}{{.10}^{8}}+...+C_{10}^{8}{{.10}^{2}}+10.10 \right)\vdots 100\]\[\Rightarrow \left( {{11}^{10}}-1 \right)\vdots 100\]b) \[{{101}^{100}}={{\left( 100+1 \right)}^{100}}\]\[=C_{100}^{0}{{.100}^{100}}+C_{100}^{1}{{.100}^{99}}+C_{100}^{2}{{.100}^{98}}+...+C_{100}^{98}{{.100}^{2}}+C_{100}^{99}.100+C_{100}^{100}\]\[\Rightarrow {{101}^{100}}-1=C_{100}^{0}{{.100}^{100}}+C_{100}^{1}{{.100}^{99}}+C_{100}^{2}{{.100}^{98}}+...+C_{100}^{98}{{.100}^{2}}+C_{100}^{99}.100\]\[\Rightarrow \left( C_{100}^{0}{{.100}^{100}}+C_{100}^{1}{{.100}^{99}}+C_{100}^{2}{{.100}^{98}}+...+C_{100}^{98}{{.100}^{2}}+100.100 \right)\vdots 10000\]\[\Rightarrow \left( {{101}^{100}}-1 \right)\vdots 10000\]c) \[{{\left( 1+\sqrt{10} \right)}^{100}}=C_{100}^{0}+C_{100}^{1}\sqrt{10}+C_{100}^{2}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{2}}+C_{100}^{3}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{3}}+...+C_{100}^{99}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{99}}+C_{100}^{100}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{100}}\]\[{{\left( 1-\sqrt{10} \right)}^{100}}=C_{100}^{0}-C_{100}^{1}\sqrt{10}+C_{100}^{2}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{2}}-C_{100}^{3}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{3}}+...-C_{100}^{99}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{99}}+C_{100}^{100}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{100}}\]\[\Rightarrow {{\left( 1+\sqrt{10} \right)}^{100}}-{{\left( 1-\sqrt{10} \right)}^{100}}=2\left( C_{100}^{1}\sqrt{10}+C_{100}^{3}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{3}}+C_{100}^{5}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{5}}+...+C_{100}^{97}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{97}}+C_{100}^{99}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{99}} \right)\] \[=2\sqrt{10}\left( C_{100}^{1}+C_{100}^{3}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{2}}+C_{100}^{5}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{4}}+...+C_{100}^{97}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{96}}+C_{100}^{99}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{98}} \right)\]\[=2\sqrt{10}.P\]\[\Rightarrow \sqrt{10}\left[ {{\left( 1+\sqrt{10} \right)}^{100}}-{{\left( 1-\sqrt{10} \right)}^{100}} \right]=\sqrt{10}.2\sqrt{10}.P=20P\]\[\Rightarrow \sqrt{10}\left[ {{\left( 1+\sqrt{10} \right)}^{100}}-{{\left( 1-\sqrt{10} \right)}^{100}} \right]\] là số nguyên.Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa bài tập nhị thức niu tơn lớp 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất.

Nhị thức Newton

<h2 style="text-align:center;">BÀI 4: CẤP SỐ NHÂN</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3 style="text-align:justify;">1. Định nghĩa</h3>Cấp số nhân là một dãy số mà trong đó kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q không đổi, nghĩa là\[\left( {{\mathbf{u}}_{\mathbf{n}}} \right)\] là cấp số nhân \[\Leftrightarrow \] mọi \[\mathbf{n}\ge \mathbf{2}\] , và \[{{\mathbf{u}}_{\mathbf{n}}}={{\mathbf{u}}_{\mathbf{n}-\mathbf{1}}}.\mathbf{q}\]Số \[q\] được gọi là công bội của cấp số nhân.<h3 style="text-align:justify;">2. Tính chất</h3>Trung bình nhân: \[u_{k}^{2}={{u}_{k-1}}.{{u}_{k+1}}\] với \[k\ge 2\]<h3 style="text-align:justify;">3. Số hạng tổng quát</h3>\[{{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}\] với \[n\ge 2\]<h3 style="text-align:justify;">4. Tổng của n số hạng trong cấp số nhân</h3>\[{{S}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{u}_{i}}}={{u}_{1}}(1+q+{{q}^{2}}+...+{{q}^{n-1}})=\frac{{{u}_{1}}(1-{{q}^{n}})}{1-q}\]<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Chứng minh/xét một dãy số là cấp số nhân</h3>Cách giải:Để chứng minh dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] là một cấp số nhân, ta xét \[A=\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}\]<ul><li>Nếu \[A\] là hằng số thì \[\left( {{u}_{n}} \right)\] là một cấp số nhân với công bội \[q=A\].</li><li>Nếu \[A\] phụ thuộc vào n thì \[\left( {{u}_{n}} \right)\] không là cấp số nhân.</li></ul><h3>Dạng 2. Xác định \[{{u}_{1}};{{u}_{k}};q;...\] của cấp số nhân</h3>Cách giải:<ul><li>Ta thiết lập một hệ phương trình gồm hai ẩn \[{{u}_{1}}\] và \[q\]. Sau đó giải hệ phương trình này tìm được \[{{u}_{1}}\] và \[q\].</li><li>Muốn tìm số hạng thứ \[k\] , trước tiên ta phải tìm \[{{u}_{1}}\] và \[q\]. Sau đó áp dụng công thức: \[{{u}_{k}}={{u}_{1}}{{q}^{k-1}}\].</li></ul><h3>Dạng 3. Tính tổng của \[n\] số hạng đầu tiên của cấp số nhân</h3>Cách giải:<ul><li>Ta thiết lập một hệ phương trình gồm hai ẩn \[{{u}_{1}}\] và \[q\]. Sau đó giải hệ phương trình này tìm được \[{{u}_{1}}\] và \[q\].</li><li>Khi đó, tổng của \[n\] số hạng đầu tiên của cấp số nhân là \[{{S}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{u}_{i}}}={{u}_{1}}(1+q+{{q}^{2}}+...+{{q}^{n-1}})=\frac{{{u}_{1}}(1-{{q}^{n}})}{1-q}\].</li></ul><h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (SGK Đại số 11 trang 103)</h3>+ \[{{u}_{n}}=\frac{3}{5}{{.2}^{n}}\]Ta có \[\forall n\in {{N}^{*}}:\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{\frac{3}{5}{{.2}^{n+1}}}{\frac{3}{5}{{.2}^{n}}}=2\]\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] là cấp số nhân với \[{{u}_{1}}=\frac{6}{5},q=2\]+ \[{{u}_{n}}=\frac{5}{{{2}^{n}}}\]Ta có \[\forall n\in {{N}^{*}}:\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{\frac{5}{{{2}^{n+1}}}}{\frac{5}{{{2}^{n}}}}=\frac{5}{{{2}^{n+1}}}.\frac{{{2}^{n}}}{5}=\frac{1}{2}\]\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] là cấp số nhân với \[{{u}_{1}}=\frac{5}{2},q=\frac{1}{2}\]+ \[{{u}_{n}}={{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{n}}\]Ta có \[\forall n\in {{N}^{*}}:\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{n+1}}}{{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{n}}}=-\frac{1}{2}\]\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] là cấp số nhân với \[{{u}_{1}}=\frac{-1}{2},q=\frac{-1}{2}\]<h3>Bài 2. (SGK Đại số 11 trang 103)</h3>a) \[{{u}_{1}}=2,{{u}_{6}}=486\]Ta có \[{{u}_{6}}={{u}_{1}}.{{q}^{5}}=2.{{q}^{5}}\]$ \Rightarrow {q^5} = 243 = {3^5} \Rightarrow q = 3$b) \[q=\frac{2}{3},{{u}_{4}}=\frac{8}{21}\]Ta có : \[{{u}_{4}}={{u}_{1}}.{{q}^{3}}\Rightarrow {{u}_{1}}=\frac{{{u}_{4}}}{{{q}^{3}}}=\frac{9}{7}\]c) \[{{u}_{1}}=3,q=-2\]Ta có : \[{{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}\]$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 192 = 3.{\left( { - 2} \right)^{n - 1}}\\ \Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^{n - 1}} = 64 = {\left( { - 2} \right)^6}\\ \Leftrightarrow n - 1 = 6\\ \Leftrightarrow n = 7 \end{array}$<h3>Bài 3. (SGK Đại số 11 trang 103)</h3>a) $\left\{ \begin{array}{l} {u_3} = 3\\ {u_5} = 27 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1}{q^2} = 3\\ {u_1}{q^4} = 27 \end{array} \right.$\[\Rightarrow {{q}^{2}}=9\Leftrightarrow q=\pm 3\]Với \[q=-3\] , ta có cấp số nhân \[\left( {{u}_{n}} \right)\] là : \[\frac{1}{3};-1;3;-9;27\]Với \[q=3\] , ta có cấp số nhân \[\left( {{u}_{n}} \right)\] là : \[\frac{1}{3};1;3;9;27\]b) $\left\{ \begin{array}{l} {u_4} - {u_2} = 25\\ {u_3} - {u_1} = 50 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1}{q^3} - {u_1}q = 25\\ {u_1}{q^2} - {u_1} = 50 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1}q\left( {{q^2} - 1} \right) = 25\\ {u_1}\left( {{q^2} - 1} \right) = 50 \end{array} \right.\left( I \right)$+ Xét \[{{q}^{2}}-1=0\Leftrightarrow q=\pm 1\]\[\Rightarrow \] Hệ phương trình (I) vô lí+ Xét \[{{q}^{2}}-1\ne 0\] ta có :\[\left( I \right)\Rightarrow q=\frac{1}{2}\Rightarrow {{u}_{1}}=\frac{50}{{{q}^{2}}-1}=-\frac{200}{3}\]\[\Rightarrow \] Cấp số nhân \[\left( {{u}_{n}} \right)\] là \[\frac{-200}{3};\frac{-100}{3};\frac{-50}{3};\frac{-25}{3};\frac{-25}{6}\]<h3>Bài 4. (SGK Đại số 11 trang 104)</h3>Ta có : $\left\{ \begin{array}{l} {u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 31\\ {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} + {u_6} = 62 \end{array} \right.$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1}q + {u_2}q + {u_3}q + {u_4}q + {u_5}q = 31q\\ {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} + {u_6} = 62 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} + {u_6} = 31q\\ 31q = 62 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 31\\ q = 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = 31\\ q = 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 1\\ q = 2 \end{array} \right. \end{array}$\[\Rightarrow \] Cấp số nhân là \[1;2;4;8;16;32\] .<h3>Bài 5. (SGK Đại số 11 trang 104)</h3>Gọi số dân của tỉnh hiện nay là \[{{X}_{0}}\] ( triệu người)Năm đầu tiên, số dân của tỉnh là : ${X_1} = {X_0} + 1,4\% {X_0} = {X_0}\left( {1 + 1,4\% } \right)$Năm thứ hai, số dân của tỉnh là : ${X_2} = {X_1} + 1,4\% {X_1} = {X_1}\left( {1 + 1,4\% } \right) = {X_0}{\left( {1 + 1,4\% } \right)^2}$…Năm thứ n, số dân của tỉnh là : ${X_n} = {X_0}{\left( {1 + 1,4\% } \right)^n}$\[\Rightarrow \] Số dân của tỉnh sau mỗi năm lập thành cấp số nhân.+ Sau 5 năm, số dân của tỉnh là : ${X_5} = {X_0}{\left( {1 + 1,4\% } \right)^5} = 1,8{\left( {1 + 1,4\% } \right)^5} \approx 1,93$(triệu người)+ Sau 10 năm, số dân của tỉnh là : ${X_{10}} = {X_0}{\left( {1 + 1,4\% } \right)^{10}} = 1,8{\left( {1 + 1,4\% } \right)^{10}} \approx 2,07$(triệu người)<h3>Bài 6. (SGK Đại số 11 trang 104)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/L11_DS_C03_B04_06_6a2a8e0a74.PNG?20905.264999950305">Ta có : \[{{a}_{1}}=4\]Theo định lí Pi-ta-go ta có :\[{{a}_{n+1}}=\sqrt{{{\left( \frac{{{a}_{n}}}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{3{{a}_{n}}}{4} \right)}^{2}}}\]$\begin{array}{l} = \sqrt {a_n^2\left( {\frac{1}{{16}} + \frac{9}{{16}}} \right)} \\ = {a_n}.\frac{{\sqrt {10} }}{4} \end{array}$\[\Rightarrow \left( {{a}_{n}} \right)\] là cấp số nhân với \[{{u}_{1}}=4;q=\frac{\sqrt{10}}{4}\]Gợi ý Giải bài tập sách giáo bài tập cấp số nhân toán học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất.

Bài 4. Cấp số nhân

Cấp số nhân

<h2 style="text-align:center;">BÀI 3: CẤP SỐ CỘNG</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3 style="text-align:justify;">1. Định nghĩa</h3>Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.Nếu \[\left( {{u}_{n}} \right)\] là cấp số cộng với công sai d, ta có \[{{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+d\] với \[n\in {{N}^{*}}\]Đặc biệt khi \[d=0\] thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).<h3 style="text-align:justify;">2. Số hạng tổng quát</h3>Định lí 1:Nếu cấp số cộng \[\left( {{u}_{n}} \right)\] có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát \[{{u}_{n}}\] được xác định bởi công thức: ${u_n} = {u_1} + \left( {n-1} \right)d$ với \[n\ge 2\]<h3 style="text-align:justify;">3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng.</h3>Định lí 2:Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là \[{{u}_{k}}=\frac{{{u}_{k-1}}+{{u}_{k+1}}}{2}\] với \[\text{k}\ge 2\] .<h3 style="text-align:justify;">4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng</h3>Định lí 3:Cho cấp số cộng \[\left( {{u}_{n}} \right)\]. Đặt \[{{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+\ldots +{{u}_{n}}\]. Khi đó, \[{{\text{S}}_{\text{n}}}=\frac{n\left( {{u}_{1}}+{{u}_{n}} \right)}{2}\] .Chú ý: Vì \[{{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n1 \right)d\] nên công thức trên có thể viết lại là \[{{\text{S}}_{\text{n}}}=\text{n}{{\text{u}}_{1}}+\frac{n\left( n-1 \right)}{2}~\text{d}\] .<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Chứng minh/xét một dãy số là cấp số cộng</h3>Cách giải:Để chứng minh dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] là một cấp số cộng, ta xét \[A={{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}\]<ul><li>Nếu \[A\] là hằng số thì \[\left( {{u}_{n}} \right)\] là một cấp số cộng với công sai \[d=A\].</li><li>Nếu \[A\] phụ thuộc vào n thì \[\left( {{u}_{n}} \right)\] không là cấp số cộng.</li></ul><h3>Dạng 2. Xác định \[{{u}_{1}};{{u}_{k}};d;...\] của cấp số cộng</h3>Cách giải:<ul><li>Ta thiết lập một hệ phương trình gồm hai ẩn \[{{u}_{1}}\] và \[d\]. Sau đó giải hệ phương trình này tìm được \[{{u}_{1}}\] và \[d\].</li><li>Muốn tìm số hạng thứ \[k\] , trước tiên ta phải tìm \[{{u}_{1}}\] và \[d\]. Sau đó áp dụng công thức: \[{{u}_{k}}={{u}_{1}}+\left( k-1 \right)d\].</li></ul><h3>Dạng 3. Tính tổng của \[n\] số hạng đầu tiên của cấp số cộng</h3>Cách giải:<ul><li>Ta thiết lập một hệ phương trình gồm hai ẩn \[{{u}_{1}}\] và \[d\]. Sau đó giải hệ phương trình này tìm được \[{{u}_{1}}\] và \[d\].</li><li>Khi đó, tổng của \[n\] số hạng đầu tiên của cấp số cộng là \[{{S}_{k}}=\frac{k\left( {{u}_{1}}+{{u}_{k}} \right)}{2}=\frac{k\left[ 2{{u}_{1}}+\left( k-1 \right)d \right]}{2}\].</li></ul><h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (SGK Đại số 11 trang 97)</h3>a) \[{{u}_{n}}=5-2n\]Ta có : \[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=5-2\left( n+1 \right)-\left( 5-2n \right)=-2\]\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] là cấp số cộng có \[{{u}_{1}}=3,d=-2\]b) \[{{u}_{n}}=\frac{n}{2}-1\]Ta có : \[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{n+1}{2}-1-\left( \frac{n}{2}-1 \right)=\frac{n+1}{2}-\frac{n}{2}=\frac{1}{2}\]\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] là cấp số cộng có \[{{u}_{1}}=-\frac{1}{2},d=\frac{1}{2}\]c) \[{{u}_{n}}={{3}^{n}}\]Ta có : \[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}={{3}^{n+1}}-{{3}^{n}}={{3.3}^{n}}-{{3}^{n}}={{2.3}^{n}}\]\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] không là cấp số cộngd) \[{{u}_{n}}=\frac{7-3n}{2}\]Ta có : \[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{7-3\left( n+1 \right)}{2}-\frac{7-3n}{2}=\frac{4-3n-7+3n}{2}=-\frac{3}{2}\]\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] là cấp số cộng với \[{{u}_{1}}=2,d=-\frac{3}{2}\]<h3>Bài 2. (SGK Đại số 11 trang 97)</h3>a) $\left\{ \begin{array}{l} {u_1} - {u_3} + {u_5} = 10\\ {u_1} + {u_6} = 17 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} - \left( {{u_1} + 2d} \right) + {u_1} + 4d = 10\\ {u_1} + {u_1} + 5d = 17 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} + 2d = 10\\ 2{u_1} + 5d = 17 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 16\\ d = - 3 \end{array} \right.$b) $\left\{ \begin{array}{l} {u_7} - {u_3} = 8\\ {u_2}.{u_7} = 75 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} + 6d - \left( {{u_1} + 2d} \right) = 8\\ \left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + 6d} \right) = 75 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4d = 8\\ \left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + 6d} \right) = 75 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} d = 2\\ \left( {{u_1} + 2} \right)\left( {{u_1} + 12} \right) = 75 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} d = 2\\ u_1^2 + 14{u_1} - 51 = 0 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} d = 2\\ \left[ \begin{array}{l} {u_1} = 3\\ {u_1} = - 17 \end{array} \right. \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 3\\ d = 2 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = - 17\\ d = 2 \end{array} \right. \end{array} \right.$<h3>Bài 3. (SGK Đại số 11 trang 97)</h3>a) Công thức$\begin{array}{l} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\ {S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)d}}{2} \end{array}$Cần phải biết ít nhất 3 đại lượng để có thể tìm các đại lượng còn lại.b)&nbsp;<figure class="table"><table style=";"><tbody><tr><td style="border:1px solid black;vertical-align:top;width:125px;">\[{{u}_{1}}\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;width:126px;">d</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;width:125px;">\[{{u}_{n}}\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;width:125px;">n</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;width:125px;">\[{{S}_{n}}\]</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">-2</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:126px;">3</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">55</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">20</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">530</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">36</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:126px;">-4</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">-20</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">15</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">120</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">3</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:126px;">\[\frac{4}{27}\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">7</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">28</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">140</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">-5</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:126px;">2</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">17</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">12</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">72</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">2</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:126px;">-5</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">-43</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">10</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">-205</td></tr></tbody></table></figure>&nbsp;<h3>Bài 4. (SGK Đại số 11 trang 98)</h3>a) Đây là bài toán tìm số hạng tổng quát của một cấp số cộng với \[{{u}_{1}}=0,5+0,18=0,68\left( m \right)\] và \[d=18cm=0,18m\] .Gọi \[{{h}_{n}}\] là độ cao của bậc thứ n so với mặt sân\[\Rightarrow {{h}_{n}}=0,68+\left( n-1 \right).0,18\left( m \right)\]b) Độ cao của sân tầng 2 so với mặt sân là :\[{{h}_{21}}=0,68+20.0,18=4,28\left( m \right)\]<h3>Bài 5. (SGK Đại số 11 trang 98)</h3>Từ 0h đến 12h trưa đồng hồ đánh số tiếng là : \[S=1+2+3+...+12\]Đây là tổng của cấp số cộng với 12 số hạng và \[{{u}_{1}}=1,{{u}_{12}}=12\]\[\Rightarrow S=\frac{12.\left( 1+12 \right)}{2}=78\]Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa cấp số cộng toán học lớp 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất.

Bài 3. Cấp số cộng

Cấp số cộng

<h2 style="text-align:center;">BÀI 2: DÃY SỐ</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Định nghĩa</h3>Định nghĩa dãy số:Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương \[{{\mathbb{N}}^{*}}\] được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:$\begin{array}{*{20}{l}} {u:{N^ * } \to R}\\ {\;\;\;\,\,\,\,n\;\,\,\, \mapsto u\left( n \right)} \end{array}$Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển \[{{u}_{1}},\text{ }{{u}_{2}},{{u}_{3}},\text{ }\ldots .,{{u}_{n}},\ldots .,\]trong đó \[{{u}_{n}}=u\left( n \right)\] là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát, \[{{u}_{1}}\] là số hạng đầu của dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\]Định nghĩa dãy số hữu hạn:Mỗi hàm số u xác định trên tập \[M=\left\{ 1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }...,\text{ }m \right\}\], với \[m\in {{\mathbb{N}}^{*}}\] được gọi là một dãy số hữu hạn.Dạng khai triển của nó là: \[{{u}_{1}},\text{ }{{u}_{2}},{{u}_{3}},\text{ }\ldots .,{{u}_{m}}\], trong đó \[{{u}_{1}}\] là số hạng đầu, \[{{u}_{m}}\] là số hạng cuối.<h3>2. Cách cho một dãy số</h3>a) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát.Cho dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right):{{u}_{n}}=f\left( n \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)\]Từ công thức \[\left( 1 \right)\] ta có thể xác định được bất kì một số hạng nào của dãy số. Khi đó, dãy số được cho bằng công thức của số hạng tổng quát.b) Dãy số cho bằng phương pháp mô tảNgười ta cho một mệnh đề mô tả trong đó chỉ ra cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số. Khi đó, dãy số được cho bằng phương pháp mô tả.c) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi<ul><li>Cho số hạng đầu (hoặc một vài số hạng đầu).</li><li>Cho hệ thức truy hồi, túc là hệ thúc biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hoặc vài số hạng) đứng trước nó.</li></ul><h3>3. Biểu diễn hình học của dãy số</h3>Ta có thể biểu diễn dãy số bằng đồ thị. Trong mặt phẳng tọa độ, dãy số được biểu diễn bằng các điểm có toạn độ \[\left( n;{{u}_{n}} \right)\] .<h3>4. Dãy số tăng, dãy số giảm</h3>Định nghĩa:<ul><li>Dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] được gọi là dãy số tăng nếu \[{{u}_{n+1}}~&gt;{{u}_{n}}\],\[\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\];</li><li>Dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] được gọi là dãy số giảm nếu \[{{u}_{n+1}}~&lt;{{u}_{n}}\],\[\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\].</li></ul>Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm.<h3>5. Dãy số bị chặn</h3>Định nghĩa:<ul><li>Dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho</li></ul>\[{{u}_{n}}\le \text{ }M\], \[\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\];<ul><li>Dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho</li></ul>\[{{u}_{n}}\ge m\], \[\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\];<ul><li>Dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại số \[m,M\] sao cho</li></ul>\[m\le {{u}_{n}}\le \text{ }M\], \[\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\];<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Tìm số hạng của dãy số</h3>Cách giải:Thay trực tiếp giá trị của \[n\] vào công thức hoặc tính lần lượt các số hạng,…<h3>Dạng 2. Tìm công thức tổng quát của dãy số</h3>Cách giải:Cách 1. Sử dụng biến đổi đại số để thu gọn và đơn giản biểu thức của \[{{u}_{n}}\]Cách 2. Sử dụng phương pháp quy nạp bằng việc thực hiện theo các bước sau:<ul><li>Viết một vài số hạng đầu của dãy, từ đó dự đoán công thức cho \[{{u}_{n}}\]</li><li>Chứng minh công thức dự đoán bằng phương pháp quy nạp</li></ul><h3>Dạng 3. Xét tính tăng, giảm của dãy số</h3>Cách giải:Cách 1: Xét hiệu \[H={{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}\].<ul><li>Nếu \[H&gt;0\], \[\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\] thì dãy số tăng</li><li>Nếu \[H&lt;0\], \[\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\] thì dãy số giảm.</li></ul>Cách 2: Nếu \[{{u}_{n}}&gt;0\], \[\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\] thì lập tỉ số \[\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}\] , rồi so sánh với 1.<ul><li>Nếu \[\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}&gt;1\] , \[\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\] thì dãy số tăng.</li><li>Nếu \[\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}&lt;1\] , \[\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\] thì dãy số giảm.</li></ul><h3>Dạng 4. Xét tính bị chặn của dãy số</h3>Cách giải:<ul><li>Chứng minh trực tiếp bằng bất đẳng thức</li><li>Dự đoán chặn trên, chặn dưới rồi chứng minh bằng phương pháp quy nạp</li></ul><h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (SGK Đại số 11 trang 92)</h3>a) \[{{u}_{n}}=\frac{n}{{{2}^{n}}-1}\]\[\Rightarrow \] 5 số hạng đầu của dãy là \[1;\frac{2}{3};\frac{3}{7};\frac{4}{15};\frac{5}{31}\]b) \[{{u}_{n}}=\frac{{{2}^{n}}-1}{{{2}^{n}}+1}\]\[\Rightarrow \] 5 số hạng đầu của dãy là \[\frac{1}{3};\frac{3}{5};\frac{7}{9};\frac{15}{17};\frac{31}{33}\]c) \[{{u}_{n}}={{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{_{n}}}\]\[\Rightarrow \] 5 số hạng đầu của dãy là \[2;\frac{9}{4};\frac{64}{27};\frac{625}{256};\frac{7776}{3125}\]d) \[{{u}_{n}}=\frac{n}{\sqrt{{{n}^{2}}+1}}\]\[\Rightarrow \] 5 số hạng đầu của dãy là \[\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{2}{\sqrt{5}};\frac{3}{\sqrt{10}};\frac{4}{\sqrt{17}};\frac{5}{\sqrt{26}}\]<h3>Bài 2. (SGK Đại số 11 trang 92)</h3>a) 5 số hạng đầu của dãy số là : \[-1;2;5;8;11\]b) Với \[n=1\] ta có \[{{u}_{1}}=-1\] (luôn đúng)Giả sử hệ thức đúng với \[n=k\ge 1\] , tức là : \[{{u}_{k}}=3k-4\]Ta cần chứng minh hệ thức đúng với \[{{u}_{k+1}}=3\left( k+1 \right)-4\]Thật vậy \[{{u}_{k+1}}={{u}_{k}}+3\]\[\Leftrightarrow {{u}_{k+1}}=3k-4+3\]\[\Leftrightarrow {{u}_{k+1}}=3\left( k+1 \right)-4\] (điều phải chứng minh)Vậy ta có điều phải chứng minh.<h3>Bài 3. (SGK Đại số 11 trang 92)</h3>a)$\begin{array}{l} {u_1} = 3\\ {u_2} = \sqrt {1 + 9} = \sqrt {10} \\ {u_3} = \sqrt {1 + 10} = \sqrt {11} \\ {u_4} = \sqrt {1 + 11} = \sqrt {12} \\ {u_5} = \sqrt {1 + 12} = \sqrt {13} \end{array}$\[\Rightarrow \] 5 số hạng đầu của dãy là \[3;\sqrt{10};\sqrt{11};\sqrt{12};\sqrt{13}\] .b) Ta thấy :$\begin{array}{l} {u_1} = 3 = \sqrt 9 = \sqrt {1 + 8} \\ {u_2} = \sqrt {10} = \sqrt {2 + 8} \\ {u_3} = \sqrt {11} = \sqrt {3 + 8} \\ {u_4} = \sqrt {12} = \sqrt {4 + 8} \\ {u_5} = \sqrt {13} = \sqrt {5 + 8} \end{array}$\[\Rightarrow \] Dự đoán số hạng tổng quát là \[{{u}_{n}}=\sqrt{n+8}\left( n\ge 1 \right)\]Chứng minh+ Với \[n=1\] ta có \[{{u}_{1}}=\sqrt{1+8}=3\] ( đúng)+ Giả sử biểu thức đúng với \[n=k\ge 1\] tức là \[{{u}_{k}}=\sqrt{k+8}\]Ta cần chứng minh biểu thức đúng với \[n=k+1\] tức là \[{{u}_{k+1}}=\sqrt{\left( k+1 \right)+8}\]Thật vậy \[{{u}_{k+1}}=\sqrt{1+u_{k}^{2}}=\sqrt{1+\left( k+8 \right)}=\sqrt{\left( k+1 \right)+8}\] (điều phải chứng minh)Vậy số hạng tổng quát của dãy là \[{{u}_{n}}=\sqrt{n+8}\]<h3>Bài 4. (SGK Đại số 11 trang 92)</h3>a) \[{{u}_{n}}=\frac{1}{n}-2\]Xét hiệu \[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\left( \frac{1}{n+1}-2 \right)-\left( \frac{1}{n}-2 \right)=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}&lt;0\]\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] là dãy số giảmb) \[{{u}_{n}}=\frac{n-1}{n+1}\]Xét hiệu \[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{n}{n+2}-\frac{n-1}{n+1}=\frac{n\left( n+1 \right)-\left( n-1 \right)\left( n+2 \right)}{\left( n+2 \right)\left( n+1 \right)}=\frac{2}{\left( n+2 \right)\left( n+1 \right)}&gt;0\]\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] là dãy số tăngc) \[{{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}\left( {{2}^{n}}+1 \right)\]Ta có : \[{{u}_{1}}=-3;\,\,{{u}_{2}}=5;\,\,{{u}_{3}}=-9;\,\,{{u}_{4}}=17\]$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} &lt; {u_2}\\ {u_2} &gt; {u_3}\\ {u_3} &lt; {u_4} \end{array} \right.$ \[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] là dãy không tăng không giảmd) \[{{u}_{n}}=\frac{2n+1}{5n+2}\]Xét thương \[\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{\frac{2\left( n+1 \right)+1}{5\left( n+1 \right)+2}}{\frac{2n+1}{5n+2}}\]\[=\frac{2n+3}{5n+7}.\frac{5n+2}{2n+1}\]\[=\frac{10{{n}^{2}}+19n+6}{10{{n}^{2}}+19n+7}&lt;1,\forall n\in {{N}^{*}}\]\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] là dãy số giảm<h3>Bài 5. (SGK Đại số 11 trang 92)</h3>a) \[{{u}_{n}}=2{{n}^{2}}-1\]+ \[2{{n}^{2}}\ge 2\Rightarrow 2{{n}^{2}}-1\ge 1\Rightarrow {{u}_{n}}\ge 1\]\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] bị chặn dưới+ Giả sử \[\forall \mu &gt;0\] đủ lớn : \[{{u}_{n}}\le \mu \] \[\Rightarrow 2{{n}^{2}}-1\le \mu \] \[\Rightarrow n\le \sqrt{\frac{\mu +1}{2}}\]Mà \[n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\]\[\Rightarrow \] Không tồn tại \[\mu \] thỏa mãn\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] không bị chặn trên\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] không bị chặnb) \[{{u}_{n}}=\frac{1}{n\left( n+2 \right)}\]+ \[\frac{1}{n\left( n+2 \right)}&gt;0,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\] \[\Rightarrow {{u}_{n}}&gt;0\] \[\Rightarrow {{u}_{n}}\] bị chặn dưới+ \[n\ge 1\] $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {n^2} \ge 1\\ 2n \ge 2 \end{array} \right.$ \[\Rightarrow {{n}^{2}}+2n\ge 3\] \[\Rightarrow n\left( n+2 \right)\ge 3\] \[\Leftrightarrow \frac{1}{n\left( n+2 \right)}\le \frac{1}{3}\] \[\Rightarrow {{u}_{n}}\le \frac{1}{3}\] \[\Rightarrow {{u}_{n}}\] bị chặn trên\[\Rightarrow {{u}_{n}}\] bị chặnc) \[{{u}_{n}}=\frac{1}{2{{n}^{2}}-1}\]+ \[n\in {{N}^{*}}\Rightarrow \frac{1}{2{{n}^{2}}-1}&gt;0\] \[\Rightarrow {{u}_{n}}&gt;0\] \[\Rightarrow {{u}_{n}}\] bị chặn dưới+ \[n\ge 1\Rightarrow 2{{n}^{2}}-1\ge 1\Rightarrow \frac{1}{2{{n}^{2}}-1}\le 1\] \[\Rightarrow {{u}_{n}}\le 1\] \[\Rightarrow {{u}_{n}}\] bị chặn trên\[\Rightarrow {{u}_{n}}\] bị chặnd) \[{{u}_{n}}=\sin n+\cos n\]&nbsp; \[\Leftrightarrow {{u}_{n}}=\sqrt{2}\sin \left( n+\frac{\pi }{4} \right)\]$\begin{array}{l} - 1 \le \sin \left( {n + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {n + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le {u_n} \le \sqrt 2 \end{array}$\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặnGợi ý Giải bài tập sách giáo khoa dãy số toán học lớp 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất.

Bài 2. Dãy số

Dãy số

ÔN TẬP CHƯƠNG III<h2>GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1.(SGK Đại số 11 trang 107)</h3>+ Cấp số cộng là dãy số tăng$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {u_{n + 1}} &gt; {u_n}\\ \Leftrightarrow {u_n} + d &gt; {u_n}\\ \Leftrightarrow d &gt; 0 \end{array}$+ Cấp số cộng là dãy số giảm \[\Leftrightarrow d&lt;0\]<h3>Bài 2. (SGK Đại số 11 trang 107)</h3>a) \[{{u}_{1}}&lt;0,q&gt;0\Rightarrow {{q}^{n-1}}&gt;0\]\[{{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}&lt;0\]b) \[{{u}_{1}}&lt;0,q&lt;0\]+ Xét \[n-1=2k\left( k\in {{N}^{*}} \right)\Leftrightarrow n=2k+1\]$\begin{array}{l} \Rightarrow {q^{n - 1}} &gt; 0\\ \Rightarrow {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} &lt; 0 \end{array}$+ Xét \[n-1=2k+1\left( k\in {{N}^{*}} \right)\Leftrightarrow n=2k+2\]$\begin{array}{l} \Rightarrow {q^{n - 1}} &lt; 0\\ \Rightarrow {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} &gt; 0 \end{array}$<h3>Bài 3. (SGK Đại số 11 trang 107)</h3>Giả sử có hai cấp số cộng có cùng số các số hạng+ \[\left( {{u}_{n}} \right)\] : số hạng đầu \[{{u}_{1}}\] , công sai \[{{d}_{1}}\]\[\Rightarrow {{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right){{d}_{1}}\]+ \[\left( {{\text{w}}_{n}} \right)\] : số hạng đầu là \[{{\text{w}}_{1}}\], công sai \[{{d}_{2}}\]\[\Rightarrow {{\text{w}}_{n}}={{\text{w}}_{1}}+\left( n-1 \right){{d}_{2}}\]\[\Rightarrow {{u}_{n}}+{{\text{w}}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right){{d}_{1}}+{{\text{w}}_{2}}+\left( n-1 \right){{\text{w}}_{2}}=\left( {{u}_{1}}+{{\text{w}}_{1}} \right)+\left( n-1 \right)\left( {{d}_{1}}+{{d}_{2}} \right)\]\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}}+{{\text{w}}_{n}} \right)\] : số hạng đầu tiên \[{{u}_{1}}+{{\text{w}}_{1}}\] , công sai \[{{d}_{1}}+{{d}_{2}}\]Vậy tổng các số hạng tương ứng của hai cấp số cộng có cùng số các số hạng lập thành một cấp số cộng.Ví dụ : ${u_n}:\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 2\\ {d_1} = 3 \end{array} \right.$ và ${{\rm{w}}_n}:\left\{ \begin{array}{l} {{\rm{w}}_1} = - 3\\ {d_2} = - 1 \end{array} \right.$\[\Rightarrow {{u}_{n}}=2+3\left( n-1 \right)\] ; \[{{\text{w}}_{n}}=-3-\left( n-1 \right)\]\[\Rightarrow {{u}_{n}}+{{\text{w}}_{n}}=-1+2\left( n-1 \right)\]\[\Rightarrow \] Cấp số cộng \[\left( {{u}_{n}}+{{\text{w}}_{n}} \right)\] có số hạng đầu là -1, công sai là 2.<h3>Bài 4. (SGK Đại số 11 trang 107)</h3>Giả sử có 2 cấp số nhân có cùng các số hạng.+ \[\left( {{u}_{n}} \right)\] : số hạng đầu \[{{u}_{1}}\] , công bội \[{{d}_{1}}\]\[\Rightarrow {{u}_{n}}={{u}_{1}}.q_{1}^{n-1}\]+ \[\left( {{\text{w}}_{n}} \right)\] : số hạng đầu là \[{{\text{w}}_{1}}\], công sai \[{{d}_{2}}\]\[\Rightarrow {{\text{w}}_{n}}={{\text{w}}_{1}}.q_{2}^{n-1}\]\[\Rightarrow {{u}_{n}}.{{\text{w}}_{n}}={{u}_{1}}.q_{1}^{n-1}.{{\text{w}}_{1}}.q_{2}^{n-1}=\left( {{u}_{1}}.{{\text{w}}_{1}} \right){{\left( {{q}_{1}}{{q}_{2}} \right)}^{n-1}}\]\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}}.{{\text{w}}_{n}} \right)\] là một cấp số nhân với số hạng đầu là \[{{u}_{1}}.{{\text{w}}_{1}}\] và công bội \[{{q}_{1}}{{q}_{2}}\] .Ví dụ :$\begin{array}{l} \left( {{u_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = - 2\\ {q_1} = - 2 \end{array} \right. \Rightarrow {u_n} = - 2.{\left( { - 2} \right)^{n - 1}}\\ \left( {{{\rm{w}}_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l} {{\rm{w}}_1} = \frac{1}{3}\\ {q_2} = 3 \end{array} \right. \Rightarrow {{\rm{w}}_n} = \frac{1}{3}{.3^{n - 1}} \end{array}$\[\Rightarrow {{u}_{n}}.{{\text{w}}_{n}}=-\frac{2}{3}.{{\left( -6 \right)}^{n-1}}\]\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}}.{{\text{w}}_{n}} \right)\] là cấp số nhân có số hạng đầu là \[-\frac{2}{3}\] và công bội là -6.<h3>Bài 5. (SGK Đại số 11 trang 107)</h3>a) Với \[n=1\] ta có \[13-1=12\vdots 6\] ( luôn đúng)Giả sử với \[n=k\ge 1\] ta luôn có \[\left( {{13}^{k}}-1 \right)\vdots 6\]Ta cần chứng minh với \[n=k+1\] thì \[\left( {{13}^{k+1}}-1 \right)\vdots 6\]Thật vậy : \[{{13}^{k+1}}-1={{13.13}^{k}}-1=\left( {{13}^{k}}-1 \right)+{{12.13}^{k}}\]Vì $\left\{ \begin{array}{l} \left( {{{13}^k} - 1} \right) \vdots 6\\ {12.13^k} \vdots 6 \end{array} \right. \Rightarrow \left( {{{13}^{k + 1}} - 1} \right) \vdots 6$Vậy \[\left( {{13}^{n}}-1 \right)\vdots 6\]b) Với \[n=1\] ta có \[{{3.1}^{3}}+15.1=18\vdots 9\] ( luôn đúng)Giả sử với \[n=k\ge 1\] ta luôn có \[\left( 3{{k}^{3}}+15k \right)\vdots 9\]Ta cần chứng minh với \[n=k+1\] thì \[\left[ 3{{\left( k+1 \right)}^{3}}+15\left( k+1 \right) \right]\vdots 9\]Thật vậy$\begin{array}{l} 3{\left( {k + 1} \right)^3} + 15\left( {k + 1} \right)\\ = 3\left( {{k^3} + 3{k^2} + 3k + 1} \right) + 15k + 15\\ = 3{k^3} + 9{k^2} + 9k + 3 + 15k + 15\\ = \left( {3{k^3} + 15k} \right) + 9\left( {{k^2} + k + 2} \right) \end{array}$Vì $\left\{ \begin{array}{l} (3{k^3} + 15k) \vdots 9\\ 9\left( {{k^2} + k + 2} \right) \vdots 9 \end{array} \right. \Rightarrow 3{\left( {k + 1} \right)^3} + 15\left( {k + 1} \right) \vdots 9$Vậy \[3{{n}^{3}}+15n\vdots 9\]<h3>Bài 6. (SGK Đại số 11 trang 107)</h3>a)$\begin{array}{l} {u_1} = 2\\ {u_2} = 2.2 - 1 = 3\\ {u_3} = 2.3 - 1 = 5\\ {u_4} = 2.5 - 1 = 9\\ {u_5} = 2.9 - 1 = 17 \end{array}$\[\Rightarrow \] 5 số hạng đầu của dãy là \[2;3;5;9;17\]b)+ Với \[n=1\] ta có \[{{u}_{1}}={{2}^{0}}+1=2\] (đúng)+ Giả sử với \[n=k\ge 1\] ta có \[{{u}_{k+1}}={{2}^{k}}+1\]Thật vậy\[{{u}_{k+1}}=2{{u}_{k}}-1=2\left( {{2}^{k-1}}+1 \right)-1={{2}^{k}}+1\]Vậy \[{{u}_{n}}={{2}^{n-1}}+1\left( n\ge 1 \right)\]<h3>Bài 7. (SGK Đại số 11 trang 107)</h3>a) \[{{u}_{n}}=n+\frac{1}{n}\]Ta có :\[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\left( n+1+\frac{1}{n+1} \right)-\left( n+\frac{1}{n} \right)\]$\begin{array}{l} = 1 + \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n}\\ = \frac{{n\left( {n + 1} \right) + n - \left( {n + 1} \right)}}{{n\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{{n^2} + n - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} &gt; 0\left( {n \in {N^*}} \right) \end{array}$\[\Rightarrow {{u}_{n+1}}&gt;{{u}_{n}}\]\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] là dãy số tăng+ Ta có \[n+\frac{1}{n}\ge 2\sqrt{n.\frac{1}{n}}=2\] (bất đẳng thức Cauchy)\[\Rightarrow {{u}_{n}}\ge 2\]\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] bị chặn dướiKhi n càng lớn thì \[{{u}_{n}}\] càng lớn\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] không bị chặn trênb) \[{{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n-1}}\sin \frac{1}{n}\]+ Ta thấy :$\begin{array}{l} {u_1} = {\left( { - 1} \right)^0}\sin 1 = \sin 1 &gt; 0\\ {u_2} = {\left( { - 1} \right)^1}sin\frac{1}{2} = - \sin \frac{1}{2} &lt; 0\\ {u_3} = {\left( { - 1} \right)^2}\sin \frac{1}{3} = \sin \frac{1}{3} &gt; 0\\ {u_4} = {\left( { - 1} \right)^3}\sin \frac{1}{4} = - \sin \frac{1}{4} &lt; 0 \end{array}$\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] là dãy số không tăng không giảm+ Xét \[\left| {{u}_{n}} \right|=\left| {{\left( -1 \right)}^{n-1}}\sin \frac{1}{n} \right|\le 1\]\[\Rightarrow -1\le {{u}_{n}}\le 1\]\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] là dãy số bị chặnc) \[{{u}_{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{\left( \sqrt{n+1}+\sqrt{n} \right)\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\]Ta có : \[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\left( \sqrt{n+2}-\sqrt{n+1} \right)-\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)=\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\]Ta thấy $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {n + 2} &gt; \sqrt {n + 1} \\ \sqrt {n + 1} &gt; \sqrt n \end{array} \right. \Rightarrow \sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} &gt; \sqrt {n + 1} + \sqrt n $$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} &lt; \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} &lt; 0 \end{array}$\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] là dãy số giảm+ Ta có : \[{{u}_{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}&gt;0\left( n\in {{N}^{*}} \right)\]Với \[n\ge 1\] ta có \[\sqrt{n+1}+\sqrt{n}&gt;\sqrt{2}+1\]$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} &lt; \frac{1}{{\sqrt 2 + 1}}\\ \Rightarrow {u_n} &lt; \frac{1}{{\sqrt 2 + 1}} \end{array}$\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] là dãy số bị chặn<h3>Bài 8. (SGK Đại số 11 trang 107)</h3>a) $\left\{ \begin{array}{l} 5{u_1} + 10{u_5} = 0\\ {S_4} = 14 \end{array} \right.$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5{u_1} + 10\left( {{u_1} + 4d} \right) = 0\\ 4{u_1} + 6d = 14 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 15{u_1} + 40d = 0\\ 4{u_1} + 6d = 14 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 8\\ d = - 3 \end{array} \right. \end{array}$&nbsp;b) $\left\{ \begin{array}{l} {u_7} + {u_{15}} = 60\\ u_4^2 + u_{12}^2 = 1170 \end{array} \right.$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} + 6d + {u_1} + 14d = 60\\ {\left( {{u_1} + 3d} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11d} \right)^2} = 1170 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{u_1} + 20d = 60\\ 2u_1^2 + 28{u_1}d + 130{d^2} = 1170 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 30 - 10d\\ 2{\left( {30 - 10d} \right)^2} + 28\left( {30 - 10d} \right)d + 130{d^2} = 1170 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 30 - 10d\\ 50{d^2} - 360d + 630 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 30 - 10d\\ \left[ \begin{array}{l} d = 3\\ d = \frac{{21}}{5} \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array}$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 0\\ d = 3 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = - 12\\ d = \frac{{21}}{5} \end{array} \right. \end{array} \right.$<h3>Bài 9. (SGK Đại số 11 trang 107)</h3>a) $\left\{ \begin{array}{l} {u_6} = 192\\ {u_7} = 384 \end{array} \right.$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_6} = 192\\ {u_6}q = 384 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_6} = 192\\ q = 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1}{q^5} = 192\\ q = 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 6\\ q = 2 \end{array} \right. \end{array}$b) $\left\{ \begin{array}{l} {u_4} - {u_2} = 72\\ {u_5} - {u_3} = 144 \end{array} \right.$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1}{q^3} - {u_1}q = 72\\ {u_1}{q^4} - {u_1}{q^2} = 144 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1}{q^3} - {u_1}q = 72\\ q\left( {{u_1}{q^3} - {u_1}q} \right) = 144 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1}{q^3} - {u_1}q = 72\\ q = 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 12\\ q = 2 \end{array} \right. \end{array}$c) $\left\{ \begin{array}{l} {u_2} + {u_5} - {u_4} = 10\\ {u_3} + {u_6} - {u_5} = 20 \end{array} \right.$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1}q + {u_1}{q^4} - {u_1}{q^3} = 10\\ {u_1}{q^2} + {u_1}{q^5} - {u_1}{q^4} = 20 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1}q + {u_1}{q^4} - {u_1}{q^3} = 10\\ q\left( {{u_1}q + {u_1}{q^4} - {u_1}{q^3}} \right) = 20 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1}q + {u_1}{q^4} - {u_1}{q^3} = 10\\ q = 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 1\\ q = 2 \end{array} \right. \end{array}$<h3>Bài 10. (SGK Đại số 11 trang 108)</h3>Gọi công sai của cấp số cộng là dABCD là tứ giác \[\Rightarrow A+B+C+D={{360}^{0}}\]Góc C gấp 5 lần góc A \[\Rightarrow C=5A\]\[\Rightarrow \] Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} A + B + C + D = 360\\ C = 5A \end{array} \right.$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A + A + d + A + 2d + A + 3d = 360\\ A + 2d = 5A \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4A + 6d = 360\\ 4A - 2d = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 22,{5^0}\\ d = {45^0} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} B = {67^0}30'\\ C = {112^0}30'\\ D = {157^0}30' \end{array} \right. \end{array}$<h3>Bài 11. (SGK Đại số 11 trang 108)</h3>Gọi q là công bội của cấp số nhân x, y, z\[\Rightarrow y=xq;z=x{{q}^{2}}\]Vì \[x,2y,3z\] lập thành cấp số cộng nên \[2.2y=x+3z\]\[\Leftrightarrow 4xq=x+3x{{q}^{2}}\]$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x\left( {4q - 1 - 3{q^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ - 3{q^2} + 4q - 1 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ q = 1\\ q = \frac{1}{3} \end{array} \right. \end{array}$Với \[x=0\Rightarrow y=z=0\Rightarrow q\in R\]Với $x \ne 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} q = 1\\ q = \frac{1}{3} \end{array} \right.$<h3>Bài 12. (SGK Đại số 11 trang 108)</h3>Gọi \[{{S}_{0}}\] là diện tích mặt đế tháp, \[{{S}_{1}},{{S}_{2}},...,{{S}_{11}}\] là diện tích mặt trên các tầng 1, 2, …, 11Vì diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới nên \[\left( {{S}_{n}} \right)\] là cấp số nhân có công bội \[q=\frac{1}{2}\] và số hạng đầu \[{{S}_{1}}=\frac{1}{2}{{S}_{0}}=6144\left( {{m}^{2}} \right)\]\[\Rightarrow {{S}_{11}}={{S}_{1}}.{{q}^{10}}=6144.{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{10}}=6\left( {{m}^{2}} \right)\]Vậy diện tích mặt trên cùng là \[6{{m}^{2}}\]<h3>Bài 13. (SGK Đại số 11 trang 108)</h3>Các số \[\frac{1}{b+c};\frac{1}{c+a};\frac{1}{a+b}\] lập thành cấp số cộng$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{{c + a}} - \frac{1}{{b + c}} = \frac{1}{{a + b}} - \frac{1}{{c + a}}\\ \Leftrightarrow \frac{{b - a}}{{\left( {c + a} \right)\left( {b + c} \right)}} = \frac{{c - b}}{{\left( {a + b} \right)\left( {c + a} \right)}}\\ \Leftrightarrow \frac{{b - a}}{{b + c}} = \frac{{c - b}}{{a + b}}\\ \Leftrightarrow \left( {b - a} \right)\left( {a + b} \right) = \left( {c - b} \right)\left( {b + c} \right)\\ \Leftrightarrow {b^2} - {a^2} = {c^2} - {b^2} \end{array}$\[\Leftrightarrow {{a}^{2}},{{b}^{2}},{{c}^{2}}\] là cấp số cộng \[\left( abc\ne 0 \right)\] .<h3>Bài 14. (SGK Đại số 11 trang 108)</h3>a) \[{{u}_{n+1}}={{3}^{n+1}}={{3.3}^{n}}\]\[\Rightarrow \] Đáp án Cb) \[{{u}_{2n}}={{3}^{2n}}={{\left( {{3}^{2}} \right)}^{n}}={{9}^{n}}\]\[\Rightarrow \] Đáp án Bc) \[{{u}_{n-1}}={{3}^{n-1}}=\frac{1}{3}{{.3}^{n}}\]\[\Rightarrow \] Đáp án Bd) \[{{u}_{2n-1}}={{3}^{2n-1}}=\frac{1}{3}{{.3}^{2n}}={{3}^{n+n-1}}={{3}^{n}}{{.3}^{n-1}}\]\[\Rightarrow \] Đáp án B<h3>Bài 15. (SGK Đại số 11 trang 108)</h3>+ Phương án AVì \[{{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\sin \frac{\pi }{2}\] và \[{{\left( -1 \right)}^{n+1}}\] có dấu phụ thuộc n nên \[\left( {{u}_{n}} \right)\] là dãy đan dấu\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] là dãy không tăng không giảm+ Phương án B\[{{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{2n}}\left( {{5}^{n}}+1 \right)={{5}^{n}}+1\]Ta có : \[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}={{5}^{n+1}}+1-\left( {{5}^{n}}+1 \right)={{5}^{n+1}}-{{5}^{n}}={{4.5}^{n}}&gt;0\]\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] là dãy số tăng\[\Rightarrow \] Đáp án B<h3>Bài 16. (SGK Đại số 11 trang 109)</h3>Ta có : $\left\{ \begin{array}{l} 2x = - 2 + 6\\ 2.6 = x + y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 10 \end{array} \right.$\[\Rightarrow \] Đáp án D<h3>Bài 17. (SGK Đại số 11 trang 109)</h3>Ta có : \[{{x}^{2}}=\left( -4 \right)\left( -9 \right)=36\Leftrightarrow x=\pm 6\]\[\Rightarrow \] Đáp án C<h3>Bài 18. (SGK Đại số 11 trang 109)</h3>+ Phương án A$\begin{array}{l} \frac{{{u_{10}} + {u_{20}}}}{2} = {u_5} + {u_{10}}\\ \Leftrightarrow {u_{10}} + {u_{20}} = 2\left( {{u_5} + {u_{10}}} \right)\\ \Leftrightarrow {u_1} + 9d + {u_1} + 19d = 2\left( {{u_1} + 4d + {u_1} + 9d} \right) \end{array}$\[\Leftrightarrow 2{{u}_{1}}+28d=4{{u}_{1}}+26d\] ( vô lí)+ Phương án B$\begin{array}{l} {u_{90}} + {u_{210}} = 2{u_{150}}\\ \Leftrightarrow {u_1} + 89d + {u_1} + 209d = 2\left( {{u_1} + 149d} \right) \end{array}$\[\Leftrightarrow 2{{u}_{1}}+298d=2{{u}_{1}}+298d\] ( luôn đúng)\[\Rightarrow \] Đáp án B<h3>Bài 19. (SGK Đại số 11 trang 109)</h3>+ Phương án AXét \[\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{u_{n}^{2}}{{{u}_{n}}}={{u}_{n}}\]\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] không là cấp số nhân+ Phương án BXét \[\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{3{{u}_{n}}}{{{u}_{n}}}=3=const\]\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] là cấp số nhân có \[{{u}_{1}}=-1;q=3\]\[\Rightarrow \] Đáp án BGợi ý Giải bài tập sách giáo khoa ôn tập chương 3 toán học lớp 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất.

Ôn tập chương III

Ôn tập chương 3

BÀI 3: ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC<h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><ul><li>\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\operatorname{s}i\text{nx}}{x}=1\]</li><li>Hàm số \[y=\sin x;y=\cos x\] có đạo hàm tại mọi \[x\in \mathbb{R}\]</li><li>Hàm số \[y=\tan x\] có đạo hàm tại mọi \[x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]</li><li>Hàm số \[y=\cot x\] có đạo hàm tại mọi \[x\ne k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]</li><li>Bảng đạo hàm</li></ul><figure class="table" style="width:623px;"><table style=";"><tbody><tr><td style="border:1px solid black;width:156px;">\[\left( cx \right)'=c,c\] là hằng số</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;width:156px;">\[\left( cu \right)'=cu'\] (c là hằng số)</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;width:156px;">\[\left( \tan x \right)'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;width:156px;">\[\left( \tan u \right)'=\frac{u'}{{{\cos }^{2}}u}\]</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:156px;">\[\left( {{x}^{m}} \right)'=m{{x}^{m-1}}\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:156px;">\[\left( {{u}^{m}} \right)'=m{{u}^{m-1}}u'\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:156px;">\[\left( \cot x \right)'=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:156px;">\[\left( \cot u \right)'=-\frac{u'}{{{\sin }^{2}}u}\]</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:156px;">\[\left( \frac{1}{x} \right)'=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\]&nbsp;</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:156px;">\[\left( \frac{1}{u} \right)'=-\frac{u'}{{{u}^{2}}}\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:156px;">\[\left( \sin x \right)'=\cos x\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:156px;">\[\left( \sin u \right)'=u'.\cos u\]</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:156px;">\[\left( \sqrt{x} \right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:156px;">\[\left( \sqrt{u} \right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:156px;">\[\left( \cos x \right)'=-\sin x\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:156px;">\[\left( \cos u \right)'=-u'.\sin u\]</td></tr></tbody></table></figure>&nbsp;<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Tính đạo hàmCách giải:Áp dụng các công thức và quy tắc tính đạo hàmDạng 2. Giải các phương trình, bất phương trình liên quan đến đạo hàmCách giải:<ul><li>Tính \[y'=f'\left( x \right)\]</li><li>Thay \[y'=f'\left( x \right)\] vào phương trình, bất phương trình đã cho và áp dụng các kiến thức về giải phương trình, bất phương trình đã học.</li></ul><h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. SGK Đại số 11 trang 168</h3>a) \[y=\frac{x-1}{5x-2}\Rightarrow y'=\frac{5x-2-5\left( x-1 \right)}{{{\left( 5x-2 \right)}^{2}}}=\frac{3}{{{\left( 5x-2 \right)}^{2}}}\]b) \[y=\frac{2x+3}{7-3x}\Rightarrow y'=\frac{2\left( 7-3x \right)+3\left( 2x+3 \right)}{{{\left( 7-3x \right)}^{2}}}=\frac{23}{{{\left( 7-3x \right)}^{2}}}\]c) \[y=\frac{{{x}^{2}}+2x+3}{3-4x}\Rightarrow y'=\frac{\left( 2x+2 \right)\left( 3-4x \right)+4\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)}{{{\left( 3-4x \right)}^{2}}}=\frac{-4{{x}^{2}}+6x+18}{{{\left( 3-4x \right)}^{2}}}\]d) \[y=\frac{{{x}^{2}}+7x+3}{{{x}^{2}}-3x}\Rightarrow y'=\frac{\left( 2x+7 \right)\left( {{x}^{2}}-3x \right)-\left( 2x-3 \right)\left( {{x}^{2}}+7x+3 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-3x \right)}^{2}}}\] \[\Leftrightarrow y'=\frac{2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-21x-\left( 2{{x}^{3}}+11{{x}^{2}}-15x-9 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-3x \right)}^{2}}}\]\[\Leftrightarrow y'=\frac{-10{{x}^{2}}-6x+9}{{{\left( {{x}^{2}}-3x \right)}^{2}}}\]<h3>Bài 2. SGK Đại số 11 trang 168</h3>a) \[y=\frac{{{x}^{2}}+x+2}{x-1}\left( x\ne 1 \right)\]\[\Rightarrow y'=\frac{\left( 2x+1 \right)\left( x-1 \right)-\left( {{x}^{2}}+1+2 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}-2x-3}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\]\[\Rightarrow y'&lt;0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3&lt;0;x\ne 1\Leftrightarrow -1b) \[y=\frac{{{x}^{2}}+1}{x+1}\left( x\ne -1 \right)\]\[\Rightarrow y'=\frac{2x\left( x+1 \right)-\left( {{x}^{2}}+3 \right)}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+2x-3}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\]\[\Rightarrow y'\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-3\ge 0;x+1\ne 0\Leftrightarrow x\le -3;x\ge 1\]c) \[y=\frac{2x-1}{{{x}^{2}}+x+4}\]\[\Rightarrow y'=\frac{2\left( {{x}^{2}}+x+4 \right)-\left( 2x+1 \right)\left( 2x-1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+x+4 \right)}^{2}}}=\frac{2{{x}^{2}}+2x+8-\left( 4{{x}^{2}}-1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+x+4 \right)}^{2}}}=\frac{-2{{x}^{2}}+2x+9}{{{\left( {{x}^{2}}+x+4 \right)}^{2}}}\]\[\Rightarrow y'&gt;0\Leftrightarrow -2{{x}^{2}}+2x+9&gt;0\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{19}}{2}<h3>Bài 3. SGK Đại số 11 trang 169</h3>a) \[y=5\sin x-3\cos x\]\[\Rightarrow y'=5\cos x+3\sin x\]b) \[y=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}\]\[\Rightarrow y'=\frac{\left( \cos x-\sin x \right)\left( \sin x-\cos x \right)-\left( \sin x+\cos x \right)\left( \cos x+\sin x \right)}{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}}\]\[\Leftrightarrow y'=\frac{-{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}-{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}}{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}}\]\[\Leftrightarrow y'=-\frac{2}{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}}\]c) \[y=x.\cot x\]\[\Rightarrow y'=\cot x+x.\frac{-1}{{{\sin }^{2}}x}=\cot x-\frac{x}{{{\sin }^{2}}x}\]d) \[y=\frac{\sin x}{x}+\frac{x}{\sin x}\]\[\Rightarrow y'=\frac{x\cos x-\sin x}{{{x}^{2}}}+\frac{\sin x-x\cos x}{{{\sin }^{2}}x}\]\[\Rightarrow y'=\left( x\cos x-\sin x \right)\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right)\]e) \[y=\sqrt{1+2\tan x}\]\[\Rightarrow y'=\frac{\left( 1+2\tan x \right)'}{2\sqrt{1+2\tan x}}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x\sqrt{1+2\tan x}}\]f) \[y=\sin \sqrt{1+{{x}^{2}}}\]\[\Rightarrow y'=\left( \sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)'\cos \sqrt{1+{{x}^{2}}}=\frac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}.\cos \sqrt{1+{{x}^{2}}}\]<h3>Bài 4. SGK Đại số 11 trang 169</h3>a) \[y=\left( 9-2x \right)\left( 2{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+1 \right)\]\[\Rightarrow y'=\left( 9-2x \right)'\left( 2{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+1 \right)+\left( 9-2x \right)\left( 2{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+1 \right)'\]\[=-2\left( 2{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+1 \right)+\left( 9-2x \right)\left( 6{{x}^{2}}-18x \right)\]\[=-16{{x}^{3}}+108{{x}^{2}}-162x-2\]b) \[y=\left( 6\sqrt{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\left( 7x-3 \right)\]\[\Rightarrow y'=\left( 6\sqrt{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)'\left( 7x-3 \right)+7\left( 6\sqrt{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\]\[=\left( \frac{3}{\sqrt{x}}+\frac{2}{{{x}^{3}}} \right)\left( 7x-3 \right)+7\left( 6\sqrt{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\]\[=-\frac{6}{{{x}^{3}}}+\frac{7}{{{x}^{2}}}+63\sqrt{x}-\frac{9}{\sqrt{x}}\]c) \[y=\left( x-2 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}\]\[\Rightarrow y'=\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\left( x-2 \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)'\]\[=\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\left( x-2 \right).\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\]\[=\frac{2{{x}^{2}}-2x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\]d) \[y={{\tan }^{2}}x-\cot {{x}^{2}}\]\[\Rightarrow y'=2\tan x.\left( \tan x \right)'-\left( \cot {{x}^{2}} \right)'\]\[=2\tan x.\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{2x}{{{\sin }^{2}}{{x}^{2}}}\]\[=\frac{2\tan x}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{2x}{{{\sin }^{2}}{{x}^{2}}}\]e) \[y=\cos \frac{x}{1+x}\]\[\Rightarrow y'={{\left( \frac{x}{1+x} \right)}^{'}}.\left( -\sin \frac{x}{1+x} \right)\]\[=-\frac{1+x-x}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}.\sin \frac{x}{1+x}\]\[=-\frac{1}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}.\sin \frac{x}{1+1}\]<h3>Bài 5. SGK Đại số 11 trang 169</h3>\[f\left( x \right)={{x}^{2}}\Rightarrow f'\left( x \right)=2x\Rightarrow f'\left( 1 \right)=2\]\[\varphi \left( x \right)=4x+\sin \frac{\pi x}{2}\Rightarrow \varphi '\left( x \right)=4+\frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi x}{2}\Rightarrow \varphi '\left( 1 \right)=4\]\[\Rightarrow \frac{f'\left( 1 \right)}{\varphi '\left( 1 \right)}=\frac{1}{2}\]<h3>Bài 6. SGK Đại số 11 trang 169</h3>a) \[y={{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x+3{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x\]\[={{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x+3{{\left( \frac{1}{2}.2\sin x.\cos x \right)}^{2}}\]= \[{{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x+\frac{3}{4}{{\sin }^{2}}2x\]\[\Rightarrow y'=6{{\sin }^{5}}x.\cos x-6{{\cos }^{5}}x.\sin x+3\sin 2x.\cos 2x\]\[=3\sin 2x.{{\sin }^{4}}x-3\sin 2x.{{\cos }^{4}}x+3\sin 2x.\cos 2x\]\[=3\sin 2x\left( {{\sin }^{4}}x-{{\cos }^{4}}x+\cos 2x \right)\]\[=3\sin 2x\left[ \left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)\left( {{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x \right)+\cos 2x \right]\]\[=3\sin 2x\left( -\cos 2x+\cos 2x \right)\] =0b) \[y={{\cos }^{2}}\left( \frac{\pi }{3}-x \right)+{{\cos }^{2}}\left( \frac{\pi }{3}+x \right)+{{\cos }^{2}}\left( \frac{2\pi }{3}-x \right)+{{\cos }^{2}}\left( \frac{2\pi }{3}+x \right)-2{{\sin }^{2}}x\] \[\Rightarrow y'=2\cos \left( \frac{\pi }{3}-x \right)\sin \left( \frac{\pi }{3}-x \right)-2\cos \left( \frac{\pi }{3}+x \right).\sin \left( \frac{\pi }{3}+x \right)+2\cos \left( \frac{2\pi }{3}-x \right)\sin \left( \frac{2\pi }{3}-x \right)-2\cos \left( \frac{2\pi }{3}+x \right)\sin \left( \frac{2\pi }{3}+x \right)-4\sin x.\cos x\]&nbsp;\[=\sin \left( \frac{2\pi }{3}-2x \right)-\sin \left( \frac{2\pi }{3}+2x \right)+\sin \left( \frac{4\pi }{3}-2x \right)-\sin \left( \frac{4\pi }{3}+2x \right)-2\sin 2x\]\[=2\cos \frac{2\pi }{3}\sin \left( -2x \right)+2\cos \frac{4\pi }{3}\sin \left( -2x \right)-2\sin 2x\]\[=\sin 2x+\sin 2x-2\sin 2x=0\]<h3>Bài 7. SGK Đại số 11 trang 169</h3>a) \[f\left( x \right)=3\cos x+4\sin x+5x\]\[\Rightarrow f'\left( x \right)=-3\sin x+4\cos x+5\]\[f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow -3\sin x+4\cos x+5=0\]\[\Leftrightarrow 3\sin x-4\cos x=5\]\[\Leftrightarrow \frac{3}{5}\sin x-\frac{4}{5}\cos x=1\] (*)Đặt \[\cos \alpha =\frac{3}{5};\sin \alpha =\frac{4}{5}\]\[\left( * \right)\Leftrightarrow \sin x.\cos \alpha -\cos x.\sin \alpha =1\]\[\Leftrightarrow \sin \left( x-\alpha&nbsp; \right)=1\]\[\Leftrightarrow x-\alpha =\frac{\pi }{2}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]\[\Leftrightarrow x=\alpha +\frac{\pi }{2}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]b) \[f\left( x \right)=1-\sin \left( \pi +x \right)+2\cos \left( \frac{2\pi +x}{2} \right)=1+\sin x-2\cos \frac{x}{2}\]\[\Rightarrow f'\left( x \right)=\cos x+2.\frac{1}{2}.\sin \frac{x}{2}=\cos x+\sin \frac{x}{2}\]\[f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \cos x+\sin \frac{x}{2}=0\]\[\Leftrightarrow 1-2{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}=0\]\[\Leftrightarrow \sin \frac{x}{2}=1;\sin \frac{x}{2}=-\frac{1}{2}\]\[\Leftrightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{x}{2}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi ;\frac{x}{2}=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]\[\Leftrightarrow x=\pi +k4\pi ;x=-\frac{\pi }{3}+k4\pi ;x=\frac{7\pi }{3}+k4\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]<h3>Bài 8. SGK Đại số 11 trang 169</h3>a) \[f\left( x \right)={{x}^{3}}+x-\sqrt{2}\Rightarrow f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+1\]\[g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+x+\sqrt{2}\Rightarrow g'\left( x \right)=6x+1\]\[\Rightarrow f'\left( x \right)&gt;g'\left( x \right)\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+1&gt;6x+1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x&gt;0\Leftrightarrow x&gt;2;x&lt;0\]b) \[f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+\sqrt{3}\Rightarrow f'\left( x \right)=6{{x}^{2}}-2x\]\[g\left( x \right)={{x}^{3}}+\frac{{{x}^{2}}}{2}-\sqrt{3}\Rightarrow g'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+x\]\[\Rightarrow f'\left( x \right)&gt;g'\left( x \right)\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}-2x&gt;3{{x}^{2}}+x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x&gt;0\Leftrightarrow x&gt;1;x&lt;0\]Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa đạo hàm của hàm số lượng giác toán học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất

Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác

Đạo hàm của hàm số lượng giác

Bài 2. Giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số

<h2 style="text-align:center;">BÀI 4: PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3 style="text-align:justify;">1. Phép thử</h3><ul><li style="text-align:justify;">Một thí nghiệm, một phép đo hay một sự quan sát hiện tượng nào đó,... được hiểu là phép thử.</li><li style="text-align:justify;">Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.</li></ul><h3 style="text-align:justify;">2. Không gian mẫu</h3><ul><li style="text-align:justify;">Không gian mẫu của một phép thử là tập hợp các kết quả có thể xảy ra của phép thử.</li><li style="text-align:justify;">Kí hiệu là \[\Omega \].</li></ul><h3 style="text-align:justify;">3. Biến cố</h3><ul><li style="text-align:justify;">Biến cố là một tập con của không gian mẫu.</li><li style="text-align:justify;">Tập \[\varnothing \] được gọi là biến cố không thể (biến cố không). Còn tập \[\Omega \] được gọi là biến cố chắc chắn.</li><li style="text-align:justify;">Ta nói rằng biến cố A xảy ra trong một phép thử nào đó khi và chỉ khi kết quả của phép thử đó là một phần tử của A.</li></ul>\[\Rightarrow \] Biến cố không thể \[\varnothing \] không bao giờ xảy ra, biến cố chắc chắn \[\Omega \] luôn luôn xảy ra.<h3 style="text-align:justify;">4. Phép toán trên các biến cố</h3>Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử. Khi đó, tập \[\Omega \backslash A\] được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là \[\overline{A}\] .Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử:<ul><li style="text-align:justify;">Tập \[A\cup B\] được gọi là hợp của các biến cố A và B.</li><li style="text-align:justify;">Tập \[A\cap B\] được gọi là giao của các biến cố A và B.</li><li style="text-align:justify;">Nếu \[A\cap B=\varnothing \] thì ta nói A và B xung khắc.</li></ul>\[\Rightarrow A\cup B\] xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra;\[A\cap B\](hay \[A.B\]) xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra;A và B xung khắc khi và chỉ khi chúng không khi nào cùng xảy ra.<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Xác định không gian mẫu của phép thử và các phần tử của không gian mẫu. Cách giải:+ Xác định phép thử T. + Mô tả các kết quả xuất hiện trong phép thử bằng cách sử dụng các phép đếm (quy tắc cộng, quy tắc nhân) hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, từ đó xác định được không gian mẫu và tính được số phần tử của không gian mẫu.Dạng 2. Xác định biến cố và liệt kê các kết quả thuận lợi của biến cố. Cách giải:Giả sử \[T\] là phép thử có không gian mẫu là \[\Omega \]. Gọi \[{{\Omega }_{A}}\] là một tập con nào đó của \[\Omega \].<ul><li>Mỗi khả năng của phép thử \[T\] có kết quả được mô tả bởi \[{{\Omega }_{A}}\] được gọi là một biến cố A liên quan đến phép thử \[T\].</li><li>Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi kết quả của T thuộc tập \[{{\Omega }_{A}}\].</li><li>Mỗi phần tử của \[{{\Omega }_{A}}\] được gọi là một kết quả thuận lợi cho \[A\].</li></ul><h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (SGK Đại số 11 trang 63)</h3>a) \[\Omega =\left\{ SSS;SSN;SNN;SNS;NSS;NSN;NNS;NNN \right\}\]b) \[A=\left\{ SSS;SSN;SNN;SNS \right\}\]\[B=\left\{ SNN;NSN;NNS \right\}\]\[C=\left\{ SSN;SNN;SNS;NSS;NSN;NNS;NNN \right\}\]<h3>Bài 2. (SGK Đại số 11 trang 63)</h3>a) \[\Omega =\left\{ \left( i;j \right)|i;j=1,2,3,4,5,6 \right\}\]với i: số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất.j: số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai.b) A: “ Lần đầu xuất hiện mặt 6 chấm”B: “ Cả hai lần gieo có tổng số chấm bằng 8”C: “ Cả hai lần gieo xuất hiện số chấm bằng nhau”<h3>Bài 3. (SGK Đại số 11 trang 63)</h3>a) \[\Omega =\left\{ \left( 1;2 \right);\left( 1;3 \right);\left( 1;4 \right);\left( 2;3 \right);\left( 2;4 \right);\left( 3;4 \right) \right\}\]b) \[A=\left\{ \left( 1;3 \right);\left( 2;4 \right) \right\}\]\[B=\left\{ \left( 1;2 \right);\left( 1;4 \right);\left( 2;4 \right);\left( 3;4 \right) \right\}\]<h3>Bài 4. (SGK Đại số 11 trang 64)</h3>\[{{A}_{1}}\]: “ Người thứ nhất bắn trúng bia”\[\Rightarrow \] \[\overline{{{A}_{1}}}\] : “ Người thứ nhất không bắn trúng bia”\[{{A}_{2}}\]: “ Người thứ hai bắn trúng bia”\[\Rightarrow \] \[\overline{{{A}_{2}}}\] : “ Người thứ hai không bắn trúng bia”a) \[A=\overline{{{A}_{1}}}\cap \overline{{{A}_{2}}}\]\[B={{A}_{1}}\cap {{A}_{2}}\]\[C=\left( {{A}_{1}}\cap \overline{{{A}_{2}}} \right)\cup \left( \overline{{{A}_{1}}}\cap {{A}_{2}} \right)\]\[D={{A}_{1}}\cup {{A}_{2}}\]b) \[\overline{D}\] : “ Không có người bắn trúng”\[\Rightarrow A=\overline{D}\]Ta có: \[B\cap C=\varnothing \]\[\Rightarrow \] B và C xung khắc.<h3>Bài 5. (SGK Đại số 11 trang 64)</h3>a) \[\Omega =\left\{ 1,2,3,...,10 \right\}\]b) \[A=\left\{ 1,2,3,4,5 \right\}\]\[B=\left\{ 7,8,9,10 \right\}\]\[C=\left\{ 2,4,6,8,10 \right\}\]<h3>Bài 6. (SGK Đại số 11 trang 64)</h3>a) \[\Omega =\left\{ S;NS;NNS;NNNS;NNNN \right\}\]b) \[A=\left\{ S;NS;NNS \right\}\]\[B=\left\{ NNNS;NNNN \right\}\]<h3>Bài 7. (SGK Đại số 11 trang 64)</h3>a) \[\Omega =\left\{ \left( i;j \right)|i\ne j,i=\overline{1,5},j=\overline{1,5} \right\}\]b) $A=\{(1 ; 2) ;(1 ; 3) ;(1 ; 4) ;(1 ; 5) ;(2 ; 3) ;(2 ; 4) ;(2 ; 5) ;(3 ; 4) ;(3 ; 5) ;(4 ; 5)\}$\[B=\left\{ \left( 2;1 \right);\left( 4;2 \right) \right\}\]\[C=\varnothing \]Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa phép thử và biến cố lớp 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất.

Bài 4. Phép thử và biến cố

Phép thử và biến cố

<h2 style="text-align:center;">BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>I. Giới hạn hữu hạn của dãy số</h3>1. Định nghĩaĐịnh nghĩa 1 : Ta nói dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu \[\left| {{u}_{n}} \right|\] có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.Ký hiệu : \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=0\] hay \[{{u}_{n}}\to 0\] khi \[n\to +\infty \] .Như vậy, \[\left( {{u}_{n}} \right)\] có giới hạn là 0 khi \[n\to +\infty \] nếu \[{{u}_{n}}\] có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn.Định nghĩa 2 : Ta nói dãy số \[\left( {{v}_{n}} \right)\] có giới hạn là số a (hay \[{{v}_{n}}\] dần tới a ) khi \[n\to +\infty \] , nếu \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,({{v}_{n}}-a)=0\] .Ký hiệu : \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{v}_{n}}=a\] hay \[{{v}_{n}}\to a\] khi \[n\to +\infty \] .2. Một vài giới hạn đặc biệtTừ định nghĩa suy ra các kết quả sau :a) \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}=0;\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{n}^{k}}}=0\] với k nguyên dương.b) \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{q}^{n}}=0\] nếu \[\left| q \right|&lt;1\] .c) Nếu \[{{u}_{n}}=c\] (c là hằng số) thì \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,c=c\] .Chú ý.Từ nay về sau thay cho \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=a\] , ta viết tắt là \[\underset{{}}{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=a\] .<h3>II. Định lý về giới hạn hữu hạn</h3>Định lý 1a) Nếu \[\lim {{u}_{n}}=a\] và \[\lim {{v}_{n}}=b\] thì· $\lim ({u_n} + {v_n}) = a + b$· $\lim ({u_n} - {v_n}) = a - b$· $\lim ({u_n}.{v_n}) = a.b$· $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}$ (nếu \[b\ne 0\] ).b) Nếu \[{{u}_{n}}\ge 0\] với mọi n và \[\lim {{u}_{n}}=a\] thì\[a\ge 0\] và \[\lim \sqrt{{{u}_{n}}}=\sqrt{a}\] .<h3>III. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn</h3>Cấp số nhân vô hạn \[\left( {{u}_{n}} \right)\] có công bội q, với \[\left| q \right|&lt;1\] được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \[\left( {{u}_{n}} \right)\] kí hiệu là \[S={{u}_{1}}+u_{2}^{{}}+{{u}_{3}}+...+{{u}_{n}}+...\]Như vậy\[S=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}(\left| q \right|&lt;1)\] .<h3>IV. Giới hạn vô cực</h3>1. Định nghĩaĐịnh nghĩa· Ta nói dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] có giới hạn \[+\infty \] khi \[n\to +\infty \] , nếu \[{{u}_{n}}\] có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.Kí hiệu : \[\lim {{\mathsf{u}}_{n}}=+\infty \] hay \[{{u}_{n}}\to +\infty \] khi \[n\to +\infty \] .· Dãy số \[({{u}_{n}})\] được gọi là có giới hạn \[-\infty \] khi \[n\to +\infty \] nếu \[\lim (-{{u}_{n}})=+\infty \] .Kí hiệu : \[\lim {{u}_{n}}=-\infty \] hay \[{{u}_{n}}\to -\infty \] khi \[n\to +\infty \] .Nhận xét\[\lim {{u}_{n}}=+\infty \Leftrightarrow \lim (-{{u}_{n}})=-\infty \] .2. Một vài giới hạn đặc biệtTa thừa nhận các kết quả sau :a) \[\lim {{n}^{k}}=+\infty \] với k nguyên dươngb) \[\lim {{q}^{n}}=+\infty \] nếu \[q&gt;1\] .3. Định líĐịnh lí 2a) Nếu \[\lim {{u}_{n}}=a\] và \[\lim {{v}_{n}}=\pm \infty \] thì \[\lim \frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}=0\] .b) Nếu \[\lim {{u}_{n}}=a&gt;0,\lim {{v}_{n}}=0\] và \[{{v}_{n}}&gt;0\] với mọi n thì \[\lim \frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}=+\infty \] .c) Nếu \[\lim {{u}_{n}}=+\infty \] và \[\lim {{v}_{n}}=a&gt;0\] thì \[\lim {{u}_{n}}{{v}_{n}}=+\infty \] . \[\]<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Chứng minh dãy số có giới hạn \[0;a;\pm \infty \]Cách giải:Sử dụng định nghĩa để chứng minh.Chú ý:<ul><li>Nếu dãy số xuất hiện lượng giác \[\left( \sin n;\cos n \right)\] thì \[-1\le \sin n,\cos n\le 1\]</li><li>Chứng minh dãy số \[\left| {{u}_{n}} \right|&lt;\frac{a}{{{n}^{k}}};\frac{a}{{{b}^{n}}}\left( k\in {{\mathbb{Z}}^{*}} \right)\] . Khi đó, \[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{a}{{{n}^{k}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{a}{{{b}^{n}}}=0\]</li></ul>Dạng 2. Tính giới hạn dãy số có dạng \[\frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}\] (với \[{{u}_{n}};{{v}_{n}}\] có dạng đa thức theo \[n\] ) hoặc dãy số chứa cănCách giải:<ul><li>Tìm bậc cao nhất của \[{{u}_{n}};{{v}_{n}}\] (giả sử là \[{{k}_{0}}\] )</li><li>Chia \[{{u}_{n}};{{v}_{n}}\] cho \[{{n}^{{{k}_{0}}}}\]</li><li>Áp dụng các tính chất của dãy số để tính giới hạn</li></ul>Dạng 3. Tính giới hạn của dãy số chứa thành phần mũ, lũy thừaCách giải:Áp dụng \[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{q}^{n}}=0\left( \left| q \right|&lt;1 \right)\]Dạng 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.Cách giải:Xác định số hạng đầu và công sai của dãy số. Sau đó áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \[S=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}\left( \left| q \right|&lt;1 \right)\]Dạng 5. Bài toán thực tế liên quan đến giới hạn dãy sốCách giải:Từ dữ kiện của đề bài, xác định công thức tổng quát của dãy số. Sau đó, tính giới hạn dãy số.<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. SGK Đại số 11 trang 121</h3>a)Sau chu kì thứ nhất : \[{{u}_{1}}=\frac{1}{2}\] (kg)Sau chu kì thứ hai : \[{{u}_{2}}=\frac{1}{2}{{u}_{1}}=\frac{1}{4}=\frac{1}{{{2}^{2}}}\] (kg)Sau chu kì thứ ba : \[{{u}_{3}}=\frac{1}{2}{{u}_{2}}=\frac{1}{{{2}^{3}}}\] (kg)…Sau chu kì thứ n : \[{{u}_{n}}=\frac{1}{{{2}^{n}}}\] (kg)+ Với \[n=1\] ta có : \[{{u}_{1}}=\frac{1}{2}\] (đúng)+ Giả sử với \[n=k\ge 1\] ta có \[{{u}_{k}}=\frac{1}{{{2}^{k}}}\]Ta cần chứng minh với \[n=k+1\] ta có \[{{u}_{k+1}}=\frac{1}{{{2}^{k+1}}}\]Thật vậy \[{{u}_{k+1}}=\frac{1}{2}{{u}_{k}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{{{2}^{k}}}=\frac{1}{{{2}^{k+1}}}\]\[\Rightarrow \] Điều phải chứng minh.b) \[\lim {{u}_{n}}=\lim \frac{1}{{{2}^{n}}}=0\]c) \[{{10}^{-6}}g={{10}^{-9}}kg\]Để chất phóng xạ không còn độc hại thì : \[{{u}_{n}}&lt;{{10}^{-9}}\]\[\Leftrightarrow \frac{1}{{{2}^{n}}}&lt;{{10}^{-9}}\]\[\Leftrightarrow {{2}^{n}}&lt;{{10}^{9}}\]\[\Leftrightarrow n\ge 30\]<ul><li>Sau \[30.24000=720000\] năm thì chất phóng xạ không còn độc hại.</li></ul><h3>Bài 2. SGK Đại số 11 trang 121</h3>Đặt \[{{v}_{n}}=\frac{1}{{{n}^{3}}}\Rightarrow \lim {{v}_{n}}=\lim \frac{1}{{{n}^{3}}}=0\]<ul><li>\[\left| {{v}_{n}} \right|\] có thể nhỏ hơn 1 số dương bé tùy ý, kể từ 1 số hạng nào đó trở đi. (1)</li></ul>Theo giả thiết : \[\left| {{u}_{n}}-1 \right|&lt;{{v}_{n}}\le \left| {{v}_{n}} \right|,\forall n\] (2)(1),(2) \[\Rightarrow \left| {{u}_{n}}-1 \right|\] có thể nhỏ hơn 1 số dương bé tùy ý, kể từ 1 số hạng nào đó trở đi\[\Rightarrow \lim \left( {{u}_{n}}-1 \right)=0\]\[\Rightarrow \lim {{u}_{n}}=1\]<h3>Bài 3. SGK Đại số 11 trang 121</h3>a) \[\lim \frac{6n-1}{3n+2}=\lim \frac{6-\frac{1}{n}}{3+\frac{2}{n}}=\frac{6}{3}=2\]b) \[\lim \frac{3{{n}^{2}}+n-5}{2{{n}^{2}}+1}=\lim \frac{3+\frac{1}{n}-\frac{5}{{{n}^{2}}}}{2+\frac{1}{{{n}^{2}}}}=\frac{3}{2}\]c) \[\lim \frac{{{3}^{n}}+{{5.4}^{n}}}{{{4}^{n}}+{{2}^{n}}}=\lim \frac{\frac{{{3}^{n}}}{{{4}^{n}}}+5}{1+\frac{{{2}^{n}}}{{{4}^{n}}}}=\lim \frac{{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{n}}+5}{1+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}}=\frac{5}{1}=5\]d) \[\lim \frac{\sqrt{9{{n}^{2}}-n+1}}{4n-2}=\lim \frac{\sqrt{9-\frac{1}{n}+\frac{1}{{{n}^{2}}}}}{4-\frac{2}{n}}=\frac{\sqrt{9}}{4}=\frac{3}{4}\]<h3>Bài 4. SGK Đại số 11 trang 122</h3>a)Cạnh hình vuông thứ nhất là \[\frac{1}{2}\Rightarrow {{u}_{1}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}\]Cạnh hình vuông thứ hai là \[\frac{1}{4}\Rightarrow {{u}_{2}}={{\left( \frac{1}{4} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{4}^{2}}}\]Cạnh hình vuông thứ ba là \[\frac{1}{8}\Rightarrow {{u}_{3}}={{\left( \frac{1}{8} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{4}^{3}}}\]\[\Rightarrow {{u}_{n}}=\frac{1}{{{4}^{n}}}\]b)\[{{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+...+{{u}_{n}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{{{4}^{2}}}+\frac{1}{{{4}^{3}}}+...+\frac{1}{{{4}^{n}}}\]\[\Rightarrow {{S}_{n}}\] là tổng của n số hạng trong dãy \[\left( {{u}_{n}} \right)\] là cấp số nhân có \[{{u}_{1}}=\frac{1}{4};q=\frac{1}{4}\]\[\Rightarrow {{S}_{n}}=\frac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{n}} \right)}{1-q}=\frac{1}{3}\left( 1-\frac{1}{{{4}^{n}}} \right)\]\[\Rightarrow \lim {{S}_{n}}=\lim \frac{1}{3}\left( 1-\frac{1}{{{4}^{n}}} \right)=\frac{1}{3}\]<h3>Bài 5. SGK Đại số 11 trang 122</h3>\[S=-1+\frac{1}{10}-\frac{1}{{{10}^{2}}}+...+\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{{{10}^{n-1}}}+...=-1+\frac{1}{10}+\frac{-1}{{{10}^{2}}}+...+\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{{{10}^{n-1}}}+...\]Nhận xét : Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có \[{{u}_{1}}=-1;q=\frac{-1}{10}\]\[\Rightarrow S=\frac{-1}{1-\left( \frac{-1}{10} \right)}=\frac{-10}{11}\]<h3>Bài 6. SGK Đại số 11 trang 122</h3>\[a=1,020202...\]\[=1+0,02+0,0002+0,000002+...\]\[=1+\frac{2}{100}+\frac{2}{10000}+\frac{2}{1000000}+...\]\[=1+2\left( \frac{1}{{{10}^{2}}}+\frac{1}{{{10}^{4}}}+\frac{1}{{{10}^{6}}}+... \right)\]Ta thấy \[\frac{1}{{{10}^{2}}}+\frac{1}{{{10}^{4}}}+\frac{1}{{{10}^{6}}}+...\] là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với \[{{u}_{1}}=\frac{1}{{{10}^{2}}};q=\frac{1}{{{10}^{2}}}\]\[\Rightarrow a=1+2.\frac{\frac{1}{{{10}^{2}}}}{1-\frac{1}{{{10}^{2}}}}=\frac{101}{99}\]<h3>Bài 7. SGK Đại số 11 trang 122</h3>a) \[\lim \left( {{n}^{3}}+2{{n}^{2}}-n+1 \right)=\lim \left[ {{n}^{3}}\left( 1+\frac{2}{n}-\frac{1}{{{n}^{2}}}+\frac{1}{{{n}^{3}}} \right) \right]\]Vì \[\lim {{n}^{3}}=+\infty ;\lim \left( 1+\frac{2}{n}-\frac{1}{{{n}^{2}}}+\frac{1}{{{n}^{3}}} \right)=1&gt;0\]\[\Rightarrow \lim \left[ {{n}^{3}}\left( 1+\frac{2}{n}-\frac{1}{{{n}^{2}}}+\frac{1}{{{n}^{3}}} \right) \right]=+\infty \] hay \[\lim \left( {{n}^{3}}+2{{n}^{2}}-n+1 \right)=+\infty \] .b) \[\lim \left( -{{n}^{2}}+5n-2 \right)=\lim \left[ {{n}^{2}}\left( -1+\frac{5}{n}-\frac{2}{{{n}^{2}}} \right) \right]\]Vì \[\lim {{n}^{2}}=+\infty ;\lim \left[ {{n}^{2}}\left( -1+\frac{5}{n}-\frac{2}{{{n}^{2}}} \right) \right]=-1&lt;0\]\[\Rightarrow \lim \left[ {{n}^{2}}\left( -1+\frac{5}{n}-\frac{2}{{{n}^{2}}} \right) \right]=-\infty \] hay \[\lim \left( -{{n}^{2}}+5n-2 \right)=-\infty \] .c) \[\lim \left( \sqrt{{{n}^{2}}-n}-n \right)\]\[=\lim \frac{\left( \sqrt{{{n}^{2}}-n}-n \right)\left( \sqrt{{{n}^{2}}-n}+n \right)}{\sqrt{{{n}^{2}}-n}+n}\]\[=\lim \frac{-n}{\sqrt{{{n}^{2}}-n}+n}\]\[=\lim \frac{-1}{\sqrt{1-\frac{1}{n}}+1}=\frac{-1}{1+1}=-\frac{1}{2}\]d) \[\lim \left( \sqrt{{{n}^{2}}-n}+n \right)=\lim \left[ n\left( \sqrt{1-\frac{1}{n}}+1 \right) \right]\]Vì \[\lim n=+\infty ;\lim \left( \sqrt{1-\frac{1}{n}}+1 \right)=2&gt;0\]\[\Rightarrow \lim \left[ n\left( \sqrt{1-\frac{1}{n}}+1 \right) \right]=+\infty \] hay \[\lim \left( \sqrt{{{n}^{2}}-n}+n \right)=+\infty \]Bài 8. SGK Đại số 11 trang 122a) \[\lim \frac{3{{u}_{n}}-1}{{{u}_{n}}+1}=\frac{3.3-1}{3+1}=2\]b) \[\lim \frac{{{v}_{n}}+2}{v_{n}^{2}-1}=\lim \frac{\frac{1}{{{v}_{n}}}+\frac{2}{v_{n}^{2}}}{1-\frac{1}{v_{n}^{2}}}=\frac{0+0}{1-0}=0\]( Vì \[\lim {{v}_{n}}=+\infty \Rightarrow \lim \frac{1}{{{v}_{n}}}=\lim \frac{2}{v_{n}^{2}}=\lim \frac{1}{v_{n}^{2}}=0\]Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa giới hạn dãy số toán học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất.&nbsp;

Bài 1. Giới hạn của dãy số

Giới hạn của dãy số

BÀI 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM<h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>I. Đạo hàm tại một điểm</h3>1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm<ol><li>Bài toán tìm vận tốc tức thời</li></ol>Định nghĩa:Giới hạn hữu hạn (nếu có)\[\underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{s(t)-s({{t}_{0}})}{t-{{t}_{0}}}\]được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \[{{t}_{0}}\] .Đó là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm \[{{t}_{0}}\] .<ol><li>Bài toán tìm cường độ tức thời</li></ol>Định nghĩa:Giới hạn hữu hạn (nếu có)\[\underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{Q(t)-Q({{t}_{0}})}{t-{{t}_{0}}}\]đó gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm \[{{t}_{0}}\] .Nhận xét:Nhiều bài toán trong Vật lí, Hóa học,…đưa đến việc tìm giới hạn dạng \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}\] , trong đó \[y=f(x)\] là một hàm số đã cho. Giới hạn trên dẫn tới một khái niệm quan trọng trong Toán học, đó gọi là Đạo hàm.2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểmĐịnh nghĩa:Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] xác định trên khoảng \[\left( a;b \right)\] và \[{{x}_{0}}\in \left( a;b \right)\] . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)\[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}\]Thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số \[y=f\left( x \right)\] tại điểm \[{{x}_{0}}\] và kí hiệu là \[f'\left( {{x}_{0}} \right)\] (hoặc \[y'\left( {{x}_{0}} \right)\] ), tức là\[f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}\]Chú ý:<ul><li>Đại lượng \[\Delta x=x-{{x}_{0}}\] được gọi là số gia của đối số tại \[{{x}_{0}}\]</li><li>Đại lượng \[\Delta y=f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)\] được gọi là số gia của đối số tại \[{{x}_{0}}\]</li></ul>3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩaQuy tắc:<ul><li>Giả sử \[\Delta x\] là số gia của đối số tại \[{{x}_{0}}\] , tính</li></ul>\[\Delta y=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)\]<ul><li>Lập tỉ số \[\frac{\Delta y}{\Delta x}\]</li><li>Tìm \[\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}\]</li></ul>4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm sốĐịnh lí 1:Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\] có đạo hàm tại \[{{x}_{0}}\] thì nó liên tục tại điểm đó.Chú ý:<ul><li>Định lí trên tương đương với: Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\] gián đoạn tại \[{{x}_{0}}\] thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.</li><li>Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.</li></ul>5. Ý nghĩa hình học của đạo hàmĐịnh lí 2:Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] xác định trên \[\left( a;b \right)\] và có đạo hàm tại \[{{x}_{0}}\in \left( a;b \right)\] . Gọi \[\left( C \right)\] là đồ thị hàm số đó.Đạo hàm của hàm số \[y=f\left( x \right)\] tại điểm \[{{x}_{0}}\] là hệ số góc của tiếp tuyến \[{{M}_{0}}T\] của \[C\] tại điểm \[{{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right) \right)\]Định lí 3:Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \[\left( C \right)\] của hàm số \[y=f\left( x \right)\] tại điểm \[{{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right) \right)\] là \[y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)\] trong đó \[{{y}_{0}}=f\left( {{x}_{0}} \right)\]6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm<ul><li>Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \[t\] là \[v\left( t \right)=s'\left( t \right)\]</li><li>Cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm \[t\] là \[I\left( t \right)=Q'\left( t \right)\]</li></ul><h3>II. Đạo hàm trên một khoảng</h3>Định nghĩa:Hàm số \[y=f\left( x \right)\] được gọi là có đạo hàm trên khoảng \[\left( a;b \right)\] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm \[x\] thuộc khoảng đó.Khi đó, ta gọi hàm số \[f':\left( a;b \right)\to \mathbb{R}\]\[\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\mapsto f'\left( x \right)\]là đạo hàm của hàm số \[y=f\left( x \right)\] trên khoảng \[\left( a;b \right)\] , kí hiệu là \[y'\] hay \[f'\left( x \right)\] .<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩaCách giải:<ul><li>Tính \[\Delta y=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)=f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)\]</li><li>Lập tỉ số \[\frac{\Delta y}{\Delta x}\]</li><li>Tính \[\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}\]</li></ul>Khi thay \[{{x}_{0}}\] bởi \[x\] ta tính được đạo hàm của hàm số \[y=f\left( x \right)\] tại \[x\in \left( a;b \right)\]Dạng 2. Mối quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm sốCách giải:<ul><li>Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\] có đạo hàm tại \[{{x}_{0}}\] thì nó liên tục tại điểm đó.</li><li>Để chứng minh hàm số không có đạo hàm tại \[{{x}_{0}}\] ta cần chứng minh \[\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta&nbsp; \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\Delta x}\] và hàm số không liên tục tại \[{{x}_{0}}\] .</li></ul>Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số \[y=f\left( x \right)\] tại điểm \[M\left( {{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right) \right)\]Cách giải:<ul><li>Tính \[f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\]</li><li>Phương trình tiếp tuyến tại điểm: \[y=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)\]</li></ul>Dạng 4. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số \[y=f\left( x \right)\] khi biết hệ số góc \[k\]Cách giải:<ul><li>Giải phương trình \[k=f'\left( {{x}_{0}} \right)\] để tìm \[{{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right)\]</li><li>Tính \[f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\]</li><li>Phương trình tiếp tuyến: \[y=k\left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)\]</li></ul><h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. SGK Đại số 11 trang 156</h3>\[y=f\left( x \right)={{x}^{3}}\]a) Ta có \[\Delta y=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)=f\left( 1+1 \right)-f\left( 1 \right)=f\left( 2 \right)-f\left( 1 \right)=8-1=7\] .b) Ta có \[\Delta y=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)=f\left( 1-0,1 \right)-f\left( 1 \right)=f\left( 0,9 \right)-f\left( 1 \right)=0,{{9}^{3}}-1=-0,271\] .<h3>Bài 2. SGK Đại số 11 rang 156</h3>a) \[y=2x-5\]Ta có \[\Delta y=f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)=2\left( x+\Delta x \right)-5-\left( 2x-5 \right)=2\Delta x\]\[\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=2\]b) \[y={{x}^{2}}-1\]Ta có \[\Delta y=f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)={{\left( x+\Delta x \right)}^{2}}-1-\left( {{x}^{2}}-1 \right)=2x.\Delta x+{{\left( \Delta x \right)}^{2}}=\Delta x\left( 2x+\Delta x \right)\]\[\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=2x+\Delta x\]c) \[y=2{{x}^{3}}\]Ta có \[\Delta y=f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)=2{{\left( x+\Delta x \right)}^{3}}-2{{x}^{3}}=2\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}.\Delta x+3x{{\left( \Delta x \right)}^{2}}+{{\left( \Delta x \right)}^{3}} \right)-2{{x}^{3}}=2\Delta x\left( 3{{x}^{2}}+3x.\Delta x+{{\left( \Delta x \right)}^{2}} \right)\] \[\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=2\left( 3{{x}^{2}}+3x.\Delta x+{{\left( \Delta x \right)}^{2}} \right)\]d) \[y=\frac{1}{x}\]Ta có \[\Delta y=f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)=\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}=\frac{x-\left( x+\Delta x \right)}{x\left( x+\Delta x \right)}=-\frac{\Delta x}{x\left( x+\Delta x \right)}\]\[\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-1}{x\left( x+\Delta x \right)}\]<h3>Bài 3. SGK Đại số 11 trang 156</h3>a) \[y={{x}^{2}}+x\] tại \[{{x}_{0}}=1\]Giả sử \[\Delta x\] là số gia của đối số tại \[{{x}_{0}}=1\]Ta có \[\Delta y=f\left( 1+\Delta x \right)-f\left( 1 \right)={{\left( 1+\Delta x \right)}^{2}}+\left( 1+\Delta x \right)-2={{\left( \Delta x \right)}^{2}}+3\Delta x\]\[\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\Delta x+3\]\[\Rightarrow \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \Delta x+3 \right)=3\]Vậy \[{{f}^{'}}\left( 1 \right)=3\] .b) \[y=\frac{1}{x}\] tại \[{{x}_{0}}=2\]Giả sử \[\Delta x\] là số gia của đối số tại \[{{x}_{0}}=2\]Ta có \[\Delta y=f\left( 2+\Delta x \right)-f\left( 2 \right)=\frac{1}{2+\Delta x}-\frac{1}{2}=-\frac{\Delta x}{2\left( 2+\Delta x \right)}\]\[\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{1}{2\left( 2+\Delta x \right)}\]\[\Rightarrow \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( -\frac{1}{2\left( 2+\Delta x \right)} \right)=-\frac{1}{4}\]Vậy \[f'\left( 2 \right)=\frac{-1}{4}\] .c) \[y=\frac{x+1}{x-1}\] tại \[{{x}_{0}}=0\]Giả sử \[\Delta x\] là số gia của đối số tại \[{{x}_{0}}=0\]Ta có \[\Delta y=f\left( 0+\Delta x \right)-f\left( 0 \right)=\frac{\Delta x+1}{\Delta x-1}+1=\frac{2\Delta x}{\Delta x-1}\]\[\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2}{\Delta x-1}\]\[\Rightarrow \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{2}{\Delta x-1} \right)=-2\]Vậy \[f'\left( 0 \right)=-2\] .<h3>Bài 4. SGK Đại số 11 trang 156</h3>+ Với \[x=0\] ta có :\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( x-1 \right)}^{2}}=1\]\[\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( -{{x}^{2}} \right)=0\]\[\Rightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\ne \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\]\[\Rightarrow \] Hàm số gián đoạn tại \[x=0\]\[\Rightarrow \] Hàm số không có đạo hàm tại \[x=0\]+ Với \[x=2\] ta có : \[\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 2 \right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}-1}{x-2}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-2x}{x-2}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,x=2\]\[\Rightarrow \] Hàm số có đạo hàm tại \[x=2\] .<h3>Bài 5. SGK Đại số 11 trang 156</h3>Ta có :\[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-{{x}_{0}} \right)\left( {{x}^{2}}+x.{{x}_{0}}+x_{0}^{2} \right)}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+x.{{x}_{0}}+x_{0}^{2} \right)=3x_{0}^{2}\]\[\Rightarrow f'\left( {{x}_{0}} \right)=3x_{0}^{2}\]a) Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại \[\left( -1;-1 \right)\] là :\[y=f'\left( -1 \right)\left( x+1 \right)-1=3x+2\]b) Tại \[{{x}_{0}}=2\Rightarrow {{y}_{0}}=8,f'\left( {{x}_{0}} \right)=12\]=&gt; Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm có hoành độ bằng 2 là :\[y=12\left( x-2 \right)+8=12x-16\]c) Vì hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 nên\[f'\left( {{x}_{0}} \right)=3\Leftrightarrow 3x_{0}^{2}=3\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\pm 1\]+ Với \[{{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=1\]\[\Rightarrow \] Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm \[\left( 1;1 \right)\] là :\[y=f'\left( 1 \right)\left( x-1 \right)+1=3x-2\]+ Với \[{{x}_{0}}=-1\Rightarrow {{y}_{0}}=-1\]\[\Rightarrow \] Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm \[\left( -1;-1 \right)\] là :\[y=f'\left( -1 \right)\left( x+1 \right)-1=3x+2\]<h3>Bài 6. SGK Đại số 11 trang 156</h3>Với \[{{x}_{0}}\ne 0\] ta có :\[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{{{x}_{0}}}}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left( -\frac{1}{x.{{x}_{0}}} \right)=-\frac{1}{x_{0}^{2}}\]\[\Rightarrow f'\left( {{x}_{0}} \right)=-\frac{1}{x_{0}^{2}}\]a) Phương trình tiếp tuyến của \[\left( H \right):y=\frac{1}{x}\] tại điểm \[\left( \frac{1}{2};2 \right)\] là :\[y=f'\left( \frac{1}{2} \right)\left( x-\frac{1}{2} \right)+2\Leftrightarrow y=4x-2\]b) Với \[{{x}_{0}}=-1\Rightarrow {{y}_{0}}=-1\] \[f'\left( {{x}_{0}} \right)=f'\left( -1 \right)=-1\]=&gt; Phương trình tiếp tuyến của \[\left( H \right):y=\frac{1}{x}\] tại điểm có hoành độ -1 là :\[y=-\left( x+1 \right)-1=-x-2\]c) Vì hệ số góc của tiếp tuyến là \[-\frac{1}{4}\]\[\Rightarrow f'\left( {{x}_{0}} \right)=-\frac{1}{4}\Leftrightarrow x_{0}^{2}=4\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\pm 2\]+ Với \[{{x}_{0}}=2\Rightarrow {{y}_{0}}=\frac{1}{2}\]\[\Rightarrow \] Phương trình tiếp tuyến của \[\left( H \right):y=\frac{1}{x}\] tại \[\left( 2;\frac{1}{2} \right)\] là :\[y=-\frac{1}{4}\left( x-2 \right)+\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}x+1\]+ Với \[{{x}_{0}}=-2\Rightarrow {{y}_{0}}=-\frac{1}{2}\]\[\Rightarrow \] Phương trình tiếp tuyến của \[\left( H \right):y=\frac{1}{x}\] tại \[\left( -2;-\frac{1}{2} \right)\] là :\[y=-\frac{1}{4}\left( x+2 \right)-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}x-1\]<h3>Bài 7. SGK Đại số 11 trang 157</h3>a) Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t đến \[t+\Delta t\] là :\[{{v}_{t}}=\frac{s\left( t+\Delta t \right)-s\left( t \right)}{\Delta t}=\frac{1}{2}g\frac{{{\left( t+\Delta t \right)}^{2}}-{{t}^{2}}}{\Delta t}=\frac{1}{2}g\left( 2t+\Delta t \right)\]+ Với \[t=5s;\Delta t=0,1s\] ta có : \[{{v}_{tb}}=\frac{1}{2}.9,8,\left( 2.5+0,1 \right)=49,49\left( m/s \right)\]+ Với \[t=5s;\Delta t=0,05s\] ta có : \[{{v}_{tb}}=\frac{1}{2}.9,8.\left( 2.5+0,05 \right)=49,245\left( m/s \right)\]+ Với \[t=5s;\Delta t=0,001s\] ta có : \[{{v}_{tb}}=\frac{1}{2}.9,8.\left( 2.5+0,001 \right)=49,0049\left( m/s \right)\]b) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \[t=5s\] là \[{{v}_{tt}}=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{v}_{tb}}=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2}g\left( 2t+\Delta t \right)=gt=9,8.5=49\left( m/s \right)\]Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm toán học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

BÀI 4: VI PHÂN<h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Định nghĩa</h3>Định nghĩa:Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] xác định trên khoảng \[\left( a;b \right)\] và có đạo hàm tại \[x\in \left( a;b \right)\] . Giả sử \[\Delta x\] là số gia của \[x\] .Ta gọi tích \[f'\left( x \right)\Delta x\] là vi phân của hàm số \[y=f\left( x \right)\] tại \[x\] ứng với số gia \[\Delta x\] , kí hiệu là \[df\left( x \right)\] hoặc \[dy\] , tức là: \[dy=df\left( x \right)=f'\left( x \right)\Delta x\]Chú ý:Với hàm số \[y=f\left( x \right)\] ta có \[dy=df\left( x \right)=f'\left( x \right)dx\]<h3>2. Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng</h3>Công thức tính gần đúng: \[f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)\approx f\left( {{x}_{0}} \right)+f'\left( {{x}_{0}} \right)\Delta x\]<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Tìm vi phân của hàm số \[y=f\left( x \right)\]Cách giải:<ul><li>Tính \[f'\left( x \right)\]</li><li>Vi phân của hàm số \[y=f\left( x \right)\] tại \[x\] là \[dy=df\left( x \right)=f'\left( x \right)dx\]</li><li>Vi phân của hàm số \[y=f\left( x \right)\] tại \[{{x}_{0}}\] là \[dy=df\left( {{x}_{0}} \right)=f'\left( {{x}_{0}} \right)dx\]</li></ul>Dạng 2. Tính giá trị gần đúng của biểu thứcCách giải:<ul><li>Xác định hàm số \[y=f\left( x \right)\] và chọn \[{{x}_{0}};\Delta x\] thích hợp.</li><li>Tính \[f'\left( x \right);f'\left( {{x}_{0}} \right);f\left( {{x}_{0}} \right)\]</li><li>Tính giá trị gần đúng \[f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)\approx f\left( {{x}_{0}} \right)+f'\left( {{x}_{0}} \right)\Delta x\]</li></ul><h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. SGK Đại số 11 trang 171</h3>a) \[y=\frac{\sqrt{x}}{a+b}\left( a,b=const \right)\]\[\Rightarrow y'=\frac{1}{a+b}.\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2\left( a+b \right)\sqrt{x}}\]\[\Rightarrow dy=d\left( \frac{\sqrt{x}}{a+b} \right)=y'dx=\frac{1}{2\left( a+b \right)\sqrt{x}}dx\]b) \[y=\left( {{x}^{2}}+4x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-\sqrt{x} \right)\]\[\Rightarrow y'={{\left( {{x}^{2}}+4x+1 \right)}^{'}}\left( {{x}^{2}}-\sqrt{x} \right)+\left( {{x}^{2}}+4x+1 \right){{\left( {{x}^{2}}-\sqrt{x} \right)}^{'}}=\left( 2x+4 \right)\left( {{x}^{2}}-\sqrt{x} \right)+\left( {{x}^{2}}+4x+1 \right)\left( 2x-\frac{1}{2\sqrt{x}} \right)\] \[\Rightarrow dy=d\left[ \left( {{x}^{2}}+4x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-\sqrt{x} \right) \right]=y'dx=\left[ \left( 2x+4 \right)\left( {{x}^{2}}-\sqrt{x} \right)+\left( {{x}^{2}}+4x+1 \right)\left( 2x-\frac{1}{2\sqrt{x}} \right) \right]dx\]<h3>Bài 2. SGK Đại số 11 trang 171</h3>a) \[y={{\tan }^{2}}x\]\[\Rightarrow y'=2\tan x.\left( \tan x \right)'=2\tan x.\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\]\[\Rightarrow dy=d\left( {{\tan }^{2}}x \right)=y'dx=\frac{2\tan x}{{{\cos }^{2}}x}dx\]b) \[y=\frac{\cos x}{1-{{x}^{2}}}\]\[\Rightarrow y'=\frac{\left( \cos x \right)'\left( 1-{{x}^{2}} \right)-\cos x\left( 1-{{x}^{2}} \right)'}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{2}}}\]\[=\frac{-\sin x\left( 1-{{x}^{2}} \right)+2x\cos x}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{2}}}\]\[=\frac{\left( {{x}^{2}}-1 \right)\sin x+2x\cos x}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{2}}}\]\[\Rightarrow dy=d\left( \frac{\cos x}{1-{{x}^{2}}} \right)=y'dx=\frac{\left( {{x}^{2}}-1 \right)\sin x+2x\cos x}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{2}}}dx\]Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa giải phương trình vi phân toán học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất

Bài 4. Vi phân

Vi phân

<h2 style="text-align:center;">BÀI 5: ĐẠO HÀM CẤP HAI</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Định nghĩa</h3>Định nghĩa:Giả sử hàm số \[y=f\left( x \right)\] có đạo hàm tại mỗi điểm \[x\in \left( a;b \right)\] . Khi đó, hệ thức \[y'=f'\left( x \right)\] xác định một hàm số mới trên khoảng \[\left( a;b \right)\] . Nếu hàm số \[y'=f'\left( x \right)\] lại có đạo hàm tại \[x\] thì ta gọi đạo hàm của \[y'\] là đạo hàm cấp hai của hàm số \[y=f\left( x \right)\] tại \[x\] và kí hiệu là \[y''\] hoặc \[f''\left( x \right)\] .Chú ý:<ul><li>Đạo hàm cấp ba của hàm số \[y=f\left( x \right)\] được định nghĩa tương tự và kí hiệu là \[y'''\] hoặc \[f'''\left( x \right)\] hoặc \[{{f}^{\left( 3 \right)}}\left( x \right)\] .</li><li>Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] có đạo hàm cấp \[n-1\] , kí hiệu là \[{{f}^{\left( n-1 \right)}}\left( x \right)\left( n\in \mathbb{N},n\ge 4 \right)\] . Nếu \[{{f}^{\left( n-1 \right)}}\left( x \right)\] có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là dạo hàm cấp \[n\] của \[f\left( x \right)\] , kí hiệu là \[{{y}^{\left( n \right)}}\] hoặc \[{{f}^{\left( n \right)}}\left( x \right)\]</li></ul><h3>2. Ý nghĩa cơ học</h3>Đạo hàm cấp hai \[f''\left( t \right)\] là gia tốc tức thời của chuyển động \[s=f\left( t \right)\] tại thởi điểm \[t\] .<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Tìm đạo hàm cấp \[n\] của hàm số \[y=f\left( x \right)\]Cách giải:<ul><li>Tính \[y'=f'\left( x \right)\]</li><li>Tính \[y''=\left( f'\left( x \right) \right)'\]</li><li>Tính tiếp \[{{y}^{\left( n \right)}}\left( x \right)\left( n&gt;2 \right)\] bằng cách đạo hàm lần lượt hoặc tìm ra quy luật chung của đạo hàm</li></ul>Dạng 2. Chứng minh hệ thức liên quan đến đạo hàmCách giải:<ul><li>Tính đến đạo hàm cấp \[n\] trong hệ thức</li><li>Thay các kết quả của đạo hàm vào hệ thức và biến đổi vế trái bằng vế phải</li></ul>Dạng 3. Bài toán thực tế liên quan đến gia tốc, vận tốc, quãng đườngCách giải:Áp dụng công thức về gia tốc, vận tốc:<ul><li>Vận tốc tức thời tại thời điểm \[t\] là \[v\left( t \right)=s'\left( t \right)\]</li><li>Gia tốc tức thời tại thời điểm \[t\] là \[a\left( t \right)=v'\left( t \right)\]</li></ul><h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. SGK Đại số 11 trang 174</h3>a) \[f\left( x \right)={{\left( x+10 \right)}^{6}}\]\[\Rightarrow f'\left( x \right)=6{{\left( x+10 \right)}^{5}}\]\[\Rightarrow f''\left( x \right)=30{{\left( x+10 \right)}^{4}}\]\[\Rightarrow f''\left( 2 \right)=622080\]b) \[f\left( x \right)=\sin 3x\]\[\Rightarrow f'\left( x \right)=3\cos 3x\]\[\Rightarrow f''\left( x \right)=-9\sin 3x\]\[\Rightarrow f''\left( -\frac{\pi }{2} \right)=-9;f''\left( 0 \right)=0;f''\left( \frac{\pi }{18} \right)=-\frac{9}{2}\]<h3>Bài 2. SGK Đại số 11 trang 174</h3>a) \[y=\frac{1}{1-x}\]\[\Rightarrow y'=\frac{1}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}\]\[\Rightarrow y''=\frac{2\left( 1-x \right)}{{{\left( 1-x \right)}^{4}}}=\frac{2}{{{\left( 1-x \right)}^{3}}}\]b) \[y=\frac{1}{\sqrt{1-x}}\]\[\Rightarrow y'=\frac{-\left( 1-x \right)'}{1-x}=\frac{1}{2\sqrt{1-x}\left( 1-x \right)}=\frac{1}{2\sqrt{{{\left( 1-x \right)}^{3}}}}\]\[\Rightarrow y''=\frac{\left( \sqrt{{{\left( 1-x \right)}^{3}}} \right)'}{2\sqrt{{{\left( 1-x \right)}^{6}}}}=\frac{3{{\left( 1-x \right)}^{2}}}{2.2\sqrt{{{\left( 1-x \right)}^{3}}}.\sqrt{{{\left( 1-x \right)}^{6}}}}=\frac{3}{4\sqrt{{{\left( 1-x \right)}^{5}}}}\]c) \[y=\tan x\]\[\Rightarrow y'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\]\[\Rightarrow y''=\frac{2\sin x.\cos x}{{{\cos }^{4}}x}=\frac{2\sin x}{{{\cos }^{3}}x}\]d) \[y={{\cos }^{2}}x\]\[\Rightarrow y'=-2\sin x\cos x\]\[\Rightarrow y''=-2{{\cos }^{2}}x+2{{\sin }^{2}}x=-2\left( {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x \right)=-2\cos 2x\]Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa đạo hàm cấp 2 toán học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Bài 5. Đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai

<h2 style="text-align:center;">BÀI 2: QUY TẮC ĐẠO HÀM</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRONG TÂM</h2>Quy tắc tính đạo hàm: Cho \[u=u\left( x \right),v=v\left( x \right)\]\[\left( u\pm v \right)'=u'\pm v'\]\[\left( ku \right)'=ku'\]\[\left( uv \right)'=u'v+uv'\]\[\left( \frac{u}{v} \right)'=\frac{u'v-uv'}{{{v}^{2}}}\]Đạo hàm hàm hợp \[g=f\left( u\left( x \right) \right)\Leftrightarrow g{{'}_{x}}=f{{'}_{u}}.u'\left( x \right).\]<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Tính đạo hàm hoặc đạo hàm tại điểmCách giải:Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm và đạo hàm của một số hàm số thường gặp.Dạng 2. Giải phương trình, bất phương trình liên quan đến đạo hàmCách giải:<ul><li>Tính \[y'=f'\left( x \right)\]</li><li>Thay \[y'=f'\left( x \right)\] vào phương trình, bất phương trình và vận dụng các phương pháp đã học để giải phương trình, bất phương trình.</li></ul><h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. SGK Đại số 11 trang 162</h3>a) \[y=7+x-{{x}^{2}}\]Gọi \[\Delta x\] là số gia của đối số tại \[{{x}_{0}}=1\] .Ta có : \[\Delta y=f\left( 1+\Delta x \right)-f\left( 1 \right)=7+\left( 1+\Delta x \right)-{{\left( 1+\Delta x \right)}^{2}}-7=-{{\left( \Delta x \right)}^{2}}-\Delta x\]\[\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=-\Delta x-1\]\[\Rightarrow \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( -\Delta x-1 \right)=-1\]\[\Rightarrow f'\left( 1 \right)=-1\]b) \[y={{x}^{3}}-2x+1\]Gọi \[\Delta x\] là số gia của đối số tại \[{{x}_{0}}=2\] .Ta có : \[\Delta y=f\left( 2+\Delta x \right)-f\left( 2 \right)={{\left( 2+\Delta x \right)}^{3}}-2\left( 2+\Delta x \right)+1-5={{\left( \Delta x \right)}^{3}}+6{{\left( \Delta x \right)}^{2}}+10\Delta x\]\[\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}={{\left( \Delta x \right)}^{2}}+6\Delta x+10\]\[\Rightarrow \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left[ {{\left( \Delta x \right)}^{2}}+6\Delta x+10 \right]=10\]\[\Rightarrow f'\left( 2 \right)=10\]<h3>Bài 2. SGK Đại số 11 trang 163</h3>a) \[y={{x}^{5}}-4{{x}^{3}}+2x-3\Rightarrow y'=5{{x}^{4}}-12{{x}^{2}}+2\]b) \[y=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}x+{{x}^{2}}-0,5{{x}^{4}}\Rightarrow y'=-\frac{1}{3}+2x-2{{x}^{3}}\]c) \[y=\frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{2{{x}^{3}}}{3}+\frac{4{{x}^{2}}}{5}-1\Rightarrow y'={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+\frac{8x}{5}\]d) \[y=3{{x}^{5}}\left( 8-3{{x}^{2}} \right)=24{{x}^{5}}-9{{x}^{7}}\Rightarrow y'=120{{x}^{4}}-63{{x}^{^{6}}}\]<h3>Bài 3. SGK Đại số 11 trang 163</h3>a) \[y={{\left( {{x}^{7}}-5{{x}^{2}} \right)}^{3}}\]Đặt \[u={{x}^{7}}-5{{x}^{2}}\Rightarrow u'=7{{x}^{6}}-10x\]\[y={{u}^{3}}\Rightarrow y_{u}^{'}=3{{u}^{2}}\]\[\Rightarrow y_{x}^{'}=y_{u}^{'}.u_{x}^{'}=3{{\left( {{x}^{7}}-5{{x}^{2}} \right)}^{2}}.\left( 7{{x}^{6}}-10x \right)\]Vậy \[y'=3{{\left( {{x}^{7}}-5{{x}^{2}} \right)}^{2}}.\left( 7{{x}^{6}}-10x \right)\] .b) \[y=\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( 5-3{{x}^{2}} \right)\]\[\Rightarrow y'=\left( {{x}^{2}}+1 \right)'\left( 5-3{{x}^{2}} \right)+\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( 5-3{{x}^{2}} \right)'\]\[=2x\left( 5-3{{x}^{2}} \right)+\left( {{x}^{2}}+1 \right).\left( -6x \right)\]\[=-12{{x}^{3}}+4x\]c) \[y=\frac{2x}{{{x}^{2}}-1}\]\[\Rightarrow y'=\frac{\left( 2x \right)'\left( {{x}^{2}}-1 \right)-2x\left( {{x}^{2}}-1 \right)'}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}}\]\[=\frac{2\left( {{x}^{2}}-1 \right)-2x.2x}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}}\]\[=\frac{-2{{x}^{2}}-2}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}}\]d) \[y=\frac{3-5x}{{{x}^{2}}-x+1}\]\[\Rightarrow y'=\frac{\left( 3-5x \right)'\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)-\left( 3-5x \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)'}{{{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}^{2}}}\]\[=\frac{-5\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)-\left( 3-5x \right)\left( 2x-1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}^{2}}}\]\[=\frac{5{{x}^{2}}-6x-2}{{{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}^{2}}}\]e) \[y={{\left( m+\frac{n}{{{x}^{2}}} \right)}^{3}}\left( m,n=const \right)\]Đặt \[u=m+\frac{n}{{{x}^{2}}}\Rightarrow u_{x}^{'}=\frac{-2n}{{{x}^{3}}}\]\[y={{u}^{3}}\Rightarrow y_{n}^{'}=3{{u}^{2}}\]\[\Rightarrow y_{x}^{'}=y_{u}^{'}.u_{x}^{'}=3{{\left( m+\frac{n}{{{x}^{2}}} \right)}^{2}}.\left( \frac{-2n}{{{x}^{3}}} \right)=-6n\left( m+\frac{n}{{{x}^{2}}} \right).\frac{1}{{{x}^{3}}}\]<h3>Bài 4. SGK Đại số 11 trang 163</h3>a) \[y={{x}^{2}}-x\sqrt{x}+1\]\[\Rightarrow y'=2x-\left( x'.\sqrt{x}+x.\left( \sqrt{x} \right)' \right)\]\[=2x-\left( \sqrt{x}+x.\frac{1}{2\sqrt{x}} \right)\]\[=2x-\left( \sqrt{x}+\frac{1}{2}\sqrt{x} \right)\]\[=2x-\frac{3}{2}\sqrt{x}\]b) \[y=\sqrt{2-5x-{{x}^{2}}}\]Đặt \[u=2-5x-{{x}^{2}}\Rightarrow u_{x}^{'}=-5-2x\]\[y=\sqrt{n}\Rightarrow y_{n}^{'}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\]\[\Rightarrow y_{x}^{'}=y_{u}^{'}.u_{x}^{'}=\frac{1}{2\sqrt{2-5x-{{x}^{2}}}}.\left( -5-2x \right)=-\frac{2x+5}{2\sqrt{2-5x-{{x}^{2}}}}\]c) \[y=\frac{{{x}^{3}}}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}\left( a=const \right)\]\[\Rightarrow y'=\frac{\left( {{x}^{3}} \right)'.\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}-{{x}^{3}}.\left( \sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}} \right)'}{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\]\[=\frac{3{{x}^{2}}\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}-{{x}^{3}}.\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)'}{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\]Tính \[\left( \sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}} \right)'=\frac{1}{2\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}.\left( -2x \right)=-\frac{x}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}\]\[\Rightarrow y'=\frac{3{{x}^{2}}\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}+{{x}^{3}}.\frac{x}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}}{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\]\[=\frac{3{{x}^{2}}\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)+{{x}^{4}}}{\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}\]\[=\frac{3{{a}^{2}}{{x}^{2}}-2{{x}^{4}}}{\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}\]d) \[y=\frac{1+x}{\sqrt{1-x}}\]\[\Rightarrow y'=\frac{\left( 1+x \right)'\sqrt{1-x}-\left( 1+x \right)\left( \sqrt{1-x} \right)'}{1-x}\]&nbsp;\[=\frac{\sqrt{1-x}-\left( 1+x \right)\left( \sqrt{1-x} \right)'}{1-x}\]Tính \[\left( \sqrt{1-x} \right)'=\frac{1}{2\sqrt{1-x}}.\left( -1 \right)=-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\]\[\Rightarrow y'=\frac{\sqrt{1-x}+\left( 1+x \right).\frac{1}{2\sqrt{1-x}}}{1-x}\]\[=\frac{2\left( 1-x \right)+1+x}{2\left( 1-x \right)\sqrt{1-x}}\]\[=\frac{3-x}{2{{\left( \sqrt{1-x} \right)}^{3}}}\]<h3>Bài 5. SGK Đại số 11 trang 163</h3>Ta có : \[y'=3{{x}^{2}}-6x\]a) \[y'&gt;0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x&gt;0\Leftrightarrow x&gt;2;x&lt;0\]b) $y'&lt;3\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x&lt;3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-1&lt;0\Leftrightarrow 1-\sqrt{2}$Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa quy tắc tính đạo hàm toán học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất

Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm

Quy tắc tính đạo hàm

<h2 style="text-align:center;">BÀI 2: PHÉP TỊNH TIẾN</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3 style="text-align:justify;">1. Định nghĩa</h3>Trong mặt phẳng cho vectơ \[\overrightarrow{v}\] . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho \[\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{v}\] được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow{v}\] .Phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow{v}\] thường được kí hiệu là \[{{T}_{\overrightarrow{v}}}\], \[\overrightarrow{v}\] được gọi là vectơ tịnh tiến.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/1111131_329a4bd819.PNG?107882.63000000734" alt="Description: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án">Như vậy, \[{{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)=M'\Leftrightarrow \overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{v}\]Phép tịnh tiến theo vectơ – không chính là phép đồng nhất.<h3 style="text-align:justify;">2. Tính chất</h3>Tính chất 1. Nếu \[{{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)=M';{{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( N \right)=N'\] thì \[\overrightarrow{M'N'}=\overrightarrow{MN}\] và từ đó suy ra \[MN=MN\].<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/1111132_6b537f7bac.PNG?273332.3150000069" alt="Description: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án">Tính chất 2. Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/1111133_485997b88e.PNG?290379.50999999885" alt="Description: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án"><h3 style="text-align:justify;">3. Biểu thức toạ độ</h3>Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ \[\overrightarrow{v}=\left( a;b \right)\]. Với mỗi điểm \[M\left( x;y \right)\] ta có \[M'\left( x';y' \right)\] là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo \[\overrightarrow{v}\] . Khi đó:$\overrightarrow {{\rm{MM'}}} = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' - x = a\quad \Rightarrow }\\ {y' - y = b} \end{array}\quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' = x + a}\\ {y' = y + b} \end{array}} \right.} \right.$<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Chứng minh/xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác,… qua phép tịnh tiến \[{{T}_{\overrightarrow{v}}}\]&nbsp;Cách giải:Áp dụng định nghĩa \[{{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)=M'\Leftrightarrow \overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{v}\] và tính chất của phép tịnh tiến kết hợp với dữ kiện đề bài.Dạng 2. Xác định tọa độ của điểm, phương trình đường thẳng, đường tròn,… khi thực hiện phép tịnh tiến \[{{T}_{\overrightarrow{v}}}\]&nbsp;Cách giải:<ul><li>\[M'={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{\text{MM }\!\!'\!\!\text{ }}=\overrightarrow{v}\]</li><li>\[\Delta '={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( \Delta&nbsp; \right)\Rightarrow \Delta //\Delta '\] . Nếu \[M\in \Delta \] thì \[{{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)=M'\in \Delta \]</li><li>Cho đường tròn \[\left( C \right)\] có tâm \[I;\] bán kính \[R\] và đường tròn \[\left( C' \right)\] có tâm \[I';\] bán kính \[R'\] .</li></ul>$\left( {C'} \right) = {T_{\overrightarrow v }}\left( {\left( C \right)} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} R' = R\\ I' = {T_{\overrightarrow v }}\left( I \right) \end{array} \right.$&nbsp;<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (trang 7 SGK Hình học 11)</h3>Ta có: \[M'={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{v}\]\[\Leftrightarrow \overrightarrow{M'M}=-\overrightarrow{MM'}=-\overrightarrow{v}\]\[\Leftrightarrow M={{T}_{-\overrightarrow{v}}}\left( M' \right)\]<h3>Bài 2. (trang 7 SGK Hình học 11)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/1111134_a97a6deda2.PNG?305068.6749999877" alt="Description: Giải bài 2 trang 7 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11"><ul><li style="text-align:justify;">Ta có :</li></ul>\[{{T}_{\overrightarrow{AG}}}\left( A \right)=G\]\[{{T}_{_{\overrightarrow{AG}}}}\left( B \right)=B'\Leftrightarrow \overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{AG}\]\[{{T}_{_{\overrightarrow{AG}}}}\left( C \right)=C'\Leftrightarrow \overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AG}\]\[\Rightarrow {{T}_{_{\overrightarrow{AG}}}}(\Delta ABC)=\Delta GB'C'\]<ul><li>\[{{T}_{\overrightarrow{AG}}}\left( D \right)=A\Leftrightarrow \overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AG}\]</li></ul>\[\Leftrightarrow A\] là trung điểm của \[DG\]&nbsp;<h3>Bài 3. (trang 7 SGK Hình học 11)</h3>a) Gọi \[A'\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right),B'\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)\]${T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1} - 3 = - 1}\\ {{y_1} - 5 = 2} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1} = 2}\\ {{y_1} = 7} \end{array} \Rightarrow A'\left( {2;7} \right)} \right.} \right.$${T_{\overrightarrow v }}(B) = B' \Leftrightarrow \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_2} + 1 = - 1}\\ {{y_2} - 1 = 2} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_2} = - 2}\\ {{y_2} = 3} \end{array} \Rightarrow B'\left( { - 2;3} \right)} \right.} \right.$Vậy \[A'\left( 2;7 \right),\,B\left( -2;3 \right)\]b) Gọi \[C\left( {{x}_{3}},{{y}_{3}} \right)\]${T_{\overrightarrow v }}(C) = A \Leftrightarrow \overrightarrow {CA} = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3 - {x_3} = - 1}\\ {5 - {y_3} = 2} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_3} = 4}\\ {{y_3} = 3} \end{array} \Rightarrow C\left( {4;3} \right)} \right.} \right.$c) Vì \[{{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( d \right)=d'\Rightarrow \] Phương trình đường thẳng \[d':x-2y+c=0\]Chọn \[M\left( -3;0 \right)\in d\Rightarrow {{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)=M'\in d'\]Gọi \[M'\left( {{x}_{4}},{{y}_{4}} \right)\]${T_{\overrightarrow v }}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {MM'} = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_4} + 3 = - 1}\\ {{y_4} = 2} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_4} = - 4}\\ {{y_4} = 2} \end{array} \Rightarrow M'\left( { - 4;2} \right)} \right.} \right.$Vì \[M'\left( -4;2 \right)\in d'\] nên \[c=8\]\[\Rightarrow \] Phương trình đường thẳng \[d':x-2y+8=0\]<h3>Bài 4. (trang 8 SGK Hình học 11)</h3>Ta có: \[A\in a,B\in b\Rightarrow {{T}_{\overrightarrow{AB}}}\left( a \right)=b\]Vì \[A,B\] là bất kì nên có vô số phép tịnh tiến biến a thành b.&nbsp;Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 11 bài Bài 2. Phép tịnh tiến do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ&nbsp;

Phép tịnh tiến

<h2 style="text-align:center;">BÀI 5: PHÉP QUAY</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3 style="text-align:justify;">1. Định nghĩa</h3>Định nghĩa:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C01_HH_B05_LT_01_a0523242df.PNG?217027.8249999974">Cho điểm O và góc lượng giác \[\alpha \]. Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm \[M'\] sao cho \[OM'=OM\] và góc lượng giác \[\left( OM;OM' \right)\] bằng \[\alpha \] được gọi là phép quay tâm O góc \[\alpha \].- Điểm O được gọi là tâm quay, \[\alpha \] được gọi là góc quay của phép quay đó.- Phép quay tâm O góc \[\alpha \] thường được kí hiệu là \[{{Q}_{(O,\alpha )}}\]Nhận xét:Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C01_HH_B05_LT_02_f6b713c965.PNG?233923.05999998644">Với k là số nguyên ta luôn có:<ul><li style="text-align:justify;">Phép quay \[{{Q}_{(O,2k\pi )}}\] là phép đồng nhất.</li><li style="text-align:justify;">Phép quay \[{{Q}_{(O,\left( 2k+1 \right)\pi )}}\] là phép đối xứng tâm O</li></ul><h3 style="text-align:justify;">2. Tính chất</h3>Tính chất 1Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.Tính chất 2Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C01_HH_B05_LT_03_b465a51791.PNG?266456.70999999857"><h3 style="text-align:justify;">3. Biểu thức tọa độ</h3>Phép quay quanh tâm \[O\left( 0;0 \right)\], góc \[\alpha \]${Q_{(O,\alpha )}}:{\rm{ }}M\left( {x;{\rm{ }}y} \right)\; \mapsto M'(x';{\rm{ }}y')$ $ \Rightarrow $ $\left\{ \begin{array}{l} x' = x\cos \alpha - {\rm{ysin}}\alpha \\ {\rm{y' = xsin}}\alpha {\rm{ + ycos}}\alpha \end{array} \right.$&nbsp;Các trường hợp đặc biệt:${Q_{(O,{{90}^0}}}_):{\rm{ }}M\left( {x;{\rm{ }}y} \right)\; \mapsto M'(x';{\rm{ }}y')$$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' = - y}\\ {y' = x} \end{array}} \right.$${Q_{(O,-{{90}^0}}}_):{\rm{ }}M\left( {x;{\rm{ }}y} \right)\; \mapsto M'\left( {x';{\rm{ }}y'} \right)$$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' = y}\\ {y' = - x} \end{array}} \right.$Trường hợp tổng quát phép quay quanh tâm \[I\left( a;b \right)\], góc \[\alpha \]\[{{Q}_{(I,\alpha )}}:\text{ }M\left( x;\text{ }y \right)~\mapsto M'(x';\text{ }y')\]$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x' = \left( {x - a} \right)\cos \alpha - \left( {y - b} \right)\sin \alpha + a\\ y' = \left( {x - a} \right)\sin \alpha + \left( {y - b} \right)\cos \alpha + b \end{array} \right.$<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Chứng minh/xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác,… qua phép quayCách giải:Áp dụng định nghĩa ${Q_{\left( {O,\alpha } \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} OM' = OM\\ \left( {OM;OM'} \right) = \alpha \end{array} \right.$ $\overrightarrow {IM'} = - \overrightarrow {IM} $ và tính chất của phép quay kết hợp với dữ kiện đề bài.Dạng 2. Tìm tọa độ điểm; phương trình đường thẳng, đường tròn qua phép quay \[{{Q}_{\left( I;\alpha&nbsp; \right)}}\]Cách giải:Áp dụng công thức phần biểu thức tọa độ.<h2>C. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Bài 1. (trang 19 SGK Hình học 11)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C01_HH_B05_LT_04_bc3dbd1649.PNG?291814.6099999867">a) Gọi \[C'\] là điểm đối xứng với điểm C qua điểm D.$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left( {{\rm{AC}};{\rm{AC}}'} \right) = {{90}^0}}\\ {{\rm{AC}} = {\rm{AC}}'} \end{array}} \right. \Leftrightarrow C'$ là điểm đối xứng với C qua D.b) Ta có:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{OB}} = {\rm{OC}}}\\ {({\rm{OB}};{\rm{OC}}) = \widehat {{\rm{BOC}}} = {{90}^0}} \end{array}} \right. \Rightarrow {\rm{C}} = {{\rm{Q}}_{\left( {0;{{90}^0}} \right)}}\left( B \right)$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{OC}} = {\rm{OD}}}\\ {({\rm{OC}};{\rm{OD}}) = \widehat {{\rm{COD}}} = {{90}^0}} \end{array}} \right. \Rightarrow {\rm{D}} = {{\rm{Q}}_{\left( {0;{{90}^0}} \right)}}\left( C \right)$<h3>Bài 2. (trang 19 SGK Hình học 11)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C01_HH_B05_BT_02_51f32d23fd.PNG?306510.7049999933">Ta có \[A\left( 2;0 \right)\in \] tia \[Ox\].Gọi ${Q_{\left( {O,{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = B \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} B \in \,\,tia\,\,Oy\\ OA = OB \end{array} \right. \Rightarrow B\left( {0;2} \right)$Gọi \[{{Q}_{\left( O,{{90}^{0}} \right)}}\left( d \right)=d'\].Vì \[A\left( 2;0 \right)\in \left( d \right)\]\[\Rightarrow B={{Q}_{(O,90{}^\text{o})}}\left( A \right)\in \left( d' \right)\]Vì \[B\left( 0;2 \right)\in \left( d \right)\]\[\Rightarrow C={{Q}_{\left( O,{{90}^{0}} \right)}}\left( B \right)\in \left( d' \right)\].Dễ thấy \[C\left( -2;0 \right)\] (hình vẽ).\[\Rightarrow \left( d' \right)\equiv BC\].Đường thẳng d’ đi qua \[B\left( 0;2 \right)\] và \[C\left( -2;0 \right)\] nên có phương trình:\[\frac{x}{-2}+\frac{y}{2}=1\Leftrightarrow x-y+2=0\]&nbsp;Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 11 bài Phép quay do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ.

Phép quay

<h2 style="text-align:center;">BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>I. Hàm số liên tục tại một điểm</h3>Định nghĩa 1Cho hàm số \[y=f(x)\] xác định trên khoảng K và \[{{x}_{0}}\in K\] .Hàm số \[y=f(x)\] được gọi là liên tục tại \[{{x}_{0}}\] nếu \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}})\] .Hàm số \[y=f(x)\] không liên tục tại \[{{x}_{0}}\] được gọi là gián đoạn tại điểm đó.<h3>II. Hàm số liên tục trên một khoảng</h3>Định nghĩa 2Hàm số \[y=f(x)\] được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.Hàm số \[y=f(x)\] được gọi là liên tục trên đoạn \[\left[ a;b \right]\] nếu nó liên tục trên khoảng \[\left( a;b \right)\] và\[\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(a),\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(b)\] .Khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng, như \[(a;b\text{ }\!\!]\!\!\text{ },\text{ }\!\![\!\!\text{ }a;+\infty ),...\] được định nghĩa một cách tương tự.Nhận xétĐồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó.<h3>III. Một số định lí cơ bản</h3>Định lí 1a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.Định lí 2Giả sử \[y=f(x)\] và \[y=g(x)\] là hai hàm số liên tục tại điểm \[{{x}_{0}}\] . Khi đó :a) Các hàm số \[y=f(x)+g(x);y=f(x)-g(x)\] và \[y=f(x).g(x)\] liên tục tại \[{{x}_{0}}\] .b) Hàm số \[y=\frac{f(x)}{g(x)}\] liên tục tại \[{{x}_{0}}\] nếu \[g({{x}_{0}})\ne 0\] .Định lí 3Nếu hàm số \[y=f(x)\] liên tục trên đoạn [a;b] và \[f(a)f(b)&lt;0\] , thì tồn tại ít nhất một điểm \[c\in \left( a;b \right)\] sao cho \[f(c)=0\] .Định lí 3 thường được áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình trên một khoảng.Có thể phát biểu Định lí 3 dưới một dạng khác như sau :Nếu hàm số \[y=f(x)\] liên tục trên đoạn [a;b] và \[f(a)f(b)&lt;0\] , thì phương trình \[f(x)=0\] có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a;b).<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểmCách giải:<ul><li>Tính \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\]</li><li>Tính \[f\left( {{x}_{0}} \right)\]</li><li>Nếu \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)\] thì hàm số liên tục tại điểm \[{{x}_{0}}\] . Nếu \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\ne f\left( {{x}_{0}} \right)\] thì hàm số gián đoạn tại điểm \[{{x}_{0}}\] .</li></ul>Dạng 2. Tìm tham số \[m\] để hàm số liên tục tại điểmCách giải:<ul><li>Tính \[\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right);\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\]</li><li>Tính \[f\left( {{x}_{0}} \right)\]</li><li>Hàm số liên tục tại điểm \[{{x}_{0}}\] \[\Leftrightarrow \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)\] thì</li></ul>Dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số trên \[\mathbb{R}\]Cách giải:<ul><li>Xét tính liên tục trên \[\left( {{x}_{0}};+\infty&nbsp; \right)\]</li><li>Xét tính liên tục trên \[\left( -\infty ;{{x}_{0}} \right)\]</li><li>Xét tính liên tục tại điểm \[x={{x}_{0}}\]&nbsp;</li></ul>Dạng 4. Chứng minh phương trình có nghiệmCách giải:<ul><li>Đưa phương trình về dạng \[f\left( x \right)=0\]</li><li>Xác định \[\left[ a;b \right]\] thuộc tập xác định của hàm số sao cho \[f\left( a \right).f\left( b \right)&lt;0\]</li></ul>\[\Rightarrow \] Phương trình \[f\left( x \right)=0\] có ít nhất một nghiệm thuộc \[\left( a;b \right)\]Chú ý: Cho phương trình chứa tham số và đề bài yêu cầu phương trình có nghiệm với mọi \[m\] ta cũng làm tương tự (Xác định \[\left[ a;b \right]\] thuộc tập xác định của hàm số sao cho \[f\left( a \right).f\left( b \right)&lt;0,\forall m\] )<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. SGK Đại số 11 trang 140</h3>Hàm số \[y=f\left( x \right)\] xác định trên R và \[{{x}_{0}}=3\in R\] .Ta có \[\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{3}}+2x-1 \right)=32=f\left( 3 \right)\]\[\Rightarrow \] Hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục tại \[{{x}_{0}}=3\] .<h3>Bài 2. SGK Đại số 11 trang 141</h3>a) Ta có :\[\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}-8}{x-2}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)=12\]\[g\left( 2 \right)=5\Rightarrow \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)\ne g\left( 2 \right)\]\[\Rightarrow \] Hàm số không liên tục tại \[{{x}_{0}}=2\]b) Để hàm số liên tục tại \[{{x}_{0}}=2\] thì \[g\left( 2 \right)=12\] .<h3>Bài 3. SGK Đại số 11 trang 141</h3>a)<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C04_GH_B03_BT_03_fef2792e0a.PNG?3091.670000052545" alt="">Từ đồ thị hàm số \[y=f\left( x \right)\] ta thấy :+ Hàm số liên tục trên \[\left( -\infty ;-1 \right)\] và \[\left( -1;+\infty&nbsp; \right)\]+ Hàm số không liên tục tại điểm \[x=-1\]b)+ Trên \[\left( -\infty ;-1 \right)\] : \[y=3x+2\] liên tục+ Trên \[\left( -1;+\infty&nbsp; \right)\] : \[y={{x}^{2}}-1\] liên tục+ Tại \[x=-1\] :\[\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 3x+2 \right)=-1\]\[\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-1 \right)=0\]\[\Rightarrow \underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\ne \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\]\[\Rightarrow \] Không tồn tại \[\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\] hay hàm số không liện tục tại \[x=-1\] .<h3>Bài 4. SGK Đại số 11 trang 141</h3>+ \[f\left( x \right)=\frac{x+1}{{{x}^{2}}+x-6}\]Hàm số xác định \[\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-6\ne 0\Leftrightarrow x\ne \left\{ -2;-3 \right\}\]Theo định lí 1, ta có hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục trên \[\left( -\infty ;-3 \right);\left( -3;-2 \right);\left( -2;+\infty&nbsp; \right)\]+ \[g\left( x \right)=\tan x+\sin x\]Hàm số xác định \[\Leftrightarrow \cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]Theo định lí 1, ta có hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục trên \[\left( \frac{-\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi&nbsp; \right)\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]<h3>Bài 5. SGK Đại số 11 trang 141</h3>Giả sử ý kiến sau là đúng :“ Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục tại điểm \[{{x}_{0}}\] còn hàm số \[y=g\left( x \right)\] không liên tục tại \[{{x}_{0}}\] thì \[y=f\left( x \right)+g\left( x \right)\] là một hàm số liên tục tại \[{{x}_{0}}\] .”Chứng minh :Đặt \[h\left( x \right)=f\left( x \right)+g\left( x \right)\Rightarrow g\left( x \right)=h\left( x \right)-f\left( x \right)\]Vì \[y=h\left( x \right)\] và \[y=f\left( x \right)\] liên tục tại \[{{x}_{0}}\]\[\Rightarrow \] \[y=h\left( x \right)\] và \[y=-f\left( x \right)\] liên tục tại \[{{x}_{0}}\]\[\Rightarrow \] \[y=h\left( x \right)+\left( -f\left( x \right) \right)\] liên tục tại \[{{x}_{0}}\] hay \[y=h\left( x \right)-f\left( x \right)\] liên tục tại \[{{x}_{0}}\]\[\Rightarrow \] \[g\left( x \right)\] liên tục tại \[{{x}_{0}}\] ( trái với giả thiết)\[\Rightarrow \] Ý kiến trên là sai\[\Rightarrow \] Ý kiến đề bài cho là đúng.<h3>Bài 6. SGK Đại số 11 trang 141</h3>a)\[2{{x}^{3}}-6x+1=0;f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-6x+1=0\]+ Xét \[\left( -2;-1 \right)\] ta có: \[f\left( -2 \right)=-3;f\left( -1 \right)=5\Rightarrow f\left( -2 \right).f\left( -1 \right)&lt;0\]\[\Rightarrow \] Trong \[\left( -2;-1 \right)\] , phương trình có ít nhất một nghiệm. (1)+ Xét \[\left( 1;2 \right)\] ta có: \[f\left( 1 \right)=-3;f\left( 2 \right)=5\Rightarrow f\left( 1 \right).f\left( 2 \right)&lt;0\]\[\Rightarrow \] Trong \[\left( 1;2 \right)\] , phương trình có ít nhất một nghiệm. (2)(1),(2) \[\Rightarrow \] Điều phải chứng minh.b)\[\cos x=x\Leftrightarrow \cos x-x=0\]\[g\left( x \right)=\cos x-x\]Xét \[\left( 0;\frac{\pi }{3} \right)\] ta có: \[g\left( 0 \right)=1;g\left( \frac{\pi }{3} \right)&lt;0\Rightarrow g\left( 0 \right).g\left( \frac{\pi }{3} \right)&lt;0\]\[\Rightarrow \] Trong \[\left( 0;\frac{\pi }{3} \right)\] , phương trình có ít nhất một nghiệm.\[\Rightarrow \] Điều phải chứng minh.Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa hàm số liên tục toán học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Bài 3. Hàm số liên tục

Hàm số liên tục

Ôn tập cuối năm (đại số và giải tích)

Bài 7

Ôn tập cuối năm (trang 178-181)

<h2 style="text-align:center;">BÀI 1: PHÉP BIẾN HÌNH</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>Định nghĩa:</h3>Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M′ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.Nếu kí hiệu phép biến hình là F thì ta viết \[F\left( M \right)=M\prime \] hay \[M\prime =F\left( M \right)\] và gọi điểm M′M′ là ảnh của điểm M hay M là điểm tạo ảnh của M′M′ qua phép biến hình F.<h3>Chú ý:</h3>Đối với phép biến hình:<ul><li>Mỗi điểm M chỉ có một ảnh M′ duy nhất</li><li>Có thể có nhiều điểm khác nhau cùng có chung một ảnh.</li></ul>Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng ta kí hiệu \[H\prime =F\left( H \right)\] là tập hợp các điểm \[M\prime =F\left( M \right)\], với mọi điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H thành H′, hay hình H′ là ảnh của hình H qua phép biến hình FPhép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.&nbsp;Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 11 bài Bài 1. Phép biến hình do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ

Phép  biến hình

Phép biến hình

<h2 style="text-align:center;">BÀI 6: KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH ẰNG NHAU</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3 style="text-align:justify;">1. Định nghĩa</h3>Định nghĩa:Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.Nhận xét:<ul><li style="text-align:justify;">Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là những phép dời hình.</li><li style="text-align:justify;">Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình là một phép dời hình.</li></ul><h3 style="text-align:justify;">2. Tính chất</h3>Phép dời hình:<ul><li style="text-align:justify;">Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm;</li><li style="text-align:justify;">Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đọan thẳng bằng nó;</li><li style="text-align:justify;">Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó;</li><li style="text-align:justify;">Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.</li></ul><h3 style="text-align:justify;">3. Khái niệm hai hình bằng nhau</h3>Định nghĩa:Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Chứng minh/xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác,… qua phép dời hìnhCách giải:Áp dụng định nghĩa và tính chất của phép dời hình (phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay,..) kết hợp với dữ kiện đề bài.Dạng 2. Tìm tọa độ điểm; phương trình đường thẳng, đường tròn qua phép dời hìnhCách giải:Áp dụng công thức phần biểu thức tọa độ của các phép dời hình (phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay,..).<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (trang 23 SGK Hình học 11)</h3>a) Ta có:\[\overrightarrow{\text{OA}}=\left( -3;2 \right);\overrightarrow{\text{OA}'}=\left( 2;3 \right)\]\[\text{OA}=\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}=\text{OA}'\]\[\overrightarrow{\text{OA}}.\overrightarrow{\text{OA}'}=\left( -3 \right).2+2.3=0\]\[\Rightarrow \widehat{\text{AOA}'}={{90}^{0}}\Rightarrow \left( \text{OA};\text{OA}' \right)=-\widehat{\text{AOA}'}=-{{90}^{0}}\]\[\Rightarrow \text{A}'={{\text{Q}}_{\left( 0;-{{90}^{0}} \right)}}\left( A \right)\]Chứng minh tương tự ta có: \[\text{B}'={{\text{Q}}_{\left( 0,{{90}^{0}} \right)}}\left( B \right);\text{C}'={{\text{Q}}_{\left( 0,{{90}^{0}} \right)}}\left( C \right)\]b) \[\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\] là ảnh của \[\Delta ABC\] qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc \[{{90}^{0}}\] và phép đối xứng qua trục \[Ox\].\[\Rightarrow \Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\] là ảnh của \[\Delta A'B'C'\] qua phép đối xứng trục \[Ox\].\[\Rightarrow {{A}_{1}}=\]Đ\[_{Ox}\left( A' \right)\Rightarrow {{A}_{1}}\left( 2;-3 \right)\]\[{{B}_{1}}=\]Đ\[_{Ox}\left( B' \right)\Rightarrow {{B}_{1}}\left( 5;-4 \right)\]\[{{C}_{1}}=\]Đ\[_{Ox}\left( C' \right)\Rightarrow {{C}_{1}}\left( 3;-1 \right).\]<h3>Bài 2. (trang 24 SGK Hình học 11)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C01_HH_B06_BT_02_6574934f5a.PNG?1881859.3299999922">Gọi \[L\] là trung điểm của \[OF\].Vì \[OE\] là đường trung trực của các đoạn thẳng \[AB;KF;JL\] nên\[B=\]Đ\[_{OE}\left( A \right);\]\[F=\]Đ\[_{OE}\left( K \right)\];\[L=\]Đ\[_{OE}\left( J \right)\]; \[E=\]Đ\[_{OE}\left( E \right)\]\[\Rightarrow \] Hình thang \[BFLE\] là ảnh của hình thang \[AKJE\] qua phép đối xứng trục \[OE\].\[\Rightarrow \]Hai hình thang \[BFLE\] và \[AKJE\] bằng nhau (1)Mặt khác, \[\overrightarrow{\text{EO}}=\overrightarrow{\text{BF}}=\overrightarrow{\text{FC}}=\overrightarrow{\text{LI}}\Rightarrow \text{O}={{\text{T}}_{\overrightarrow{\text{EO}}}}\left( E \right);\text{F}={{\text{T}}_{\overrightarrow{\text{EO}}}}\left( B \right);\text{C}={{\text{T}}_{\overrightarrow{\text{EO}}}}\left( F \right);\text{I}={{\text{T}}_{\overrightarrow{\text{EO}}}}\left( L \right)\]\[\Rightarrow \]Hình thang FCIO là ảnh của hình thang BFLE qua phép tịnh tiến theo \[\overrightarrow{EO}\]\[\Rightarrow \] Hai hình thang \[FCIO\] và \[BFLE\] bằng nhau (2)Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\Rightarrow \]hai hình thang \[FCIO\] và \[AKJE\] bằng nhau.<h3>Bài 3. (trang 24 SGK Hình học 11)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C01_HH_B05_LT_03_b465a51791.PNG?1901949.6599999983">Gọi \[D\] là trung điểm của \[BC\], \[G\] là trọng tâm \[\Delta ABC\].Gọi \[f\] là phép dời hình biến \[\Delta ABC\] thành \[\Delta A'B'C'\].\[\Rightarrow \text{A}'=\text{f}\left( A \right);\text{B}'=\text{f}\left( \text{B} \right)\text{;C}'=\text{f}\left( C \right);\] \[D'=f\left( D \right);G'=f\left( G \right).\]Ta có:\[B,D,C\] thẳng hàng \[\Rightarrow B';D';C'\]thẳng hàng.\[A;G;D\] thẳng hàng \[\Rightarrow A';G';D'\] thẳng hàng.\[B'D'=BD=\frac{BC}{2}=\frac{B'C'}{2}\Rightarrow D'\] là trung điểm \[B'C'\].\[A'G'=AG=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}A'D'\Rightarrow G'\] là trọng tâm \[\Delta A'B'C'\].Vậy phép dời hình \[f\] biến trọng tâm G của \[\Delta ABC\] thành trọng tâm \[G'\] của \[\Delta A'B'C'\].Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 11 bài Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ.

Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau

<h2 style="text-align:center;">BÀI 7: PHÉP VỊ TỰ</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3 style="text-align:justify;">1. Định nghĩa</h3>Định nghĩa:Cho điểm O và số \[k\ne 0\]. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho \[\overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}\] được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k.Phép vị tự tâm O tỉ số k thường được kí hiệu là \[{{V}_{(O;k)}}\].<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C01_HH_B07_LT_01_9ea615b912.PNG?42169.50000000361" alt="Description: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án">Nhận xét:<ul><li style="text-align:justify;">Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.</li><li style="text-align:justify;">Khi \[k=1\], phép vị tự là đồng nhất.</li><li style="text-align:justify;">Khi \[k=1\], phép vị tự là phép đối xứng tâm.</li><li style="text-align:justify;">\[\text{M}'={{\text{V}}_{\left( O;k \right)}}\left( M \right)\Leftrightarrow \text{M}={{\text{V}}_{\left( O;\frac{1}{k} \right)}}\left( \text{M}' \right)\]</li></ul><h3 style="text-align:justify;">2. Tính chất</h3>Tính chất 1\[{{\text{V}}_{(I;\text{k})}}\left( M \right)=\text{M}',{{\text{V}}_{(I;\text{k})}}\left( N \right)=\text{N}'\Rightarrow \overrightarrow{M'N'}=k\overrightarrow{MN}\]Tính chất 2Phép vị tự tỉ số k:<ul><li style="text-align:justify;">Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;</li><li style="text-align:justify;">Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng;</li><li style="text-align:justify;">Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó;</li><li style="text-align:justify;">Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính \[\left| k \right|R\].</li></ul><h3>3. Biểu thức tọa độ</h3>Cho \[I\left( a;b \right)\]. Khi đó: ${{\rm{V}}_{\left( {I;k} \right)}}M\left( {x;y} \right) \mapsto {\rm{M}}'\left( {{\rm{x}}';{\rm{y}}'} \right) \Rightarrow {\rm{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{x}}' = {\rm{kx}} + \left( {1 - {\rm{k}}} \right)a}\\ {{\rm{y}}' = {\rm{ky}} + \left( {1 - {\rm{k}}} \right){\rm{b}}} \end{array}} \right.$<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Chứng minh/xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác,… qua phép vị tựCách giải:Áp dụng định nghĩa \[{{V}_{\left( O,k \right)}}\left( M \right)={M}'\Leftrightarrow \overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}\] và tính chất của phép vị tự kết hợp với dữ kiện đề bài.Dạng 2. Tìm tọa độ điểm; phương trình đường thẳng, đường tròn qua phép vị tự \[{{V}_{\left( O;k \right)}}\]Cách giải:Áp dụng công thức phần biểu thức tọa độ.<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (trang 29 SGK Hình học 11)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C01_HH_B07_BT_01_9dd9e01f5e.PNG?98852.32000000542">Ta có \[{{V}_{\left( H;\frac{1}{2} \right)}}\left( A \right)=A'\]\[\Leftrightarrow \overrightarrow{\text{HA}'}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{HA}}\]\[\Leftrightarrow A'\] là trung điểm AH.Tương tự:\[{{V}_{\left( H;\frac{1}{2} \right)}}\left( B \right)=B'\Leftrightarrow B'\]là trung điểm BH.\[{{V}_{\left( H;\frac{1}{2} \right)}}\left( C \right)=C'\Leftrightarrow C'\]là trung điểm CH.\[\Rightarrow {{V}_{\left( H;\frac{1}{2} \right)}}\left( \Delta ABC \right)=\Delta A'B'C'\] với \[A';B';C'\] là trung điểm \[AH;BH;CH\].<h3>Bài 2 (trang 29 SGK Hình học 11)</h3>Gọi hai đường tròn lần lượt là \[\left( I;R \right)\] và \[\left( I';R' \right)\].Các xác định tâm vị tự của hai đường tròn:<ul><li style="text-align:justify;">Trên đường tròn \[\left( I;R \right)\] lấy điểm M bất kì.</li><li style="text-align:justify;">Trên đường tròn \[\left( I';R' \right)\] dựng đường kính \[AB//IM\].</li><li style="text-align:justify;">\[MA\] và MB lần lượt cắt \[II'\] tại \[{{O}_{1}}\] và \[{{O}_{2}}\] chính là hai tâm vị tự của hai đường tròn.</li></ul>Đối với từng trường hợp ta xác định được các tâm vị tự \[{{O}_{1}};{{O}_{2}}\] như hình dưới.+ Hình 1.62a:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C01_HH_B07_BT_02_A_dc046bb67b.PNG?116981.7699999985">+ Hình 1.62b:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C01_HH_B07_BT_02_B_65d0e7ce8d.PNG?128901.5800000052">+ Hình 1.62c.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C01_HH_B07_BT_02_C_c5d21ba26f.PNG?140633.4499999939"><h3>Bài 3. (trang 29 SGK Hình học 11)</h3>Giả sử \[{{V}_{\left( O;{{k}_{1}} \right)}}\left( M \right)={{M}_{1}}\Leftrightarrow \overrightarrow{O{{M}_{1}}}={{k}_{1}}\overrightarrow{OM}\]\[{{V}_{\left( O;{{k}_{2}} \right)}}\left( {{M}_{1}} \right)={{M}_{2}}\Leftrightarrow \overrightarrow{O{{M}_{2}}}={{k}_{2}}\overrightarrow{O{{M}_{1}}}\]\[\Leftrightarrow \overrightarrow{O{{M}_{2}}}={{k}_{2}}.{{k}_{1}}\overrightarrow{OM}\]\[{{V}_{\left( O;{{k}_{1}}{{k}_{2}} \right)}}\left( M \right)={{M}_{2}}\Leftrightarrow \overrightarrow{O{{M}_{2}}}={{k}_{1}}{{k}_{2}}\overrightarrow{OM}\]Vậy khi thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm O với tỉ số \[{{k}_{1}}\] và \[{{k}_{2}}\] thì ta được 1 phép vị tự tâm O với tỉ số \[{{k}_{1}}.{{k}_{2}}\].Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 11 bài Phép vị tự do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ.

Phép vị tự

<h2 style="text-align:center;">BÀI 8: PHÉP ĐỒNG DẠNG</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3 style="text-align:justify;">1. Định nghĩa</h3>Định nghĩa:Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số \[k\left( k&gt;0 \right)\] nếu với hai điểm \[M,N\] bất kì và ảnh \[M',N'\] tương ứng của chúng ta luôn có \[M'N'=kMN\].<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C01_HH_B08_LT_01_f7d7539dfa.PNG?34818.87000000279" alt="Description: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án">Nhận xét:<ul><li style="text-align:justify;">Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.</li><li style="text-align:justify;">Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số \[\left| k \right|\].</li><li>Phép đồng dạng tỉ số k = phép vị tự tỉ số k + phép dời hình</li></ul><h3 style="text-align:justify;">2. Tính chất</h3>Phép đồng dạng tỉ số k:<ul><li style="text-align:justify;">Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;</li><li style="text-align:justify;">Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đọan thẳng;</li><li style="text-align:justify;">Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó;</li><li style="text-align:justify;">Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính \[kR\].</li></ul><h3 style="text-align:justify;">3. Hình đồng dạng</h3>Định nghĩa:Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Chứng minh/xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác,… qua phép đồng dạngCách giải:Áp dụng định nghĩa, nhận xét và tính chất của phép đồng dạng kết hợp với dữ kiện đề bài.Dạng 2. Xác định phép đồng dạng biến điểm (đường thẳng, tam giác,…) thành điểm (đường thẳng tam giác,..) kiaCách giải:Phép đồng dạng tỉ số k = phép vị tự tỉ số k + phép dời hình. Từ đó, dựa vào dữ kiện đề bài, ta tìm phép vị tự tỉ số k và phép dời hình.Dạng 3. Tìm tọa độ điểm; phương trình đường thẳng, đường tròn qua phép đồngCách giải:Áp dụng công thức phần biểu thức tọa độ của các phép vị tự và phép dời hình.<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (trang 33 SGK Hình học 11)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C01_HH_B08_BT_01_bcd30160a3.PNG?72221.65999999561"><ul><li style="text-align:justify;">Xác định ảnh của \[\Delta ABC\] qua \[{{V}_{\left( B;\frac{1}{2} \right)}}\] :</li></ul>\[{{V}_{\left( B;\frac{1}{2} \right)}}\left( A \right)=A'\Leftrightarrow \overrightarrow{BA'}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}\Leftrightarrow A'\] là trung điểm \[AB\].\[{{V}_{\left( B;\frac{1}{2} \right)}}\left( B \right)=B\]\[{{V}_{\left( B;\frac{1}{2} \right)}}\left( C \right)=C'\Leftrightarrow \overrightarrow{BC'}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow C'\] là trung điểm \[BC\].\[\Rightarrow {{\text{V}}_{\left( \text{B};\frac{1}{2} \right)}}\left( \Delta \text{ABC} \right)=\Delta \text{A}'\text{BC}'\]<ul><li>Xác định ảnh của \[\Delta A'BC'\] qua phép đối xứng trục \[\Delta \] (với \[\Delta \] là trung trực của \[BC\]).</li></ul>Đ\[_{\Delta }\left( A' \right)=A''\Leftrightarrow {{\overrightarrow{HA}}^{\prime }}=-\overrightarrow{HA''}\] (với \[H\] là trung điểm \[A'A''\] như hình vẽ).Đ\[_{\Delta }\left( B \right)=C\]Đ\[_{\Delta }\left( C' \right)=C'\].\[\Rightarrow \] Đ \[_{\Delta }\left( \Delta \text{A }\!\!'\!\!\text{ BC }\!\!'\!\!\text{ } \right)=\Delta \text{A }\!\!'\!\!\text{ }'\text{CC}'\]Vậy ảnh của \[\Delta ABC\] thu được sau khi thực hiện phép \[{{V}_{\left( B;\frac{1}{2} \right)}}\] và phép Đ\[_{\Delta }\] là \[\Delta A''CC'\].<h3>Bài 2. (trang 33 SGK Hình học 11)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C01_HH_B08_BT_02_b3ec024708.PNG?92667.8649999958">Ta có I là trung điểm \[AC;BD;HK\].\[\Rightarrow \] Đ\[_{I}\left( H \right)=K\]; Đ\[_{I}\left( D \right)=B\]; Đ\[_{I}\left( C \right)=A\].\[\Rightarrow \]Đ \[_{I}\left( IHDC \right)=IKBA\] (1)Mặt khác, \[J;L;K;I\] lần lượt là trung điểm của \[CI;CK;CB;CA\]$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {{\rm{CJ}}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {{\rm{CI}}} ;\\ \overrightarrow {{\rm{CL}}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {{\rm{CK}}} \\ \overrightarrow {{\rm{CK}}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {{\rm{CB}}} \\ \overrightarrow {{\rm{CI}}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {{\rm{CA}}} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm{J}} = {{\rm{V}}_{\left( {{\rm{c}};\frac{1}{2}} \right)}}\left( I \right)\\ {\rm{L}} = {{\rm{V}}_{\left( {{\rm{C}};\frac{1}{2}} \right)}}\left( K \right)\\ {\rm{K}} = {{\rm{V}}_{\left( {{\rm{C}};\frac{1}{2}} \right)}}\left( B \right)\\ {\rm{I}} = {{\rm{V}}_{\left( {{\rm{C;}}\frac{1}{2}} \right)}}\left( A \right) \end{array} \right.$\[\Rightarrow {{V}_{\left( C,\frac{1}{2} \right)}}\left( IKBA \right)=JLKI\] (2)\[\Rightarrow \] Hình thang \[JLKI\] là ảnh của hình thang \[IHDC\]qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm I và phép vị tự tâm C tỉ số \[\frac{1}{2}\] .\[\Rightarrow IJKI\]và \[IHDC\] đồng dạng.<h3>Bài 3. (trang 33 SGK Hình học 11)</h3>Ta có: \[C\left( I;R \right)\xrightarrow{{{Q}_{\left( O;{{45}^{0}} \right)}}}C\left( {{I}_{1}};{{R}_{1}} \right)\xrightarrow{{{V}_{\left( O;\sqrt{2} \right)}}}{{C}_{2}}\left( {{I}_{2}};{{R}_{2}} \right)\] với \[I;{{I}_{1}};{{I}_{2}}\] là tâm và \[R;{{R}_{1}};{{R}_{2}}\] là bán kính của các đường tròn \[\left( C \right);\left( {{C}_{1}} \right);\left( {{C}_{2}} \right)\]<ul><li style="text-align:justify;">Xét ${Q_{\left( {O;{{45}^0}} \right)}}\left( C \right) = \left( {{C_1}} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{Q_{\left( {O;{{45}^0}} \right)}}\left( I \right) = {I_1}}\\ {R = {R_1} = 2} \end{array}} \right.$</li></ul>${Q_{\left( {O;{{45}^0}} \right)}}:I\left( {1;1} \right) \mapsto {I_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1} = x\cos {{45}^0} - y\sin {{45}^0} = 0}\\ {{y_1} = x\sin {{45}^0} + y\cos {{45}^0} = \sqrt 2 } \end{array}} \right. \Rightarrow {I_1}\left( {0;\sqrt 2 } \right)$<ul><li style="text-align:justify;">Xét ${V_{\left( {O;\sqrt 2 } \right)}}\left( {{C_1}} \right) = \left( {{C_2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{V_{\left( {O;\sqrt 2 } \right)}}\left( {{I_1}} \right) = {I_2}}\\ {{R_2} = \sqrt 2 {R_1} = 2\sqrt 2 } \end{array}} \right.$</li></ul>\[{{V}_{\left( O;\sqrt{2} \right)}}\left( {{I}_{1}} \right)={{I}_{2}}\Leftrightarrow \overrightarrow{\text{O}{{\text{I}}_{2}}}=\sqrt{2}\overrightarrow{\text{O}{{\text{I}}_{1}}}=\sqrt{2}\left( 0;\sqrt{2} \right)=\left( 0;2 \right)\Rightarrow {{I}_{2}}\left( 0;2 \right)\]Vậy đường tròn \[\left( {{C}_{2}} \right)\] cần tìm có tâm \[{{I}_{2}}\left( 0;2 \right)\] và bán kính \[{{R}_{2}}=2\sqrt{2}\] có phương trình là \[{{x}^{2}}+{{\left( y2 \right)}^{2}}=8\].<h3>Bài 4. (trang 33 SGK Hình học 11)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C01_HH_B08_BT_04_3a96882aa7.PNG?107245.43500000436">Gọi d là đường phân giác của góc B của \[\Delta ABC\].\[\Rightarrow \] Đ \[_{d}\left( A \right)=A'\left( A'\in BC \right)\]Đ \[_{d}\left( H \right)=H'\left( H'\in AB \right)\]Đ \[_{d}\left( B \right)=B\]\[\Rightarrow \] Đ \[_{d}\left( \Delta AHB \right)=\Delta A'H'B\,\,\,\,\left( 1 \right)\]\[\Rightarrow \Delta A'H'B\] vuông tại \[H'\] ; \[A'H'=AH\]\[\Rightarrow A'H'//BC\Rightarrow \frac{BA}{BH'}=\frac{BC}{BA'}=\frac{AC}{H'A'}=\frac{AC}{AH}=k\]\[\Rightarrow BA=kBH'\Rightarrow \overrightarrow{BA}=k\overrightarrow{BH'}\Leftrightarrow {{V}_{\left( B;k \right)}}\left( H' \right)=A\]Tương tự \[BC=kBA'\Leftrightarrow {{V}_{\left( B;k \right)}}\left( A' \right)=C\]\[{{V}_{\left( B;k \right)}}\left( B \right)=B\]\[\Rightarrow {{V}_{\left( B;k \right)}}\left( \Delta H'BA' \right)=\Delta ABC\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\]Từ \[\left( 1 \right);\left( 2 \right)\Rightarrow \] Phép đồng dạng cần tìm là hợp của phép đối xứng trục \[d\] là phân giác của \[\widehat{\text{ABC}}\] và phép vị tự tâm B, tỉ số \[k=\frac{AC}{AH}\] .Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 11 bài Phép đồng dạng do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ.

Bài 8. Phép đồng dạng

Bài 8

Phép đồng dạng

<h2 style="text-align:center;">BÀI 4: PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM</h2><h2>A. LÝ&nbsp;THUYẾT TRỌNG TÂM</h2>1. Định nghĩa<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/11114441_f8e3fce0f6.PNG?7227369.249999989">Cho điểm I và điểm M, phép dời hình biến điểm M thành M’ sao cho I là trung điểm của MM’ gọi là phép đối xứng tâm I, kí hiệu là ĐI&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Đ$_I\left( M \right) = M' \Leftrightarrow $$$\overrightarrow{IM'}=-\overrightarrow{IM}$$<h3>2. Biểu thức tọa độ</h3>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Cho \[I\left( a;b \right)\].&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Đ$$_{I}\text{: M}\left( \text{x};\text{y} \right)\mapsto \text{M}'\left( \text{x}';\text{y}' \right)$$. Khi đó: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' = 2a - x}\\ {y' = 2b - y} \end{array}} \right.$Đặc biệt: Đ$$_{O}\text{: M}\left( \text{x};\text{y} \right)\mapsto \text{M}'\left( \text{x}';\text{y}' \right)$$. Khi đó: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' = - x}\\ {y' = - y} \end{array}} \right.$<h3>3. Tính chất</h3><ul><li style="text-align:justify;">Đ\[_{I}\left( M \right)=M'\Leftrightarrow \]Đ\[_{I}\left( M' \right)=M\]</li><li style="text-align:justify;">Đ\[_{I}\left( M \right)=M';\] Đ\[_{I}\left( N \right)=N'\] \[\Rightarrow \] $$\overrightarrow{M'N'}=-\overrightarrow{MN}$$</li><li style="text-align:justify;">Phép đối xứng tâm biến điểm thành điểm, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó , biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.</li></ul><h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Chứng minh/xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác,… qua phép đối xứng tâm Đ$$_{I}$$Cách giải:Áp dụng định nghĩa Đ$_I\left( M \right) = M' \Leftrightarrow $$$\overrightarrow{IM'}=-\overrightarrow{IM}$$ và tính chất của phép đối xứng tâm kết hợp với dữ kiện đề bài.Dạng 2. Tìm tọa độ điểm; phương trình đường thẳng, đường tròn qua phép đối xứng tâmCách giải:Áp dụng công thức phần biểu thức tọa độ.Dạng 3. Chỉ ra các hình có tâm đối xứngCách giải:Lấy điểm bất kì thuộc hình và chỉ ra ảnh của nó qua phép đối xứng tâm cũng thuộc hình đó.<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (trang 15 SGK Hình học 11)</h3>Giả sử Đ$$_{O}\left( A \right)=A'\left( x';y' \right)$$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' = 1}\\ {y' = - 3} \end{array} \Rightarrow A'\left( {1; - 3} \right)} \right.$&nbsp;Ta có $$M\left( -3;0 \right),N\left( -1;1 \right)\in d$$Đ$$_{O}\left( M \right)=M'\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)$$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1} = 3}\\ {{y_1} = 0} \end{array} \Rightarrow M'\left( {3;0} \right)} \right.$Đ$$_{O}\left( N \right)=N'\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_2} = 1\quad }\\ {{y_2} = - 1} \end{array}} \right. \Rightarrow \quad N'\left( {1; - 1} \right)$Đ$$_{O}\left( d \right)=d'\Rightarrow M',N'\in d'$$Ta có: $\overrightarrow {M'N'} \left( { - 2, - 1} \right) \Rightarrow d':\left\{ \begin{array}{l} x = 3 - 2t\\ y = - t \end{array} \right.\left( {t \in } \right)$<h3>Bài 2. (trang 15 SGK Hình học 11)</h3>Tam giác đều và ngũ giác dều không có tâm đối xứng.Hình bình hành có một tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/11114442_760625a812.PNG?7307684.629999975">Hình lục giác đều có một tâm đối xứng là tâm đường tròn ngoại tiếp hình lục giác đều<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/11114443_617b6c2127.PNG?7321663.545000018"><h3>Bài 3. (trang 15 SGK Hình học 11)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/11114444_df2148a780.PNG?7335510.584999982">Lấy điểm $$O$$ bất kì thuộc đường thẳng $$a$$. Ta thấy Đ$$_{O}\left( a \right)=a$$.Vậy đường thẳng là một hình có vô số tâm đối xứng.

Phép đối xứng tâm

<h2 style="text-align:center;">BÀI 3: PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3 style="text-align:justify;">1. Định nghĩa</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/1111141_334b0305f4.PNG?4358501.014999988">Định nghĩa:Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng \[MM’\] được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d.Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn giản gọi là trục đối xứng.Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là ĐdNếu hình H’ là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H đối xứng với H’ qua d, hay H và H’ đối xứng với nhau qua d.Nhận xét:Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M gọi \[{{M}_{0}}\] là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d. Khi đó \[M'=\] Đ \[_{d}\left( M \right)\Leftrightarrow {{M}_{0}}M'=-\overrightarrow{{{M}_{0}}M}\]\[M'=\] Đ \[_{d}\left( M \right)\Leftrightarrow M=\] Đ \[_{d}\left( M' \right)\]<h3 style="text-align:justify;">2. Biểu thức toạ độ</h3>a. Trường hợp đối xứng qua trục tọa độ Ox và OyĐOx: \[M\left( x;\text{ }y \right)~\mapsto M'\left( x';\text{ }y' \right)\]. Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l} x' = x\\ y' = - y \end{array} \right.$ĐOy: \[M\left( x;\text{ }y \right)~\mapsto M'\left( x';\text{ }y' \right)\]. Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l} x' = - x\\ y' = y \end{array} \right.$b. Trường hợp tổng quát tìm điểm \[M'=\]Đ \[_{d}\left( M \right)\]&nbsp;<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/1111142_3146815f8c.PNG?4380205.465000006">Cách 1:<ul><li>Gọi \[I\left( x;y \right)\] là điểm thuộc d Þ tọa độ y theo x là : \[y=f\left( x \right)\]</li><li>Tìm véc tơ: \[\overrightarrow{IM}\]</li><li>\[\overrightarrow{IM}\bot \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\Rightarrow \overrightarrow{IM}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0\] Þ tọa độ I</li><li>I là trung điểm \[MM'\Rightarrow M'\]</li></ul>Cách 2:<ul><li>Gọi \[\Delta \] là đường thẳng qua M và vuông góc với d</li><li>Tìm \[I=\Delta \cap d\]</li><li>I là trung điểm của \[MM'\Rightarrow \] Tọa độ điểm \[M'\]</li></ul><h3 style="text-align:justify;">3. Tính chất</h3>Tính chất 1Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.Tính chất 2Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/1111143_0d33031fbc.PNG?4396871.754999971"><h3 style="text-align:justify;">4. Trục đối xứng của một hình</h3>Định nghĩa:Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến hình H thành chính nó. Khi đó ta nói H là hình có trục đối xứng.<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Chứng minh/xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác,… qua phép đối xứng trục Đ \[_{d}\]&nbsp;Cách giải:Áp dụng định nghĩa Đ \[_{d}\left( M \right)\Leftrightarrow {{M}_{0}}M'=-\overrightarrow{{{M}_{0}}M}\] và tính chất của phép đối xứng trục kết hợp với dữ kiện đề bài.Dạng 2. Tìm tọa độ điểm; phương trình đường thẳng, đường tròn qua phép đối xứng trụcCách giải:Áp dụng lí thuyết phần biểu thức tọa độ.Dạng 3. Chỉ ra các hình có trục đối xứngCách giải:Lấy điểm bất kì thuộc hình và chỉ ra ảnh của nó qua phép đối xứng trục cũng thuộc hình đó.<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (trang 11 SGK Hình học 11)</h3>Gọi \[A'\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),B'\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\] lần lượt là ảnh của \[A,B\] qua phép đối xứng trục \[Ox\].Ta có:Đ$_{Ox}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1} = 1}\\ {{y_1} = 2} \end{array} \Rightarrow A'\left( {1;2} \right)} \right.$Đ$_{Ox}(B) = B' \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_2} = 3}\\ {{y_2} = - 1} \end{array} \Rightarrow B'\left( {3; - 1} \right)} \right.$Đ \[_{Ox}(AB)=A'B'\]Ta có: \[\overrightarrow{A'B'}\left( 2;-3 \right)\] $ \Rightarrow A'B':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1 + 2t}\\ {y = 2 - 3t} \end{array}\quad (t \in )} \right.$<h3>Bài 2. (trang 11 SGK Hình học 11)</h3>Ta có: \[A\left( 0;2 \right);B\left( 1;5 \right)\in d\]Gọi \[A'\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),B'\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\] lần lượt là ảnh của \[A,B\] qua phép đối xứng trục \[Oy\].\[\Rightarrow A',B'\in d'\]Đ$_{Oy}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1} = 0}\\ {{y_1} = 2} \end{array} \Rightarrow A' \equiv A} \right.$Đ$_{Oy}\left( B \right) = B' \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_2} = - 1}\\ {{y_2} = 5} \end{array} \Rightarrow B'\left( { - 1;5} \right)} \right.$Ta có \[\overrightarrow{AB'}\left( -1;3 \right)\] $ \Rightarrow A'B':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = - t}\\ {y = 2 + 3t} \end{array}\quad (t \in )} \right.$<h3>Bài 3. (trang 11 SGK Hình học 11)</h3>Các chữ cái \[\text{V, I, E, T, A, M, W, O}\] là hình có trục đối xứng.&nbsp;Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 11 bài Bài 3. Phép đối xứng trục do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ

Phép đối xứng trục

<h2 style="text-align:center;">ÔN TẬP CHƯƠNG V</h2><h2>A.LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2>Quy tắc tính đạo hàm: \[u=u\left( x \right),v=v\left( x \right)\]\[\left( u\pm v \right)'=u'\pm v'\] ; \[\left( uv \right)'=u'v+uv'\] ; \[\left( \frac{u}{v} \right)'=\frac{u'v-uv'}{{{v}^{2}}}\]Đạo hàm hàm hợp \[g=f\left( u\left( x \right) \right)\Leftrightarrow g{{'}_{x}}=f{{'}_{u}}.u'\left( x \right).\]Bảng đạo hàm: ­ \[\left( u=u\left( x \right) \right)\]&nbsp;<figure class="table"><table style=";"><tbody><tr><td style="border:1px solid black;width:156px;">\[\left( cx \right)'=c,c\] là hằng số</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;width:156px;">\[\left( cu \right)'=cu'\] (c là hằng số)</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;width:156px;">\[\left( \tan x \right)'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;width:156px;">\[\left( \tan u \right)'=\frac{u'}{{{\cos }^{2}}u}\]</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:156px;">\[\left( {{x}^{m}} \right)'=m{{x}^{m-1}}\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:156px;">\[\left( {{u}^{m}} \right)'=m{{u}^{m-1}}u'\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:156px;">\[\left( \cot x \right)'=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:156px;">\[\left( \cot u \right)'=-\frac{u'}{{{\sin }^{2}}u}\]</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:156px;">\[\left( \frac{1}{x} \right)'=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\]&nbsp;</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:156px;">\[\left( \frac{1}{u} \right)'=-\frac{u'}{{{u}^{2}}}\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:156px;">\[\left( \sin x \right)'=\cos x\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:156px;">\[\left( \sin u \right)'=u'.\cos u\]</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:156px;">\[\left( \sqrt{x} \right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:156px;">\[\left( \sqrt{u} \right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:156px;">\[\left( \cos x \right)'=-\sin x\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:156px;">\[\left( \cos u \right)'=-u'.\sin u\]</td></tr></tbody></table></figure>&nbsp;<h2>B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. SGK Đại số 11 trang 176</h3>a) \[y=\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{2}}}{2}+x-5\]\[\Rightarrow y'={{x}^{2}}-x+1\]b) \[y=\frac{2}{x}-\frac{4}{{{x}^{2}}}+\frac{5}{{{x}^{3}}}-\frac{6}{7{{x}^{4}}}\]\[\Rightarrow y'=-\frac{2}{{{x}^{2}}}+\frac{8}{{{x}^{3}}}-\frac{15}{{{x}^{4}}}+\frac{24}{7{{x}^{5}}}\]c) \[y=\frac{3{{x}^{2}}-6x+7}{4x}\]\[\Rightarrow y'=\frac{\left( 6x-6 \right).4x-4\left( 3{{x}^{2}}-6x+7 \right)}{16{{x}^{2}}}=\frac{12{{x}^{2}}-28}{16{{x}^{2}}}=\frac{3{{x}^{2}}-7}{4{{x}^{2}}}\]d) \[y=\left( \frac{2}{x}+3x \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)\]\[\Rightarrow y'=\left( -\frac{2}{{{x}^{2}}}+3 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)+\left( \frac{2}{x}+3x \right).\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{9{{x}^{2}}\sqrt{x}-6{{x}^{2}}-2\sqrt{x}+4}{2{{x}^{2}}}\]e) \[y=\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\]\[\Rightarrow y'=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\left( 1-\sqrt{x} \right)+\frac{1}{2\sqrt{x}}\left( 1+\sqrt{x} \right)}{{{\left( 1-\sqrt{x} \right)}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{x}{{\left( 1-\sqrt{x} \right)}^{2}}}\]f) \[y=\frac{-{{x}^{2}}+7x+5}{{{x}^{2}}-3x}\]\[\Rightarrow y'=\frac{\left( -2x+7 \right)\left( {{x}^{2}}-3x \right)-\left( 2x-3 \right)\left( -{{x}^{2}}+7x+5 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-3x \right)}^{2}}}=\frac{-4{{x}^{2}}-10x+15}{{{\left( {{x}^{2}}-3x \right)}^{2}}}\]<h3>Bài 2. SGK Đại số 11 trang 176</h3>a) \[y=2\sqrt{x}\sin x-\frac{\cos x}{x}\]\[\Rightarrow y'=2.\frac{1}{2\sqrt{x}}\sin x+2\sqrt{x}\cos x-\frac{-\sin x.x-\cos x}{{{x}^{2}}}\]\[=\frac{\sin x}{\sqrt{x}}+2\sqrt{x}\cos x+\frac{x\sin x+\cos x}{{{x}^{2}}}\]\[=\frac{x\sqrt{x}\sin x+2{{x}^{2}}\sqrt{x}\cos x+x\sin x+\cos x}{{{x}^{2}}}\]\[=\frac{\left( \sqrt{x}+1 \right)x\sin x+\left( 2{{x}^{2}}\sqrt{x}+1 \right)\cos x}{{{x}^{2}}}\]b) \[y=\frac{3\cos x}{2x+1}\]\[\Rightarrow y'=\frac{-3\sin x\left( 2x+1 \right)-2.3\cos x}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}=\frac{-3\left( 2x+1 \right)\sin x-6\cos x}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}\]c) \[y=\frac{{{t}^{2}}+2\cos t}{\sin t}\]\[\Rightarrow y'=\frac{\left( 2t-2\sin t \right)\sin t-\cos t\left( {{t}^{2}}+2\cos t \right)}{{{\sin }^{2}}t}=\frac{2t\sin t-{{t}^{2}}\cos t-2}{{{\sin }^{2}}t}\]d) \[y=\frac{2\cos \varphi -\sin \varphi }{3\sin \varphi +\cos \varphi }\]\[\Rightarrow y'=\frac{\left( -2\sin \varphi -\cos \varphi&nbsp; \right)\left( 3\sin \varphi +\cos \varphi&nbsp; \right)-\left( 2\cos \varphi -\sin \varphi&nbsp; \right)\left( 3\cos \varphi -\sin \varphi&nbsp; \right)}{{{\left( 3\sin \varphi +\cos \varphi&nbsp; \right)}^{2}}}\]\[=\frac{-7{{\sin }^{2}}\varphi -7{{\cos }^{2}}\varphi }{{{\left( 3\sin \varphi +\cos \varphi&nbsp; \right)}^{2}}}\]\[=\frac{-7}{{{\left( 3\sin \varphi +\cos \varphi&nbsp; \right)}^{2}}}\]e) \[y=\frac{\tan x}{\sin x+2}\]\[\Rightarrow y'=\frac{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\left( \sin x+2 \right)-\cos x.\tan x}{{{\left( \sin x+2 \right)}^{2}}}\]\[=\frac{\sin x+2-{{\cos }^{3}}x.\frac{\sin x}{\cos x}}{{{\cos }^{2}}x{{\left( \sin x+2 \right)}^{2}}}\]\[=\frac{2+\sin x-{{\cos }^{2}}x.\sin x}{{{\cos }^{2}}x{{\left( \sin x+2 \right)}^{2}}}\]\[=\frac{2+\sin x\left( 1-{{\cos }^{2}}x \right)}{{{\cos }^{2}}x{{\left( \sin x+2 \right)}^{2}}}\]\[=\frac{2+{{\sin }^{3}}x}{{{\cos }^{2}}x{{\left( \sin x+2 \right)}^{2}}}\]f) \[y=\frac{\cot x}{2\sqrt{x}-1}\]\[\Rightarrow y'=\frac{-\frac{2\sqrt{x}-1}{{{\sin }^{2}}x}-\frac{\cot x}{\sqrt{x}}}{{{\left( 2\sqrt{x}-1 \right)}^{2}}}\]<h3>Bài 3. SGK Đại số 11 trang 176</h3>\[f\left( x \right)=\sqrt{1+x}\Rightarrow f\left( 3 \right)=2\]\[f'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}\Rightarrow f'\left( 3 \right)=\frac{1}{4}\]\[\Rightarrow f\left( 3 \right)+\left( x-3 \right)f'\left( 3 \right)=2+\frac{x-3}{4}\]<h3>Bài 4. SGK Đại số 11 trang 176</h3>\[f\left( x \right)=\tan x\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\Rightarrow f'\left( 0 \right)=1\]\[g\left( x \right)=\frac{1}{1-x}\Rightarrow g'\left( x \right)=\frac{1}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}\Rightarrow g'\left( 0 \right)=1\]\[\Rightarrow \frac{f'\left( 0 \right)}{g'\left( 0 \right)}=1\]<h3>Bài 5. SGK Đại số 11 trang 176</h3>\[f\left( x \right)=3x+\frac{60}{x}-\frac{64}{{{x}^{3}}}+5\]\[\Rightarrow f'\left( x \right)=3-\frac{60}{{{x}^{2}}}+\frac{192}{{{x}^{4}}}\]\[\Rightarrow f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3-\frac{60}{{{x}^{2}}}+\frac{192}{{{x}^{4}}}=0\]\[\Leftrightarrow 3{{x}^{4}}-60{{x}^{2}}+192=0\]\[\Leftrightarrow {{x}^{2}}=16;{{x}^{2}}=4\]\[\Leftrightarrow x=\pm 4;x=\pm 2\]<h3>Bài 6. SGK Đại số 11 trang 176</h3>\[{{f}_{1}}\left( x \right)=\frac{\cos x}{x}\Rightarrow f_{1}^{'}\left( x \right)=\frac{-x\sin x-\cos x}{{{x}^{2}}}\Rightarrow f_{1}^{'}\left( 1 \right)=-\sin 1-\cos 1\]\[{{f}_{2}}\left( x \right)=x\sin x\Rightarrow f_{2}^{'}\left( x \right)=\sin x+x\cos x\Rightarrow f_{2}^{'}\left( 1 \right)=\sin 1+\cos 1\]\[\Rightarrow \frac{f_{1}^{'}}{f_{2}^{'}}=-1\]<h3>Bài 7. SGK Đại số 11 trang 176</h3>a) \[y=\frac{x+1}{x-1}\]\[\Rightarrow y'=\frac{x-1-\left( x+1 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=-\frac{2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\]\[\Rightarrow y'\left( 2 \right)=-2\]\[\Rightarrow \] Phương trình tiếp tuyến tại \[A\left( 2;3 \right)\] : \[y=-2\left( x-2 \right)+3\Leftrightarrow y=-2x+7\]b) \[y={{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-1\]\[\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}+8x\]\[\Rightarrow y'\left( -1 \right)=-5\]\[y\left( -1 \right)=2\]\[\Rightarrow \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \[{{x}_{0}}=-1\] :\[y=-5\left( x+1 \right)+2\Leftrightarrow y=-5x-3\]c) \[y={{x}^{2}}-4x+4\Rightarrow y'=2x-4\]Ta có \[{{y}_{0}}=1\Leftrightarrow x_{0}^{2}-4{{x}_{0}}+4=1\Leftrightarrow {{x}_{0}}=1;{{x}_{0}}=3\]+ Với \[{{x}_{0}}=1\Rightarrow y'\left( 1 \right)=-2\]\[\Rightarrow \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ \[\left( 1;1 \right)\] là\[y=-2\left( x-1 \right)+1\Leftrightarrow y=-2x+3\]+ Với \[{{x}_{0}}=3\Rightarrow y'\left( 3 \right)=2\]\[\Rightarrow \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ \[\left( 3;1 \right)\] là\[y=2\left( x-3 \right)+1\Leftrightarrow y=2x-5\]<h3 style="text-align:justify;">Bài 8. SGK Đại số 11 trang 177</h3>\[S={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}-9t\]\[\Rightarrow v\left( t \right)=S'=3{{t}^{2}}-6t-9\] ; \[a\left( t \right)=v'\left( t \right)=6t-6\]a) \[v\left( 2 \right)=-9\left( m/s \right)\]b) \[a\left( 3 \right)=12\left( m/{{s}^{2}} \right)\]c) Tại thời điểm vận tốc triệt tiêu thì :\[v\left( t \right)=0\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-6t-9=0\Leftrightarrow t=3\] ( vì \[t&gt;0\] )\[\Rightarrow \] \[a\left( 3 \right)=12\left( m/{{s}^{2}} \right)\]d) Tại thời điểm gia tốc triệt tiêu thì :\[a\left( t \right)=0\Leftrightarrow 6t-6=0\Leftrightarrow t=1\]\[\Rightarrow \] \[v\left( 1 \right)=-12\left( m/s \right)\]<h3 style="text-align:justify;">Bài 9. SGK Đại số 11 trang 177</h3>Phương trình hoành độ giao điểm : \[\frac{1}{x\sqrt{2}}=\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{2}}\]\[\Leftrightarrow {{x}^{3}}=1\Leftrightarrow x=1\]\[\Rightarrow y=\frac{1}{\sqrt{2}}\]\[\Rightarrow A\left( 1;\frac{1}{\sqrt{2}} \right)\]+ \[y=\frac{1}{x\sqrt{2}}\Rightarrow y'=-\frac{1}{{{x}^{2}}\sqrt{2}}\Rightarrow y'\left( 1 \right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\]\[\Rightarrow \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm \[A\left( 1;\frac{1}{\sqrt{2}} \right)\] :\[y=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left( x-1 \right)+\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow y=-\frac{1}{\sqrt{2}}x+\sqrt{2}\]+ \[y=\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{2}}\Rightarrow y'=\sqrt{2}x\Rightarrow y'\left( 1 \right)=\sqrt{2}\]\[\Rightarrow \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm \[A\left( 1;\frac{1}{\sqrt{2}} \right)\] :\[y=\sqrt{2}\left( x-1 \right)+\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow y=\sqrt{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}\]Ta thấy \[\frac{-1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}=-1\]\[\Rightarrow \] Hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.\[\Rightarrow \] Góc giữa hai tiếp tuyến bằng \[{{90}^{0}}\] .&nbsp;<h3 style="text-align:justify;">Bài 10. SGK Đại số 11 trang 177</h3>\[{{C}_{1}}\] : Tự luận\[{{C}_{2}}\] : Casio\[\Rightarrow \] Đáp án B.<h3 style="text-align:justify;">Bài 11. SGK Đại số 11 trang 177</h3>\[f\left( x \right)={{\sin }^{3}}x+{{x}^{2}}\]\[\Rightarrow f'\left( x \right)=3\cos x.{{\sin }^{2}}x+2x\]Sử dụng Casio tính \[f''\left( -\frac{\pi }{2} \right)=5\]\[\Rightarrow \] Đáp án D.<h3 style="text-align:justify;">Bài 12. SGK Đại số 11 trang 177</h3>\[h\left( x \right)=5{{\left( x+1 \right)}^{3}}+4\left( x+1 \right)\]\[\Rightarrow h'\left( x \right)=15{{\left( x+1 \right)}^{2}}+4\]\[\Rightarrow h''\left( x \right)=30\left( x+1 \right)\]\[\Rightarrow h''\left( x \right)=0\Leftrightarrow 30\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow x=-1\]\[\Rightarrow \] Đáp án C.<h3 style="text-align:justify;">Bài 13. SGK Đại số 11 trang 177</h3>\[f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}+\frac{{{x}^{2}}}{2}+x\]\[\Rightarrow f'\left( x \right)={{x}^{2}}+x+1\]\[\Rightarrow f'\left( x \right)\le 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x+1\le 0\] (vô lý)\[\Rightarrow \] Đáp án A.Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa ôn tập chương 5 toán học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Ôn tập chương V

Ôn tập chương 5

Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

<h2 style="text-align:center;">BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>I. Tích vô hướng của hai vec tơ trong không gian</h3>1. Góc giữa hai vec tơ trong không gianĐịnh nghĩa:Trong không gian, cho \[\overrightarrow{u}\] và \[\overrightarrow{v}\] là hai vec tơ khác vec tơ – không. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho \[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u};\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}\]. Khi đó, ta gọi góc \[\widehat{BAC}\left( {{0}^{0}}\le \widehat{BAC}\le {{180}^{0}} \right)\] là góc giữa hai vec tơ \[\overrightarrow{u}\] và \[\overrightarrow{v}\] trong không gian. Kí hiệu là \[\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} \right)\]2. Tích vô hướng của hai vec tơ trong không gianĐịnh nghĩa:Trong không gian, cho \[\overrightarrow{u}\] và \[\overrightarrow{v}\] là hai vec tơ khác vec tơ – không. Tích vô hướng của hai vec tơ \[\overrightarrow{u}\] và \[\overrightarrow{v}\] là một số, kí hiệu là cho \[\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\] , được xác định bởi công thức:\[\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{v} \right|\cos \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right)\]Quy ước: Nếu $\left[ \begin{array}{l} \overrightarrow u = \overrightarrow 0 \\ \overrightarrow v = \overrightarrow 0 \end{array} \right.$ thì \[\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\]<h3>II. Vec tơ chỉ phương của đường thẳng</h3>1. Định nghĩaVec tơ \[\overrightarrow{a}\] khác vec tơ – không được gọi là vec tơ chỉ phương của đường thẳng \[d\] nếu giácủa vec tơ \[\overrightarrow{a}\] song song hoặc trùng với đường thẳng \[d\] .<ul><li>Nếu \[\overrightarrow{a}\] là vec tơ chỉ phương của đường thẳng \[d\] thì \[k\overrightarrow{a}\] cũng là vec tơ chỉ phương của đường thẳng \[d\] .</li><li>Đường thẳng \[d\] trong không gian được hoàn toàn xác định nếu biết \[A\in d\] và một vec tơ chỉ phương \[\overrightarrow{a}\] .</li><li>\[a//b\Leftrightarrow a;b\] phân biệt và có hai vec tơ chỉ phương cùng phương.</li></ul><h3>III. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian</h3>1. Định nghĩaGóc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.2. Nhận xét<ul><li>Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.</li><li>Cho \[\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right)=\alpha \] với \[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\] lần lượt là vec tơ chỉ phương của hai đường thẳng \[a,b\] . Khi đó, \[\left( a,b \right)=\alpha \left( {{0}^{0}}\le \alpha \le {{90}^{0}} \right)\] hoặc \[\left( a,b \right)={{180}^{0}}-\alpha \left( {{90}^{0}}\le \alpha \le {{180}^{0}} \right)\]</li></ul><h3>IV. Hai đường thẳng vuông góc</h3>1. Định nghĩaHai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \[{{90}^{0}}\] .Người ta kí hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là \[a\bot b\].2. Nhận xét<ul><li>Nếu \[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\] lần lượt là vec tơ chỉ phương của hai đường thẳng \[a,b\] thì \[a\bot b\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\]</li><li>$\left. \begin{array}{l} b//c\\ a \bot c \end{array} \right\} \Rightarrow a \bot b$</li><li>Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.</li></ul><h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Tính góc giữa hai đường thẳng \[{{d}_{1}};{{d}_{2}}\]Cách giải:<ul><li>Cách 1:</li><li>Xác định góc giữa hai đường thẳng \[{{d}_{1}};{{d}_{2}}\] bằng cách: Lấy \[M\in {{d}_{1}}\] , qua \[M\] kẻ đường thẳng \[\Delta //{{d}_{2}}\] . Khi đó, \[\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)=\left( {{d}_{1}};\Delta&nbsp; \right)\] .</li><li>Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giác để tính góc vừa xác định.</li><li>Cách 2:</li><li>Xác định \[\overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}}\] lần lượt là vecto chỉ phương của hai đường thẳng \[{{d}_{1}};{{d}_{2}}\] .</li><li>Khi đó, góc giữa hai đường thẳng được xác định bằng công thức: \[\cos \left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}\]</li></ul>Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc \[{{d}_{1}};{{d}_{2}}\]Cách giải:<ul><li>Cách 1: \[{{d}_{1}}\bot {{d}_{2}}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0\] ( với \[\overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}}\] lần lượt là vecto chỉ phương của hai đường thẳng \[{{d}_{1}};{{d}_{2}}\] )</li><li>Cách 2: Sử dụng định lí Pytago hoặc tính trực tiếp số đo góc đó.</li><li>Cách 3: Sử dụng tính chất $\left\{ \begin{array}{l} b//c\\ a \bot c \end{array} \right. \Rightarrow a \bot b$</li></ul>&nbsp;<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (SGK hình học 11 trang 97)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B02_BT_01_4db3b3589c.PNG?3329198.8099999726" alt="">a) \[\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{EG} \right)=\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right)={{45}^{0}}\] (Vì \[\Delta ABC\] vuông cân tại \[B\])b) \[\left( \overrightarrow{AF};\overrightarrow{EG} \right)=\left( \overrightarrow{AF};\overrightarrow{AC} \right)\]Ta có \[AC=AF=CF\Rightarrow \Delta ACF\] đều.\[\Rightarrow \left( \overrightarrow{AF};\overrightarrow{EG} \right)=\left( \overrightarrow{AF};\overrightarrow{AC} \right)={{60}^{0}}\]c) \[\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DH} \right)=\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AE} \right)={{90}^{0}}\]<h3>Bài 2. (SGK hình học 11 trang 97)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B02_BT_02_0557ba2787.PNG?3345919.484999962" alt="">a) Ta có:$\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} \\ = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} } \right)\overrightarrow {BC} \\ = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {BC} \\ = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {CD} .\left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BC} } \right)\\ = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow 0 + \overrightarrow {CD} .\overrightarrow 0 = 0 \end{array}$b) Ta có $\left\{ \begin{array}{l} AB \bot CD \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0\\ AC \bot DB \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0 \Rightarrow AD \bot BC$<h3>Bài 3. (SGK hình học 11 trang 97)</h3>a) \[a\] và \[b\] không song song với nhau.b) \[a\] không vuông góc với \[c\] .<h3>Bài 4. (SGK hình học 11 trang 98)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B02_BT_04_714ecb889e.PNG?334004.5149999787" alt="">a) Ta có \[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AB}\left( \overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AC} \right)=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\]\[=AB.AC'.\cos {{60}^{0}}-AB.AC.\cos {{60}^{0}}=0\] (vì \[AC'=AC\] )\[\Rightarrow AB\bot CC'\]b) Ta có $\left. \begin{array}{l} MN//PQ\left( {//AB} \right)\\ MN = PQ\left( { = \frac{{AB}}{2}} \right) \end{array} \right\} \Rightarrow MNPQ$ là hình bình hànhMặt khác,$\left. \begin{array}{l} MQ//CC'\\ MN//AB\\ AB \bot CC' \end{array} \right\} \Rightarrow MN \bot MQ \Rightarrow MNPQ$ là hình chữ nhật.<h3>Bài 5. (SGK hình học 11 trang 98)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B02_BT_05_1a4c55eee9.PNG?3301480.2999999956" alt="">Ta có\[\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}\left( \overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB} \right)\]$\begin{array}{l} = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} \\ = SA.SC.\cos \widehat {ASC} - SA.SB.\cos \widehat {ASB} = 0 \end{array}$\[\Rightarrow SA\bot BC\]Chứng minh tương tự ta có \[SB\bot AC,SC\bot AB\]<h3>Bài 6. (SGK hình học 11 trang 98)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B02_BT_06_5620a381e8.PNG?306285.64999997616" alt="">+, Ta có\[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OO'}=\overrightarrow{AB}\left( \overrightarrow{AO'}-\overrightarrow{AO} \right)\]$\begin{array}{l} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AO'} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AO} \\ = AB.AO'.\cos {45^0} - AB.AO.\cos {45^0} = 0\left( {AO' = AO} \right) \end{array}$\[\Rightarrow AB\bot OO'\]+, Ta có $\left. \begin{array}{l} CD//C'D'\left( {//AB} \right)\\ CD = C'D'\left( { = AB} \right) \end{array} \right\} \Rightarrow CDD'C'$ là hình bình hành.Mặt khác, \[DD'//OO'\] (tính chất đường trung bình trong \[\Delta BDD'\] )$\begin{array}{l} CD//AB\\ AB \bot OO' \end{array}$\[\Rightarrow CD\bot DD'\Rightarrow CDD'C'\] là hình chữ nhật.<h3>Bài 7. (SGK hình học 11 trang 98)</h3>Ta có \[S=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-{{\cos }^{2}}A}\]Vì \[\cos A=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|}\] nên\[\sqrt{1-{{\cos }^{2}}A}=\sqrt{1-\frac{{{\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)}^{2}}}{{{\left| \overrightarrow{AB} \right|}^{2}}.{{\left| \overrightarrow{AC} \right|}^{2}}}}=\sqrt{\frac{{{\left| \overrightarrow{AB} \right|}^{2}}.{{\left| \overrightarrow{AC} \right|}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)}^{2}}}{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}}}=\sqrt{\frac{{{\overrightarrow{AB}}^{2}}.{{\overrightarrow{AC}}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)}^{2}}}{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}}}\]\[\Rightarrow S=\frac{1}{2}AB.AC.\sqrt{\frac{{{\overrightarrow{AB}}^{2}}.{{\overrightarrow{AC}}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)}^{2}}}{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{\overrightarrow{AB}}^{2}}.{{\overrightarrow{AC}}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)}^{2}}}\]<h3>Bài 8. (SGK hình học 11 trang 98)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B02_BT_08_f166683a61.PNG?3400991.3700000034" alt="">a) Ta có\[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\left( \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC} \right)\]$\begin{array}{l} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = AB.AD.\cos {60^0} - AB.AC.\cos {60^0} = 0\left( {AD = AC} \right) \end{array}$\[\Rightarrow AB\bot CD\]b) Ta có $\begin{array}{l} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} \\ \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} \end{array}$$\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {DN} + \overrightarrow {CN} } \right)\\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) \end{array}$+, \[\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right).\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}-{{\overrightarrow{AB}}^{2}} \right)\]$\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\left( {AD.AB.\cos {{60}^0} + AC.AB.\cos {{60}^0} - A{B^2}} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {A{B^2} - A{B^2}} \right) = 0 \end{array}$\[\Rightarrow MN\bot AB\]+, \[\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right).\left( \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC} \right)=0\]Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa hai đường thẳng vuông góc hình học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng vuông góc (trang 93-98)

BÀI 5: PHÉP CHIẾU SONG SONG. HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN<h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Phép chiếu song song.</h3>Cho mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] và đường thẳng \[\Delta \] cắt \[\left( \alpha&nbsp; \right)\]. Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với \[\Delta \] sẽ cắt \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] tại điểm M’ xác định. Điểm M’ được gọi là hình chiếu của M trên mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] theo phương của đường thẳng Δ.<h3>2. Tính chất của phép chiếu song song.</h3><ul><li>Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.</li><li>Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.</li><li>Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.</li><li>Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.</li></ul><h3>3. Hình biểu diễn của một số hình không gian trên mặt phẳng.</h3><ul><li>Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một tam giác có dạng tùy ý cho trước (tam giác cân, đều, vuông…) .</li><li>Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình bình hành tùy ý cho trước ( hình bình hành, hình vuông ,hình thoi, hình chữ nhật,…)</li><li>Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình thang tùy ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài của hai cạnh đáy được bảo toàn.</li><li>Hình elip là hình biểu diễn của hình tròn.</li></ul><h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Vẽ hình biểu diễn của một hình cho trước.Cách giải:Xác định yếu tố bất biến trong hình vẽ như: các yếu tố song song, tỉ số đoạn thẳng,…Dạng 2. Các bài toán về tính tỉ số của hai đoạn thẳng và chứng minh ba điểm thẳng hàng.Cách giải:Để tính tỉ số \[\frac{MA}{MB}\] ta xét phép chiếu song song lên mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] theo phương \[\Delta \] không song song với \[AB\] sao cho ảnh của \[M,A,B\] là ba điểm \[M',A',B'\] mà từ đó ta tính được \[\frac{M'A'}{M'B'}\] .Từ đó suy ra \[\frac{MA}{MB}=\frac{M'A'}{M'B'}\] .Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa phép chiếu song song toán học 11, toán 11 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất

Phép chiếu song song.  Hình biểu diễn của một hình không gian

Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

<h2 style="text-align:center;">CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG II</h2><h2>GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Câu 1. (SGK Hình học 11 trang 77)</h3>Có 3 cách xác định mặt phẳng:<ul><li>Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.</li><li>Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.</li><li>Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.</li><li>Ngoài ra, từ định nghĩa của hai đường thẳng song song trong không gian ta còn có cách xác định: Hai đường thẳng song song xác định một mặt phẳng.</li></ul>Để kí hiệu mặt phẳng người ta thường dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hi Lạp đặt trong dấu ngoặc \[\left( {} \right)\] ví dụ như: \[\left( \alpha&nbsp; \right);\left( ABC \right);...\]<h3>Câu 2. (SGK Hình học 11 trang 77)</h3><ul><li>Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.</li><li>Đường thẳng song song với mặt phẳng nếu chúng không có điểm chung.</li><li>Hai mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.</li></ul><h3>Câu 3. (SGK Hình học 11 trang 77)</h3>Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt, tức là ba điểm đó cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng.<h3>Câu 4. (SGK Hình học 11 trang 77)</h3>Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ta chứng minh bằng hai cách:<ul><li>Chứng minh ba đường thẳng đó không đồng phẳng và đôi một cắt nhau.</li><li>Chứng minh ba đường thẳng đó là các giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau và chúng không song song.</li></ul><h3>Câu 5. (SGK Hình học 11 trang 77)</h3>Để chứng minh hai đường thẳng song song, ta sử dụng các định lí.<ul><li>Ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.</li><li>Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.</li><li>Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.</li><li>Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\]. Nếu mặt phẳng \[\left( \beta&nbsp; \right)\] chứa d và cắt \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] theo giao tuyến d’ thì d’ song song với d</li><li>Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.</li><li>Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho hai giao tuyến song song.</li><li>Sử dụng các phương pháp của hình học phẳng như: Tính chất đường trung bình, định lí Ta-lét đảo,…</li><li>Sử dụng tính chất về cạnh bên, cạnh đáy của hình lăng trụ.</li></ul>Để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, ta chứng minh:<ul><li>\[d//d';\,\,d'\subset \left( \alpha&nbsp; \right);\,\,d\not{\subset }\left( \alpha&nbsp; \right)\Rightarrow d//\left( \alpha&nbsp; \right)\]</li><li>\[\left( \alpha&nbsp; \right)//\left( \beta&nbsp; \right);\,\,d\subset \left( \alpha&nbsp; \right)\Rightarrow d//\left( \beta&nbsp; \right)\]</li></ul>Để chứng minh mặt phẳng song song với mặt phẳng, ta chứng minh:<ul><li>Mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với mặt phẳng kia.</li><li>Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba.</li></ul><h3>Câu 6. (SGK Hình học 11 trang 77)</h3>Định lí Ta – lét trong không gian:Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.<h3>Câu 7. (SGK Hình học 11 trang 77)</h3>Để dựng thiết diện tạo bởi một mặt phẳng với hình chóp, hình hộp, hình lăng trụ ta cần xác định các giao tuyến của mặt phẳng ấy với các mặt của hình chóp, hình hộp, hình lăng trụ<ul><li>Xác định giao điểm của mặt phẳng với các cạnh của hình chóp, hình hộp, hình lăng trụ.</li><li>Các đoạn thẳng nối các giao điểm đó chính là các cạnh của thiết diện.</li><li>Bên cạnh đó, ta có thể vận dụng các kiến thức về quan hệ song song để giúp cho việc xác định các giao tuyến được chính xác và nhanh gọn hơn.</li></ul><h2 style="text-align:center;">BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG II</h2><h3>Bài 1. (SGK Hình học 11 trang 77)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_Qhe_ss_B06_01_0525e9415a.PNG?23609.029999934137" alt="">a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( ACE \right);\left( BDF \right)\]Trong \[\left( ABCD \right)\] , gọi \[I=AC\cap BD\]$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} I \in AC \subset \left( {ACE} \right) \hfill \\ I \in BD \subset \left( {BDF} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} I \in \left( {ACE} \right) \hfill \\ I \in \left( {BDF} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow I \in \left( {ACE} \right) \cap \left( {BDF} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$Trong \[\left( ABEF \right)\] , gọi \[J=AE\cap BF\]$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} J \in AE \subset \left( {ACE} \right) \hfill \\ J \in BF \subset \left( {BDF} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} J \in \left( {ACE} \right) \hfill \\ J \in \left( {BDF} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow J \in \left( {ACE} \right) \cap \left( {BDF} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$Từ \[\left( 1 \right);\left( 2 \right)\Rightarrow \left( ACE \right)\cap \left( BDF \right)=IJ\]Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( BCE \right);\left( ADF \right)\]Trong \[\left( ABCD \right)\] , gọi \[H=AD\cap BC\]$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} H \in AD \subset \left( {BCE} \right) \hfill \\ H \in BC \subset \left( {ADF} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} H \in \left( {BCE} \right) \hfill \\ H \in \left( {ADF} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow H \in \left( {BCE} \right) \cap \left( {ADF} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$Trong \[\left( ABEF \right)\] , gọi \[K=AF\cap BE\]$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} K \in AF \subset \left( {BCE} \right) \hfill \\ K \in BE \subset \left( {ADF} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} K \in \left( {BCE} \right) \hfill \\ K \in \left( {ADF} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow K \in \left( {BCE} \right) \cap \left( {ADF} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)$Từ \[\left( 3 \right);\left( 4 \right)\Rightarrow \left( BCE \right)\cap \left( ADF \right)=HK\]b) Trong \[\left( AHK \right)\] , gọi \[N=AM\cap HK\]\[\Rightarrow N\in HK\subset \left( BCE \right)\Rightarrow N\in \left( BCE \right)\Rightarrow N=AM\cap \left( BCE \right)\]c) Giả sử AC và BF cắt nhau\[\Rightarrow AC;BF\] cùng nằm trong một mặt phẳng.\[\Rightarrow BF\subset \left( ABCD \right)\]Mà \[BF\subset \left( ABEF \right)\]\[\Rightarrow \left( ABCD \right)\equiv \left( ABEF \right)\] (trái giả thiết)\[\Rightarrow AC;BF\] không cắt nhau.<h3>Bài 2. (SGK Hình học 11 trang 77)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_Qhe_ss_B06_02_fd46612cf4.PNG?23606.89499997534" alt=""><ul><li>Trong \[\left( ABCD \right)\] , gọi \[H=NP\cap AB;K=NP\cap AD\]</li></ul>Trong \[\left( SAB \right)\] , gọi \[Q=MH\cap SB\]Trong \[\left( SAD \right)\] , gọi \[I=MK\cap SD\]\[\Rightarrow \left( MNP \right)\cap SA=M\]\[\left( MNP \right)\cap SB=Q\]\[\left( MNP \right)\cap \left( ABCD \right)=NP\]\[\left( MNP \right)\cap SD=I\]\[\Rightarrow \] Thiết diện của hình chóp cắt bởi \[\left( MNP \right)\] là \[MQNPI\] .<ul><li>Trong \[\left( ABCD \right)\] , gọi \[J=NP\cap AC\]</li></ul>$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} J \in NP \subset \left( {MNP} \right) \hfill \\ J \in AC \subset \left( {SAC} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} J \in \left( {MNP} \right) \hfill \\ J \in \left( {SAC} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} MJ \in \left( {MNP} \right) \hfill \\ MJ \in \left( {SAC} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$Trong \[\left( SAC \right)\] , gọi \[G=SO\cap MJ\]\[\Rightarrow G\in MJ\subset \left( MNP \right)\Rightarrow G\in \left( MNP \right)\Rightarrow G=SO\cap \left( MNP \right)\]<h3>Bài 3. (SGK Hình học 11 trang 77)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_Qhe_ss_B06_03_32761ca241.PNG?158471.07000020333" alt="">a) Ta có \[S\in \left( SAD \right)\cap \left( SBC \right)\]Trong \[\left( ABCD \right)\] , gọi \[E=AD\cap BC\]\[\Rightarrow E\in \left( SAD \right)\cap \left( SBC \right)\Rightarrow SE=\left( SAD \right)\cap \left( SBC \right)\]b) Trong \[\left( SBE \right)\] , gọi \[I=MN\cap SE\]Trong \[\left( SAE \right)\] , gọi \[J=AI\cap SD\]\[\Rightarrow J\in AI\subset \left( AMN \right)\Rightarrow J\in \left( AMN \right)\]Mà \[J\in SD\]\[\Rightarrow J=SD\cap \left( AMN \right)\]c) \[\left( AMN \right)\cap \left( SAB \right)=AM\]\[\left( AMN \right)\cap \left( SBC \right)=MN\]\[\left( AMN \right)\cap \left( SCD \right)=NJ\]\[\left( AMN \right)\cap \left( SDA \right)=AJ\]\[\Rightarrow \] Thiết diện của hình chóp cắt bởi \[\left( AMN \right)\] là \[AMNJ\] .<h3>Bài 4. (SGK Hình học 11 trang 78)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_Qhe_ss_B06_04_d8ce8e42b9.PNG?65443.965000100434" alt="">a) Ta có \[Ax//Dt\] (giải thiết)\[AB//CD\] (ABCD là hình bình hành)\[\Rightarrow \left( Ax;By \right)//\left( Cz;Dt \right)\]b) Ta có \[\left( A'B'C'D' \right)\cap \left( Ax;By \right)=A'B'\]\[\left( A'B'C'D' \right)\cap \left( Cz;Dt \right)=C'D'\]\[\left( Ax;By \right)//\left( Cz;Dt \right)\]\[\Rightarrow A'B'//C'D'\]Chứng minh tương tự \[A'D'//B'C'\]\[\Rightarrow A'B'C'D'\] là hình bình hành \[\Rightarrow J\] là trung điểm \[A'C'\]Mà \[I\] là trùng điểm \[AC\Rightarrow IJ//AA'\]c) Ta có \[IJ\] là đường trung bình của hình thang \[AA'C'C\Rightarrow 2IJ=AA'+CC'\]Chứng minh tương tự \[2IJ=BB'+DD'\]\[\Rightarrow BB'+DD'=AA'+CC'\Rightarrow DD'=a+c-b\]<h2 style="text-align:center;">CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG II</h2><figure class="table"><table style=";"><tbody><tr><td style="border:1px solid black;width:52px;">1</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;width:52px;">2</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;width:52px;">3</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;width:52px;">4</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;width:52px;">5</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;width:52px;">6</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;width:52px;">7</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;width:52px;">8</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;width:52px;">9</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;width:52px;">10</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;width:52px;">11</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;width:52px;">12</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:52px;">C</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:52px;">A</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:52px;">C</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:52px;">A</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:52px;">D</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:52px;">D</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:52px;">A</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:52px;">B</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:52px;">D</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:52px;">A</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:52px;">C</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:52px;">C</td></tr></tbody></table></figure>Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa ôn tập chương 2 hình học 11, toán 11 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất

Ôn tập chương II (hình học)

Ôn tập chương 2 (trang 77-80)

Chương III. Vecto trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gianBÀI 1: VECTO TRONG KHÔNG GIAN<h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>I. Định nghĩa và các phép toán về vectơ trong không gian</h3>1. Định nghĩa<ul><li>Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.</li><li>Kí hiệu \[\overrightarrow{AB}\] chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu là \[\vec{a},\vec{b},\vec{x},\vec{y},...\]</li><li>Các khái niệm liên quan đến vectơ (như giá của vectơ, độ dài vectơ,…) được định nghĩa tương tự như trong hình học phẳng.</li></ul>2. Các quy tắc về vectơ trong không gian<ul><li>Phép cộng và phép trừ hai vectơ trong không gian được định nghĩa tương tự như phép cộng và phép trừ hai vectơ trong mặt phẳng. Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất giống như phép cộng vectơ trong mặt phẳng. Khi thực hiện phép cộng vectơ trong không gian, ta vẫn có thể áp dụng các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như đối với vectơ trong hình học phẳng.</li></ul>– Quy tắc ba điểm: \[\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\] .&nbsp;– Quy tắc hình bình hành: \[\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\] (với ABCD là hình bình hành)&nbsp;– Quy tắc trung tuyến: \[\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right)\] (với AM là đường trung tuyến của \[\Delta ABC\] )&nbsp;– Quy tắc trọng tâm: \[\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\] (với G là trọng tâm của \[\Delta ABC\] )&nbsp;– Quy tắc hình hộp: \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}'}=\overrightarrow{A{C}'}\] (với \[ABCD.A'B'C'D'\] là hình hộp)<ul><li>Phép nhân vectơ với một số: Trong không gian, tích của vectơ \[\overrightarrow{a}\] với một số \[k\text{ }\ne 0\] là vectơ \[k\overrightarrow{a}\] được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng và có các tính chất giống như các tính chất đã được xét trong mặt phẳng.</li></ul><h3>II. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ</h3>Định nghĩa:Trong không gian, ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:– Định lí 1:Trong không gian, cho hai vectơ \[\vec{a},\vec{b}\] không cùng phương và vectơ \[\vec{c}\] . Khi đó ba vectơ \[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\] đồng phẳng khi và chi khi có cặp số \[m,n\] sao cho \[\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}\] . Ngoài ra cặp số \[m,n\] là duy nhất.– Định lí 2:Trong không gian, cho ba vectơ không đồng phẳng \[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\] . Khi đó với mọi vectơ \[\vec{x}\] ta đều tìm được một bộ ba số \[m,n,p\] sao cho \[\overrightarrow{x}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}\] . Ngoài ra bộ ba số \[m,n,p\] đó là duy nhất.<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Chứng minh đẳng thức vectơCách giải:Sử dụng các quy tắc ba điểm, hình bình hành, trung tuyến, trọng tâm, hình hộp,… để biến đổi vế này thành vế kia.Dạng 2. Chứng minh ba vectơ \[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\] đồng phẳng hoặc chứng minh bốn điểm \[A,B,C,D\] đồng phẳngCách giải:Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng ta có thể làm theo hai cách:<ul><li>Chứng minh giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng</li><li>Phân tích \[\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}\] với hai vectơ \[\vec{a},\vec{b}\] không cùng phương</li></ul>Để chứng minh bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng ta cần chứng minh ba vectơ chung gốc ( \[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}\] hoặc \[\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BD}\] ,…) đồng phẳngDạng 3. Tính độ dài của đoạn thẳng \[MN\]Cách giải:<ul><li>Phân tích \[\overrightarrow{MN}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}\]</li><li>Khi đó, \[MN=\left| \overrightarrow{MN} \right|=\sqrt{{{\left( \overrightarrow{MN} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c} \right)}^{2}}}\]</li></ul>Chú ý: \[{{\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)}^{2}}={{\left( \overrightarrow{a} \right)}^{2}}+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}.\cos \left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right)+{{\left( \overrightarrow{b} \right)}^{2}}={{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}.\cos \left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right)+{{\left| \overrightarrow{b} \right|}^{2}}\]Dạng 4. Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không gianCách giải:\[A,B,C,D\] đồng phẳng \[\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AC}+n\overrightarrow{AD}\]<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (SGK hình học 11 trang 91)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B01_BT_01_f6b718402b.PNG?201481.88999999547" alt="">a) Các vecto cùng phương với \[\overrightarrow{IA}\] là \[\overrightarrow{IA'};\overrightarrow{KB};\overrightarrow{KB'};\overrightarrow{LC};\overrightarrow{LC'};\overrightarrow{MD};\overrightarrow{MD'}\] .b) Các vecto cùng hướng với \[\overrightarrow{IA}\] là \[\overrightarrow{KB};\overrightarrow{LC};\overrightarrow{MD}\] .c) Các vecto ngược hướng với \[\overrightarrow{IA}\] là \[\overrightarrow{IA'};\overrightarrow{KB'};\overrightarrow{LC'};\overrightarrow{MD'}\] .<h3>Bài 2. (SGK hình học 11 trang 91)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B01_BT_02_bd5b4d52fa.PNG?44096.719999972265" alt="">a) \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AC'}\]b) \[\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{D'D}-\overrightarrow{B'D'}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DD'}+\overrightarrow{D'B'}=\overrightarrow{BB'}\]c) \[\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA'}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{C'D}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD'}+\overrightarrow{D'B'}+\overrightarrow{B'A}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}\]Bài 3. (SGK hình học 11 trang 91)<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B01_BT_03_3763387006.PNG?123760.93999994919" alt="">Gọi \[O=AC\cap BD\]Trong \[\Delta SAC\] ta có: \[2\overrightarrow{SO}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}\]Trong \[\Delta SBD\] ta có: \[2\overrightarrow{SO}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}\]\[\Rightarrow \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}\]<h3>Bài 4. (SGK hình học 11 trang 92)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B01_BT_04_c4aab8a25a.PNG?140785.0149999722" alt="">a) Ta có $\begin{array}{l} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} \\ \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} \end{array}$$\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {DN} + \overrightarrow {CN} } \right)\\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \\ \Leftrightarrow MN = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right) \end{array}$b) Ta có $\begin{array}{l} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} \\ \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DN} \end{array}$$\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \\ \Leftrightarrow MN = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) \end{array}$<h3>Bài 5. (SGK hình học 11 trang 92)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B01_BT_05_56970de9d0.PNG?24331.84999995865" alt="">a) Ta có \[\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\]\[\Leftrightarrow \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AD}\] (vì \[ABGC\] là hình bình hành)\[\Leftrightarrow E\] là đỉnh của hình bình hành \[ADEG\] .b) Ta có$\begin{array}{l} \overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {DA} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AF} = \overrightarrow {DG} \end{array}$\[\Leftrightarrow F\] là đỉnh của hình bình hành \[ADGF\] .Bài 6. (SGK hình học 11 trang 92)<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B01_BT_06_f0adcd0009.PNG?187085.80000000075" alt="">Ta có \[\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\]$\begin{array}{l} = \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GC} \\ = 3\overrightarrow {DG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) \end{array}$\[=3\overrightarrow{DG}\] (vì \[G\] là trọng tâm \[\Delta ABC\]<h3>Bài 7. (SGK hình học 11 trang 92)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B01_BT_07_9b13932457.PNG?154027.78499998385" alt="">a) \[\Delta AIC\] có \[M\] là trung điểm \[AC\Rightarrow 2\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}\]\[\Delta IBD\] có \[N\] là trung điểm \[BD\Rightarrow 2\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}\]$\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {IM} + 2\overrightarrow {IN} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {ID} \\ \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} } \right) = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {ID} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow 0 = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {ID} \end{array}$b) Ta có$\begin{array}{l} \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} + \overrightarrow {PD} \\ = \overrightarrow {PI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {PI} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {PI} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {PI} + \overrightarrow {ID} \\ = 4\overrightarrow {PI} \\ \Rightarrow \overrightarrow {PI} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} + \overrightarrow {PD} } \right) \end{array}$<h3>Bài 8. (SGK hình học 11 trang 92)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B01_BT_08_2a75630084.PNG?92528.11999997357" alt="">Ta có:+, \[\overrightarrow{B'C}=\overrightarrow{B'B}+\overrightarrow{B'C'}\]$\begin{array}{l} = - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BC} \\ = - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \\ = - \overrightarrow a + \overrightarrow c - \overrightarrow b \end{array}$+, \[\overrightarrow{BC'}=\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{BC}\]$\begin{array}{l} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \\ = \overrightarrow a + \overrightarrow c - \overrightarrow b \end{array}$<h3>Bài 9. (SGK hình học 11 trang 92)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B01_BT_09_819cce9ec5.PNG?109562.64999997802" alt="">Ta có: \[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{CN}\,\,\,\,\left( 1 \right)\]\[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}\Rightarrow 2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BN}\,\,\,\left( 2 \right)\]Cộng vế-vế của \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta được:\[\Rightarrow 3\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MS}+2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{SC}+2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CN}+2\overrightarrow{BN}\]$\begin{array}{l} = - 2\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {SC} + 2\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {BN} + 2\overrightarrow {BN} \\ = \overrightarrow {SC} + 2\overrightarrow {AB} \end{array}$\[\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\]\[\Rightarrow \overrightarrow{MN};\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AB}\] đồng phẳng.<h3>Bài 10. (SGK hình học 11 trang 92)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B01_BT_10_b6474a410b.PNG?173656.324999989" alt="">Ta có \[K\] là trung điểm \[AH\] (Vì \[ADHE\] là hình bình hành)\[I\] là trung điểm \[BH\] (Vì \[BDHF\] là hình bình hành)\[\Rightarrow KI\] là đường trung bình của \[\Delta HAB\Rightarrow KI//AB\]Mặt khác, $\left\{ \begin{array}{l} FG//BC \subset \left( {ABC} \right)\\ AC \subset \left( {ABC} \right) \end{array} \right.$\[\Rightarrow \overrightarrow{KI};\overrightarrow{FG};\overrightarrow{AC}\] có giá cùng song song với một mặt phẳng.\[\Rightarrow \overrightarrow{KI};\overrightarrow{FG};\overrightarrow{AC}\] đồng phẳng.Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa vecto trong không gian hình học 11, toán 11 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Vecto trong không gian

<h2 style="text-align:center;">BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3 style="text-align:justify;">1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng</h3>Cho đường thẳng a và mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] . Tùy theo số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C02_HH_B03_LT_02_A_a5470d1d6b.PNG?5357740.98500004"><ul><li style="text-align:justify;">Đường thẳng a và mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] không có điểm chung, tức là:</li></ul>\[a\cap \left( \alpha&nbsp; \right)=\varnothing \Leftrightarrow a//\left( \alpha&nbsp; \right)\].<ul><li style="text-align:justify;">Đường thẳng a và mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] chỉ có một điểm chung, tức là:</li></ul>\[a\cap \left( \alpha&nbsp; \right)=A\Leftrightarrow \] a cắt \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] tại A.<ul><li style="text-align:justify;">Đường thẳng a và mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] có hai điểm chung, tức là:</li></ul>\[a\cap \left( \alpha&nbsp; \right)=\left\{ A,B \right\}\Leftrightarrow a\subset \left( \alpha&nbsp; \right)\].<h3 style="text-align:justify;">2. Tính chất</h3><img src="data:image/png;base64,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" alt="Description: Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án">Định lí 1:Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] và d song song với một đường thẳng d’ nằm trong \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] thì d song song với \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] .Định lí 2:Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] . Nếu mặt phẳng \[\left( \beta&nbsp; \right)\] chứa a và cắt \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] theo giao tuyến b thì \[b//a\] .Hệ quả:Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.Định lí 3:Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng</h3>Cách giải:<ul><li>Cách 1: Chứng minh $\left\{ \begin{array}{l} d//\Delta \\ \Delta \subset \left( \alpha \right) \end{array} \right. \Rightarrow d//\left( \alpha \right)$</li><li>Cách 2: Chứng minh $\left\{ \begin{array}{l} \left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = d\\ \left( \beta \right) \cap \left( \alpha \right) = a\\ \left( \gamma \right) \cap \left( \alpha \right) = b\\ a//b \end{array} \right. \Rightarrow d//\left( \alpha \right)$</li></ul><h3>Dạng 2. Xác định thiết diện song song với đường thẳng</h3>Cách giải:Áp dụng tính chất $\left\{ \begin{array}{l} \left( \alpha \right)//d\\ d \subset \left( \beta \right)\\ M \in \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = d'//d,M \in d'$ để tìm giao tuyến của \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] với hình đa diện. Từ đó suy ra thiết diện cắt bởi mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] .<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (trang 63 SGK Hình học 11)</h3>a) Do các tứ giác \[ABCD\] và \[ABEF\] là các hình bình hành\[\Rightarrow O\] là trung điểm của \[AC;BD\]và \[O'\] là trung điểm của \[AE;BF\]. (tính chất hình bình hành).<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C02_HH_B03_BT_01_09ba321126.PNG?5283665.12000002">Xét \[\Delta BFD\] có \[OO\] là đường trung bình nên \[OO'//DF\]Mà \[DF\subset \left( ADF \right)\]\[\Rightarrow OO'//\left( ADF \right)\]Xét \[\Delta AEC\] có \[OO'\] là đường trung bình nên \[OO'//EC\]Mà \[EC\subset \left( BCE \right)\Rightarrow OO'//\left( BCE \right)\].b)<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C02_HH_B03_BT_01_B_19319ae3e1.PNG?5250651.635000017">Gọi I là trung điểm của \[AB\].Ta có M là trọng tâm \[\Delta ABD\]\[\Rightarrow \frac{IM}{ID}=\frac{1}{3}\].Lại có, \[N\] là trọng tâm \[\Delta ABE\]\[\Rightarrow \frac{IN}{IE}=\frac{1}{3}\].Xét \[\Delta IDE\] có \[\frac{IM}{ID}=\frac{IN}{IE}=\frac{1}{3}\]\[\Rightarrow MN//DE\] mà \[ED\subset \left( CEFD \right)\]\[\Rightarrow MN//\left( CEFD \right)\] hay \[MN//\left( CEF \right)\].<h3>Bài 2. (trang 63 SGK Hình học 11)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C02_HH_B03_BT_02_e47d153864.PNG?5226050.610000035">a) Vì \[\left( \alpha&nbsp; \right)//AC\] nên \[\left( \alpha&nbsp; \right)\cap \left( ABC \right)=d//AC\]Mà \[M\in \left( ABC \right)\cap \left( \alpha&nbsp; \right)\].\[\Rightarrow d\] là đường thẳng qua M, song song với AC và cắt BC tại N.Chứng minh tương tự ta có:\[\left( \alpha&nbsp; \right)\cap \left( ABD \right)=MQ\] là đường thẳng qua M song song với \[BD(Q\in AD)\].\[\left( \alpha&nbsp; \right)\cap \left( BCD \right)=NP\] là đường thẳng qua N song song với \[BD(P\in CD)\].\[\left( \alpha&nbsp; \right)\cap \left( ACD \right)=QP\].b)Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} \left( {MNPQ} \right) \cap \left( {ACD} \right) = PQ\\ AC//\left( {MNPQ} \right)\\ AC \subset \left( {ACD} \right) \end{array} \right. \Rightarrow PQ//AC$\[\Rightarrow \] Tứ giác \[MNPQ\] có các cạnh đối song song với nhau\[\Rightarrow \] Tứ giác \[MNPQ\] là hình bình hành.<h3>Bài 3. (trang 63 SGK Hình học 11)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C02_HH_B03_BT_03_986b8ff35a.PNG?5265674.965000013">+ Ta có: \[\left( \alpha&nbsp; \right)//AB\]\[\Rightarrow \] giao tuyến \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] và \[\left( ABCD \right)\] là đường thẳng qua \[O\] và song song với \[AB\].Qua O kẻ \[MN//AB\,\,\left( M\in BC,N\in AD \right)\]\[\Rightarrow \left( \alpha&nbsp; \right)\cap \left( ABCD \right)=MN\].Ta có \[\left( \alpha&nbsp; \right)//SC\]\[\Rightarrow \] giao tuyến của \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] và \[\left( SBC \right)\] là đường thẳng qua M và song song với \[SC\].Qua M kẻ \[MQ//SC\,\,\left( Q\in SB \right)\]\[\Rightarrow \left( \alpha&nbsp; \right)\cap \left( SBC \right)=MQ\]Ta có \[\left( \alpha&nbsp; \right)//AB\]\[\Rightarrow \] giao tuyến của \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] và \[\left( SAB \right)\] là đường thẳng qua Q và song song với \[AB\].Qua Q kẻ \[QP//AB\,\,\left( P\in SA \right)\]\[\Rightarrow \left( \alpha&nbsp; \right)\cap \left( SAD \right)=PN\].Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] là tứ giác \[MNPQ\].Ta có: \[PQ//AB\] và \[NM//AB\]\[\Rightarrow PQ//NM\]Do đó, tứ giác \[MNPQ\] là hình thang.Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa đường thẳng và mặt phẳng song song toán học 11, toán 11 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song

Đường thẳng và mặt phẳng song song

Hai mặt phẳng song song

Ôn tập chương I

Bài 9

Ôn tập chương 1

<h2 style="text-align:center;">BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3 style="text-align:justify;">I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt</h3>Cho hai đường thẳng a và b. Khi đó, ta có các trường hợp sau:TH1: Có một mặt phẳng chứa a và b. Khi đó, ta nói a và b đồng phẳng.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C01_HH_B02_LT_01_5869c6c406.PNG?50511.52000000002"><ul><li style="text-align:justify;">a và b có điểm chung duy nhất M. Ta nói a và b cắt nhau tại M. Kí hiệu: \[a\cap b=\left\{ M \right\}\] hoặc \[a\cap b=M\] .</li><li style="text-align:justify;">a và b không có điểm chung. Ta nói a và b song song với nhau. Kí hiệu: \[a//b\] .</li><li style="text-align:justify;">a trùng b. Kí hiệu: \[a\equiv b\]</li></ul>Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.${\rm{a}}//{\rm{b}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{a}} \subset \left( P \right);{\rm{b}} \subset \left( P \right)}\\ {{\rm{a}} \cap {\rm{b}} = \emptyset } \end{array}} \right.$TH2: Không có mặt phẳng nào chứa a và b. Khi đó, ta nói a và b chéo nhau hay a chéo b.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C01_HH_B02_LT_02_853fa24da0.PNG?76311.20999995619"><h3 style="text-align:justify;">II. Tính chất</h3>Định lí 1:Trong không gian, qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.Định lí 2 (về giao tuyến của hai mặt phẳng):Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.Hệ quả:Nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.Định lí 3:Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Chứng minh hai đường thẳng song song Cách giải:</h3>Ta có thể chứng minh \[a//b\] bằng các cách sau:<ul><li>Chứng minh a, b đồng phẳng rồi sử dụng các phương pháp chứng minh trong hình học phẳng.</li><li>Chứng minh $\left. \begin{array}{l} a//c\\ b//c \end{array} \right\} \Rightarrow a//b$</li><li>Áp dụng định lí về giao tuyến của hai mặt phẳng.</li><li style="text-align:justify;">Áp dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.</li></ul><h3>Dạng 2. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng bằng quan hệ song song</h3>Cách giải:Nếu hai mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right);\left( \beta&nbsp; \right)\] có điểm chung M và lần lượt chứa hai đường thẳng song song \[d\] và \[d'\] thì giao tuyến của \[\left( \alpha&nbsp; \right);\left( \beta&nbsp; \right)\] là đường thẳng qua M và song song với \[d\] và \[d'\].<h3>Dạng 3. Chứng minh bốn điểm đồng phẳng và ba đường thẳng đồng quy</h3>Cách giải:Để chứng minh 4 điểm \[A,B,C,D\] đồng phẳng, ta cần:<ul><li>Xác định đường thẳng \[a,b\] lần lượt đi qua hai trong 4 điểm.</li><li>Chứng minh \[a,b\] song song hoặc cắt nhau. Khi đó, 4 điểm \[A,B,C,D\] đồng phẳng.</li></ul>Để chưng minh ba đường thẳng đồng quy, ta áp dụng định lí về giao tuyến của hai mặt phẳng.<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (trang 59 SGK Hình học 11)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C01_HH_B02_BT_01_509c2a4831.PNG?114395.62999998452">Gọi \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] là mặt phẳng đi qua bốn điểm \[P,Q,R,S\].a) Ta có:\[PQ=\left( \alpha&nbsp; \right)\cap \left( ABC \right)\]\[RS=\left( \alpha&nbsp; \right)\cap \left( ACD \right)\]\[AC=\left( ABC \right)\cap \left( ACD \right)\]Vậy \[PQ,RS,AC\] hoặc đồng quy hoặc song song.b) Ta có:\[PS=\left( ABD \right)\cap \left( \alpha&nbsp; \right)\]\[RQ=\left( BCD \right)\cap \left( \alpha&nbsp; \right)\]\[BD=\left( ABD \right)\cap \left( CBD \right)\]Vậy \[PS,RQ,BD\] đồng quy hoặc song song.<h3>Bài 2. (trang 59 SGK Hình học 11)</h3>a) \[PR//AC\]<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C01_HH_B02_BT_02_80d00747bd.PNG?148091.00999997463">Ta có:\[\left( PQR \right)\cap \left( ABC \right)=PR\]\[\left( ABC \right)\cap \left( ACD \right)=AC\]\[\left( PQR \right)\cap \left( ACD \right)=d\]\[PR//AC\]\[\Rightarrow d//PR//AC\]Mặt khác, \[Q\in CD\subset \left( ACD \right)\Rightarrow Q\in \left( ACD \right)\]\[Q\in \left( PQR \right)\]\[\Rightarrow Q\in \left( PQR \right)\cap (\left( ACD \right)\Rightarrow Q\in d\]Trong \[\left( ACD \right)\] , qua \[Q\] kẻ đường thẳng \[d//AC\] cắt \[AD\] tại \[S\].\[\Rightarrow S=AD\cap \left( PQR \right)\]b)<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C01_HH_B02_BT_02_B_218ddbce23.PNG?94039.80500000762">Gọi \[I=PR\cap AC\]Ta có:\[\left( PQR \right)\cap \left( ABC \right)=PR\]\[\left( ABC \right)\cap \left( ACD \right)=AC\]\[\left( PQR \right)\cap \left( ACD \right)=d\]\[I=PR\cap AC\]\[\Rightarrow d;PR;AC\] đồng quy tại \[I\]Mặt khác, \[Q\in CD\subset \left( ACD \right)\Rightarrow Q\in \left( ACD \right)\]\[Q\in \left( PQR \right)\]\[\Rightarrow Q\in \left( PQR \right)\cap (\left( ACD \right)\Rightarrow Q\in d\]Trong \[\left( ACD \right)\] , kéo dài \[IQ\] cắt \[AD\] tại \[S\].\[\Rightarrow S=AD\cap \left( PQR \right)\]<h3>Bài 3. (trang 60 SGK Hình học 11)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C01_HH_B02_BT_03_4942ef2c9a.PNG?129563.83999995887" alt="Description: Giải bài tập Đại số 11 | Để học tốt Toán 11">a) Ta có: \[G\in MN\subset \left( ABN \right)\]\[\Rightarrow G\in \left( ABN \right)\]\[\Rightarrow AG\subset \left( ABN \right)\].Trong \[\left( ABN \right)\], gọi \[A'=AG\cap BN\].$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A' \in BN \subset \left( {BCD} \right) \Rightarrow A' \in \left( {BCD} \right)\\ A' \in AG \end{array} \right.$\[\Rightarrow A'=AG\cap \left( BCD \right)\].b) Ta có \[Mx//AA'\subset \left( ABN \right);M\in \left( ABN \right)\]\[\Rightarrow Mx\subset \left( ABN \right)\].\[M'=Mx\cap \left( BCD \right)\]\[\Rightarrow M'\] thuộc giao tuyến của \[\left( ABN \right)\] và \[\left( BCD \right)\] chính là đường thẳng \[BN\].\[\Rightarrow B;M';A'\] thẳng hàng.\[\Delta \text{ABA}'\] có:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{MM}}'//{\rm{AA}}'}\\ {{\rm{MA}} = {\rm{MB}}} \end{array} \Rightarrow {\rm{M}}'{\rm{A}}' = {\rm{M}}'{\rm{B}}} \right.$\[\Delta \text{MM}'\text{N}\] có$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{GA}}'//{\rm{MM}}'}\\ {{\rm{MG}} = {\rm{GN}}} \end{array} \Rightarrow {\rm{M}}'{\rm{A}}' = {\rm{A}}'{\rm{N}}} \right. \Rightarrow {\rm{BM}}' = {\rm{M}}'{\rm{A}}' = {\rm{A}}'{\rm{N}}$c) Áp dụng chứng minh câu b ta có:\[\Delta MM'N\] có: \[MM'=2GA'\]\[\Delta BAA'\] có: \[AA'=2MM'\]\[\Rightarrow AA'=4GA'\]\[\Rightarrow GA=3GA'\].Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song toán học 11, toán 11 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

<h2 style="text-align:center;">BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>I. Góc giữa hai mặt phẳng.</h3>1. Định nghĩaGóc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] và \[\left( \beta&nbsp; \right)\]&nbsp;<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B04_D01_be2175e46f.PNG?487872.3999999929" alt="">- Tìm giao tuyến \[c\] của \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] và \[\left( \beta&nbsp; \right)\]- Tìm hai đường thẳng \[a,b\] lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với \[c\] tại một điểm \[I\]&nbsp;- Khi đó góc giữa \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] và \[\left( \beta&nbsp; \right)\] chính là góc giữa \[a\] và \[b\]&nbsp;3. Diện tích hình chiếu của một đa giácCho đa giác \[H\subset \left( \alpha&nbsp; \right)\] có diện tích \[S\] và \[H'\] là hình chiếu vuông góc của \[H\] trên \[\left( \beta&nbsp; \right)\] . Khi đó, diện tích \[S'\] của đa giác \[H\] được tính bằng công thức:\[S'=S\cos \varphi \] với \[\varphi \] là góc giữa \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] và \[\left( \beta&nbsp; \right)\]<h3>II. Hai mặt phẳng vuông góc</h3>1. Định nghĩaHai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông. Kí hiệu \[\left( \alpha&nbsp; \right)\bot \left( \beta&nbsp; \right)\]&nbsp;2. Các định líĐịnh lí 1:Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.Hệ quả 1:Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.Hệ quả 2:Cho hai mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right);\left( \beta&nbsp; \right)\] vuông góc với nhau. Nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] ta dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \[\left( \beta&nbsp; \right)\] thì đường thẳng này nằm trong mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] .Định lí 2:Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.<h3>III. Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương</h3>1. Định nghĩaHình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với các mặt đáy. Độ dài cạnh bên được gọi là chiều cao của hình lăng trụ đứng.<ul><li>Hình lăng trụ đứng có đáy là n – giác thì được gọi là hình lăng trụ đứng n – giác.</li><li>Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều được gọi là hình lăng trụ đều.</li><li>Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng.</li><li>Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật.</li><li>Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên đều là hình vuông được gọi là hình lập phương.</li></ul>2. Nhận xétCác mặt bên của hình lăng trụ đứng luôn luôn vuông góc với mặt phẳng đáy và là những hình chữ nhật.<h3>IV. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều</h3>1. Hình chóp đều<ul><li>Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu nó có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.</li><li>Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.</li><li>Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.</li></ul>2. Hình chóp cụt đềuPhần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một thiết diện song song với đáy cắt các cạnh bên của hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều.<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Tính góc giữa hai mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] và \[\left( \beta&nbsp; \right)\]&nbsp;</h3>Cách giải:<ul><li style="text-align:justify;">Cách 1: Xác định góc của hai mặt phẳng cắt nhau \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] và \[\left( \beta&nbsp; \right)\] . Sau đó,vận dụng các kiến thức về hệ thức lượng, định lí Pytago,… để tính góc.</li><li style="text-align:justify;">Cách 2: Sử dụng công thức \[S'=S\cos \varphi \]</li><li style="text-align:justify;">Cách 3: Nếu \[\overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}}\] lần lượt là hai vec tơ pháp tuyến của \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] và \[\left( \beta&nbsp; \right)\] thì \[\cos \varphi =\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}\,\,\,\,\left( \varphi =\left( \left( \alpha&nbsp; \right),\left( \beta&nbsp; \right) \right) \right)\]</li></ul><h3>Dạng 2. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc</h3>Cách giải:<ul><li style="text-align:justify;">Cách 1: Tính trực tiếp số đo \[\varphi =\left( \left( \alpha&nbsp; \right),\left( \beta&nbsp; \right) \right)={{90}^{0}}\]</li><li style="text-align:justify;">Cách 2: Chứng minh $\left. \begin{array}{l} a \subset \left( \alpha \right)\\ a \bot \left( \beta \right) \end{array} \right\} \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)$</li><li style="text-align:justify;">Cách 3: Nếu \[\overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}}\] lần lượt là hai vec tơ pháp tuyến của \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] và \[\left( \beta&nbsp; \right)\] thì \[\left( \alpha&nbsp; \right)\bot \left( \beta&nbsp; \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}}=0\]</li></ul><h3>Dạng 3. Ứng dụng công thức hình chiếu tính diện tích thiết diện.</h3>Cách giải:Vận dụng công thức \[S'=S\cos \varphi \] và các kiến thức về hệ thức lượng, định lí Pytago,… để tính diện tích.<h3>Dạng 4. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng</h3>Cách giải:<ul><li style="text-align:justify;">Cách 1: Chứng minh $\left. \begin{array}{l} \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\\ \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = b\\ a \subset \left( \alpha \right)\\ a \bot b \end{array} \right\} \Rightarrow a \bot \left( \beta \right)$</li><li style="text-align:justify;">Cách 2: Chứng minh $\left. \begin{array}{l} a = \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right)\\ \left( \alpha \right) \bot \left( \gamma \right)\\ \left( \beta \right) \bot \left( \gamma \right) \end{array} \right\} \Rightarrow a \bot \left( \gamma \right)$</li></ul><h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (SGK hình học 11 trang 113)</h3>a) Đúngb) Sai<h3>Bài 2. (SGK hình học 11 trang 113)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B04_BT_02_0e0d77fdfd.PNG?300356.305000023" alt="">Ta có $\left. \begin{array}{l} \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\\ \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = \Delta \\ AC \bot \Delta \\ AC \subset \left( \alpha \right) \end{array} \right\} \Rightarrow AC \bot \left( \beta \right) \Rightarrow AC \bot AD\left( {AD \subset \left( \beta \right)} \right)$\[\Rightarrow \Delta ACD\] vuông tại A.\[\Rightarrow C{{D}^{2}}=A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}\] (định lí Pytago)Mặt khác, \[AB\bot BD\left( BD\bot \Delta&nbsp; \right)\Rightarrow \Delta ABD\] vuông tại B.\[\Rightarrow A{{D}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{D}^{2}}\] (định lí Pytago)\[\Rightarrow C{{D}^{2}}=A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}+B{{D}^{2}}=676\left( cm \right)\Rightarrow CD=26\left( cm \right)\]<h3>Bài 3. (SGK hình học 11 trang 113)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B04_BT_03_3e207703da.PNG?926155.2299999166" alt="">Ta có $\begin{array}{l} \left( {ABC} \right) \cap \left( {DBC} \right) = BC\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ AB \subset \left( {ABC} \right),AB \bot BC\,\,\left( 2 \right) \end{array}$Mặt khác, \[BC\bot AD\left( AD\bot \left( \alpha&nbsp; \right) \right)\]\[BC\bot AB\] ( \[\Delta ABC\] vuông tại B)\[\Rightarrow BC\bot \left( DAB \right)\Rightarrow BC\bot DB\,\,\left( 3 \right)\]Từ \[\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\Rightarrow \] Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( ABC \right),\left( DBC \right)\] là góc giữa hai đường thẳng AB và DB hay là góc \[\widehat{ABD}\] .b) Ta có \[BC\bot \left( ABD \right),BC\subset \left( DBC \right)\]\[\Rightarrow \left( ABD \right)\bot \left( DBC \right)\]c) Ta có \[\left( P \right)\equiv \left( AHK \right)\]\[DB\bot \left( AHK \right)\Rightarrow DB\bot HK\]Mà \[DB\bot BC\left( BC\bot \left( ABD \right) \right)\]\[\Rightarrow HK//BC\]<h3>Bài 4. (SGK hình học 11 trang 114)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B04_BT_04_1_41083c1917.PNG?850291.5550000034" alt=""><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B04_BT_04_2_43930c305b.PNG?1039931.6499999259" alt="">+, \[\Delta =\left( \alpha&nbsp; \right)\cap \left( \beta&nbsp; \right)\]\[\Rightarrow \] Qua M có duy nhất một mặt phẳng \[\left( P \right)\bot \Delta \]\[\Rightarrow \] $\left\{ \begin{array}{l} \left( P \right) \bot \left( \alpha \right)\\ \left( P \right) \bot \left( \beta \right) \end{array} \right. \Rightarrow $Qua M có duy nhất một mặt phẳng \[\left( P \right)\] vuông góc với \[\left( \alpha&nbsp; \right),\left( \beta&nbsp; \right)\]+, \[\left( \alpha&nbsp; \right)//\left( \beta&nbsp; \right)\]Gọi \[d\] là đường thẳng qua M và vuông góc với \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] \[\Rightarrow d\bot \left( \beta&nbsp; \right)\]\[\Rightarrow \] Mọi mặt phẳng chứa \[d\] đều vuông góc với \[\left( \alpha&nbsp; \right),\left( \beta&nbsp; \right)\]Vậy khi \[\left( \alpha&nbsp; \right)//\left( \beta&nbsp; \right)\] có vô số mặt phẳng \[\left( P \right)\] qua \[M\] và vuông góc với \[\left( \alpha&nbsp; \right),\left( \beta&nbsp; \right)\] .<h3>Bài 5. (SGK hình học 11 trang 114)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B04_BT_05_a2f9365f19.PNG?637403.7150000222" alt="">a) Ta có $\left. \begin{array}{l} A'D' \bot A'B'\\ A'D' \bot AA' \end{array} \right\} \Rightarrow A'D' \bot \left( {ABB'A'} \right)$\[\Rightarrow A'D'\bot A'B\Rightarrow A'B\bot B'C'\]Mà \[AB'\bot A'B\] (vì \[ABB'A'\] là hình vuông)\[\Rightarrow A'B\bot \left( ADC'B' \right)\Rightarrow \left( BCD'A' \right)\bot \left( ADC'B' \right)\]b) Ta có $\left. \begin{array}{l} BD \bot AC\\ BD \bot AA' \end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow BD \bot AC'\,\,\,\left( 1 \right)$Mặt khác, \[AB\bot \left( ADD'A' \right)\Rightarrow AB\bot A'D\]Mà \[AD'\bot A'D\Rightarrow A'D\bot \left( ABC'D' \right)\Rightarrow A'D\bot AC'\,\,\,\,\left( 2 \right)\]Từ \[\left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow AC'\bot \left( A'BD \right)\]<h3>Bài 6. (SGK hình học 11 trang 114)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B04_BT_06_57ecd2341b.PNG?415059.4849999761" alt="">a) Gọi \[O=AC\cap BD\Rightarrow O\] là trung điểm của \[AC,BD\] .\[\Delta SAC\] cân tại \[S\left( SA=SC \right)\Rightarrow SO\bot AC\]\[ABCD\] là hình thoi \[\Rightarrow BD\bot AC\]\[\Rightarrow AC\bot \left( SBD \right)\Rightarrow \left( ABCD \right)\bot \left( SBD \right)\]b) Ta có \[\Delta SAC=\Delta BAC\left( c.c.c \right)\Rightarrow SO=BO\]Mà \[BO=\frac{1}{2}BD\Rightarrow SO=\frac{1}{2}BD\]\[\Rightarrow \Delta SBD\] vuông tại \[S\] .<h3>Bài 7. (SGK hình học 11 trang 114)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B04_BT_07_357177ae13.PNG?704055.0449999282" alt="">a) Ta có $\left. \begin{array}{l} AD \bot AB\\ AD \bot AA' \end{array} \right\} \Rightarrow AD \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow \left( {ADC'B'} \right) \bot \left( {ABB'A'} \right)$b) \[\Delta ABC\] vuông tại \[B\Rightarrow A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\]\[\Delta ACC'\] vuông tại \[C\Rightarrow C'{{A}^{2}}=A{{C}^{2}}+C'{{C}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\]\[\Rightarrow AC'=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\]<h3>Bài 8. (SGK hình học 11 trang 114)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B04_BT_08_b2c1fe2edd.PNG?961188.2949999999" alt="">\[\Delta ABC\] vuông tại \[B\Rightarrow A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=2{{a}^{2}}\]\[\Delta ACC'\] vuông tại \[C\Rightarrow C'{{A}^{2}}=A{{C}^{2}}+C'{{C}^{2}}=2{{a}^{2}}+{{a}^{2}}=3{{a}^{2}}\]\[\Rightarrow AC'=a\sqrt{3}\]<h3>Bài 9. (SGK hình học 11 trang 114)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B04_BT_09_ffdada484c.PNG?1096749.6999999275" alt="">Hình chóp tam giác đều \[SABC\] có \[SH\] là đường cao.\[\Rightarrow H\] là trực tâm \[\Delta ABC\] và \[SH\bot \left( ABC \right)\]$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AH \bot BC\\ SH \bot BC \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BC \bot SA$Chứng mình tương tự \[AC\bot SB\] .<h3>Bài 10. (SGK hình học 11 trang 114)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B04_BT_10_416cba187a.PNG?748952.1950000199" alt="">a) \[SABCD\] là hình chóp tứ giác đều\[\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SO\bot AC\]Trong \[\Delta ABC\] có: \[AO=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\]Trong \[\Delta SOA\] có: \[S{{O}^{2}}=S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}={{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}=\frac{{{a}^{2}}}{2}\]\[\Rightarrow SO=\frac{a\sqrt{2}}{2}\]b) \[BD\bot AC\] ( \[ABCD\] là hình vuông)\[BD\bot SO\left( SO\bot \left( ABCD \right) \right)\]\[\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow \left( MBD \right)\bot \left( SAC \right)\]c) \[\Delta SOC\] vuông cân tại \[O,OM\] là đương trung tuyến\[\Rightarrow OM=\frac{1}{2}SC=\frac{a}{2}\]Ta có \[\left( MBD \right)\cap \left( ABCD \right)=BD\,\,\,\,\left( 1 \right)\]\[AC\bot BD\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\]\[\Delta SCD=\Delta SCB\left( c.c.c \right)\Rightarrow DM=BM\]\[\Rightarrow \Delta DBM\] cân tại \[M\Rightarrow MO\bot BD\,\,\,\,\left( 3 \right)\]Từ \[\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\Rightarrow \left( \left( MBD \right);\left( ABCD \right) \right)=\left( MO;AC \right)\]\[\Delta SOC\] vuông cân tại \[O\Rightarrow OM\] là phân giác \[\widehat{SOC}\]\[\Rightarrow \widehat{MOC}={{45}^{0}}=\left( MO;AC \right)\] hay \[\left( \left( MBD \right);\left( ABCD \right) \right)={{45}^{0}}\]<h3>Bài 11. (SGK hình học 11 trang 114)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B04_BT_11_7177c0ac61.PNG?798210.9299999429" alt="">a) Ta có \[SC\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SC\bot BD\]Mà \[AC\bot BD\] (vì \[ABCD\] là hình thoi)\[\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow \left( SBD \right)\bot \left( SAC \right)\]b) Ta có \[\Delta SCA\sim \Delta IKA\left( g.g \right)\]\[\Rightarrow \frac{SC}{IK}=\frac{SA}{IA}\Rightarrow IK=\frac{SC.IA}{SA}\]\[\Delta ABD\] cân tại \[A\] có \[\widehat{A}={{60}^{0}}\Rightarrow \Delta ABD\] đều cạnh bằng \[a\] .\[\Rightarrow AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AC=a\sqrt{3}\]\[\Delta SCA\] vuông tại \[C\Rightarrow S{{A}^{2}}=S{{C}^{2}}+A{{C}^{2}}\Rightarrow SA=\frac{3a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow IK=\frac{a}{2}\]c) Ta có \[\Delta BKD\] có \[KI\] là đường trung tuyến, \[KI=\frac{1}{2}BD\]\[\Rightarrow \Delta BKD\] vuông tại \[K\Rightarrow \widehat{BKD}={{90}^{0}}\]Mặt khác, $\left. \begin{array}{l} SA \bot IK\\ SA \bot BD\left( {BD \bot \left( {SAC} \right)} \right) \end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot \left( {BKD} \right)$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} SA \bot BK\\ SA \bot DK \end{array} \right.$Mà $\left. \begin{array}{l} SA = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right)\\ \widehat {BKD} = {90^0} \end{array} \right\} \Rightarrow \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SAD} \right)} \right) = \left( {BK;DK} \right) = {90^0}$\[\Rightarrow \left( SAD \right)\bot \left( SAB \right)\]Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa hai mặt phẳng vuông góc hình học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất

Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng vuông góc

<h2 style="text-align:center;">BÀI 5: KHOẢNG CÁCH</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng</h3>Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:Cho điểm \[O\] và đường thẳng \[a\] . Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[O\] trên a. Khi đó, \[d\left( O;a \right)=OH\] .Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:Cho điểm \[O\] và mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] . Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[O\] trên \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] . Khi đó, \[d\left( O;\left( \alpha&nbsp; \right) \right)=OH\] .<h3>2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song</h3><ul><li>Cho \[a//\left( \alpha&nbsp; \right)\]. Khoảng cách giữa đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] là khoảng cách từ một điểm bất kì của \[a\] đến \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] .</li><li>Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.</li></ul><h3>3. Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau</h3>Định nghĩa:<ul><li>Đường thẳng \[\Delta \] cắt hai đường thẳng chéo nhau a và b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b.</li><li>Nếu đường vuông góc chung \[\Delta \] cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.</li></ul>Cách xác định đường vuông góc chung:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B05_D01_d3ca2bc0c1.PNG?2442326.924999943" alt=""><ul><li>Xác định mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] chứa đường thẳng \[a\] và song song với đường thẳng \[b\]&nbsp;</li><li>Xác định \[b'\] là hình chiếu của \[b\] trên \[\left( \alpha&nbsp; \right)\]</li><li>Gọi \[M=a\cap b'\] và \[\left( \beta&nbsp; \right)\] là mặt phẳng đi qua điểm \[M\] và chứa đường thẳng \[b\] .</li></ul>Trong mặt phẳng \[\left( \beta&nbsp; \right)\] , kẻ \[MN\bot b\left( N\in b \right)\] .<ul><li>Khi đó, \[MN\] là đoạn vuông góc chung \[a\] và \[b\] hay \[d\left( a,b \right)=MN\]&nbsp;</li></ul>Nhận xét:<ul><li>Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.</li><li>Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.</li></ul><h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng</h3>Cách giải:<ul><li>Cách 1:</li></ul>+, Kẻ \[MH\bot \Delta \left( H\in \Delta&nbsp; \right)\]&nbsp;+, Khi đó, \[d\left( M;\Delta&nbsp; \right)=MH\]&nbsp;<ul><li>Cách 2:</li></ul>+, Giả sử \[MN\cap \Delta =I\] . Khi đó, \[\frac{d\left( M;\Delta&nbsp; \right)}{d\left( N;\Delta&nbsp; \right)}=\frac{MI}{NI}=k\]&nbsp;+, Ta có \[d\left( M;\Delta&nbsp; \right)=k.d\left( N;\Delta&nbsp; \right)\]&nbsp;<h3>Dạng 2. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng</h3>Cách giải:<ul><li>Cách 1:</li></ul><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B05_D02_15e5953b45.PNG?2349570.0949999737" alt="">+, Xác định mặt phẳng \[\left( \beta&nbsp; \right)\] chứa \[M\] và vuông góc với \[\left( \alpha&nbsp; \right)\]&nbsp;theo giao tuyến là đường thẳng \[\Delta \]&nbsp;+, Kẻ \[MH\bot \Delta \left( H\in \Delta&nbsp; \right)\]&nbsp;+, Khi đó, \[d\left( M;\left( \alpha&nbsp; \right) \right)=MH\]&nbsp;<ul><li>Cách 2:</li></ul><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B05_D03_809127e2f9.PNG?2179932.924999972" alt="">+, Kẻ \[\Delta \] qua \[M\] và song song với \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] . Khi đó, \[d\left( M;\left( \alpha&nbsp; \right) \right)=d\left( \Delta ;\left( \alpha&nbsp; \right) \right)\]&nbsp;+, Chọn \[N\in \Delta \] khi đó \[d\left( M;\left( \alpha&nbsp; \right) \right)=d\left( \Delta ;\left( \alpha&nbsp; \right) \right)=d\left( N;\left( \alpha&nbsp; \right) \right)\]&nbsp;&nbsp;<ul><li>Cách 3:</li></ul><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B05_D04_a7a5b4c66f.PNG?1974482.1099999826" alt="">+, Giả sử \[MN\cap \left( \alpha&nbsp; \right)=I\] . Khi đó, \[\frac{d\left( M;\left( \alpha&nbsp; \right) \right)}{d\left( N;\left( \alpha&nbsp; \right) \right)}=\frac{MI}{NI}=k\]&nbsp;+, Ta có \[d\left( M;\left( \alpha&nbsp; \right) \right)=k.d\left( N;\left( \alpha&nbsp; \right) \right)\]&nbsp;<h3>Dạng 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau</h3>Cách giải:<ul><li>Cách 1: Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \[a\] và $b$ thông qua khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng.</li></ul><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B05_D05_b38dcf7cfb.PNG?2029973.559999955" alt="">+, Xác định mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] chứa đường thẳng \[b\] và song song với \[a\] .+, Khi đó, \[d\left( a,b \right)=d\left( a,\left( \alpha&nbsp; \right) \right)=d\left( M,\left( \alpha&nbsp; \right) \right)=MH\]&nbsp;<ul><li>Cách 2: Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \[a\] và \[b\] .</li></ul>Cách xác định 1.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B05_D06_166e907f22.PNG?1614861.1800000072" alt="">+, Xác định mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] vuông góc với đường thẳng \[a\] tại \[H\]&nbsp;+, Xác định \[b'\] là hình chiếu của \[b\] trên $\left( \alpha \right)$+, Trong mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] , kẻ \[HK\bot b'\left( K\in b' \right);KN//a\left( N\in a \right);NM//KH\left( M\in a \right)\]&nbsp;+, Khi đó, \[MN\] là đoạn vuông góc chung của \[a\] và \[b\] hay \[d\left( a,b \right)=MN\]&nbsp;Cách xác định 2.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B05_D07_6394dff96e.PNG?1916372.0399999293" alt="">+, Xác định mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] chứa đường thẳng \[a\] và song song với đường thẳng \[b\]&nbsp;+, Xác định \[b'\] là hình chiếu của \[b\] trên \[\left( \alpha&nbsp; \right)\]+, Gọi \[M=a\cap b'\] và \[\left( \beta&nbsp; \right)\] là mặt phẳng đi qua điểm \[M\] và chứa đường thẳng \[b\] .Trong mặt phẳng \[\left( \beta&nbsp; \right)\] , kẻ \[MN\bot b\left( N\in b \right)\] .+, Khi đó, \[MN\] là đoạn vuông góc chung \[a\] và \[b\] hay \[d\left( a,b \right)=MN\]&nbsp;<ul><li>Cách 3. Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \[a\] và \[b\] thông qua khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song</li></ul><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B05_D08_535a665690.PNG?1691562.350000022" alt="">+, Xác định hai mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] và \[\left( \beta&nbsp; \right)\] song song với nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] .+, Khi đó, \[d\left( a,b \right)=d\left( \left( \alpha &nbsp;\right),\left( \beta&nbsp; \right) \right)\]&nbsp;<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (SGK hình học 12 trang 119)</h3>a) Saib) Đúngc) Đúngd) Saie) Sai<h3>Bài 2. (SGK hình học 12 trang 119)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B05_BT_02_c80269eaa7.PNG?1759217.244999949" alt="">a) Gọi \[E=AH\cap BC\]Ta có $\left. \begin{array}{l} AE \bot BC\\ SA \bot BC\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right) \end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BC \bot SE$\[\Rightarrow K\in SE\Rightarrow AH,SK,BC\] đồng quy.b) Gọi \[D=BK\cap SC,F=BH\cap AC\]Ta có $\left. \begin{array}{l} AE \bot BC\\ SA \bot BC\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right) \end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BC \bot SE$Mà \[BD\bot SC\Rightarrow SC\bot \left( BDF \right)\] hay \[SC\bot \left( BHK \right)\]Vì \[BC\bot \left( SAE \right)\] nên \[BC\bot HK\]\[SC\bot \left( BHK \right)\] nên \[SC\bot HK\]\[\Rightarrow HK\bot \left( SBC \right)\]c) Ta có$\left. \begin{array}{l} AE \bot BC\\ AE \bot SA \end{array} \right\} \Rightarrow AE$ là đường vuông góc chung của SA và BC<h3>Bài 3. (SGK hình học 12 trang 119)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B05_BT_03_e213e0ae6f.PNG?2087600.9949999861" alt="">Ta có \[AB\bot \left( BCC'B' \right)\Rightarrow AB\bot BC'\]\[\Rightarrow \Delta ABC'\] vuông tại \[B\]Chứng minh tương tự ta có các tam giác vuông \[C'CA;ADC';AA'C;C'B'A;C'D'A\] .\[\Rightarrow \Delta ABC'=\Delta C'CA=\Delta ADC'=\Delta AA'C=\Delta C'B'A=\Delta C'D'A\left( c.g.c \right)\]\[\Rightarrow \] Các chiều cao tương ứng của các tam giác là bằng nhau.\[\Rightarrow \] Khoảng cách từ các điểm \[B,C,D,A',B',D'\] đến đường chéo \[AC'\] là bằng nhau.Trong \[\left( ABC' \right)\] , kẻ \[BK\bot AC'\left( K\in AC' \right)\]Xét tam giác vuông \[ABC'\] có \[\frac{1}{B{{K}^{2}}}=\frac{1}{B{{A}^{2}}}+\frac{1}{C'{{B}^{2}}}=\frac{1}{B{{A}^{2}}}+\frac{1}{B'{{B}^{2}}+B'C{{'}^{2}}}=\frac{3}{2{{a}^{2}}}\]\[\Rightarrow BK=\frac{a\sqrt{6}}{3}\]<h3>Bài 4. (SGK hình học 12 trang 119)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B05_BT_04_82568a42cf.PNG?1832740.7499999972" alt="">a) Trong \[\left( ABCD \right)\] , kẻ \[BH\bot AC\left( H\in AC \right)\]Ta có \[AA'\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow AA'\bot BH\Rightarrow BH\bot \left( ACC'A' \right)\]\[\Rightarrow d\left( B;\left( ACC'A' \right) \right)=BH\]\[\Delta ABC\] vuông tại B \[\Rightarrow \frac{1}{B{{H}^{2}}}=\frac{1}{B{{A}^{2}}}+\frac{1}{B{{C}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}\Rightarrow BH=\frac{ab}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\]b) Ta có $\left. \begin{array}{l} AC' \subset \left( {ACC'A'} \right)\\ BB'//\left( {ACC'A'} \right) \end{array} \right\}$\[\Rightarrow d\left( BB';AC' \right)=d\left( BB';\left( ACC'A' \right) \right)=d\left( B;\left( ACC'A' \right) \right)=BH=\frac{ab}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\]<h3>Bài 5. (SGK hình học 12 trang 119)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B05_BT_05_0e0d5ba50e.PNG?1796023.2299999334" alt="">a) Ta có \[CD\bot \left( BCC'B' \right)\Rightarrow CD\bot BC'\]Mà \[B'C\bot BC'\Rightarrow BC'\bot \left( DCB' \right)\Rightarrow BC'\bot B'D\,\,\,\left( 1 \right)\]Mặt khác, $\left. \begin{array}{l} A'C' \bot B'D'\\ A'C' \bot BB' \end{array} \right\} \Rightarrow A'C' \bot \left( {BB'D'D} \right) \Rightarrow A'C' \bot B'D\,\,\,\left( 2 \right)$Từ \[\left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow B'D\bot \left( BA'C' \right)\]b) Ta có \[\left( BA'C' \right)//\left( D'AC \right)\Rightarrow B'D//\left( D'AC \right)\]Gọi \[O=AC\cap BD;H=B'D\cap D'O\]\[O'=A'C'\cap B'D';G=B'D\cap BO'\]\[\Rightarrow HG=d\left( \left( BA'C' \right);\left( D'AC \right) \right)\]Mặt khác, \[BOD'O'\] là hình bình hành (do \[BO=D'O';BO//D'O'\] )\[\Rightarrow O'G//D'H\Rightarrow \frac{B'O'}{B'D'}=\frac{B'G}{B'H}=\frac{1}{2}\] (định lí Ta-let trong \[\Delta B'HD'\] )\[\Rightarrow HG=B'G\,\,\,\,\left( 3 \right)\]Chứng minh tương tự ta có \[HG=DH\,\,\,\left( 4 \right)\]Từ \[\left( 3 \right),\left( 4 \right)\Rightarrow DH=HG=GB'=\frac{1}{3}B'D\]Ta có \[B'D=\sqrt{D'{{D}^{2}}+D'B{{'}^{2}}}=\sqrt{D'{{D}^{2}}+A'D{{'}^{2}}+A'B{{'}^{2}}}=a\sqrt{3}\]\[\Rightarrow HG=\frac{a\sqrt{3}}{3}\]c) Ta có $\left. \begin{array}{l} BC' \subset \left( {BA'C'} \right)\\ CD' \subset \left( {ACD'} \right)\\ \left( {BA'C'} \right)//\left( {ACD'} \right) \end{array} \right\} \Rightarrow d\left( {BC';CD'} \right) = d\left( {\left( {BA'C'} \right);\left( {ACD'} \right)} \right) = HG = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$<h3>Bài 6. (SGK hình học 12 trang 119)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B05_BT_06_6ef9e65d1b.PNG?2279105.804999941" alt="">Gọi \[I,J\] lần lượt là trung điểm \[AB,CD\] .Ta có \[IJ\bot AB;IJ\bot CD\] .Kẻ đường thẳng \[d\] qua \[I\] và song song với CD.Trên d lấy E, F sao cho \[IE=IF=\frac{CD}{2}\] .Ta có \[IJ\bot CD\]Mà \[EF//CD\Rightarrow IJ\bot EF\]Mà \[IJ\bot AB\Rightarrow IJ\bot \left( AEBF \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)\]Mặt khác, \[CDFE\] là hình bình hành (do \[CD//EF;CD=EF\] )\[\Rightarrow CE//DF//IJ\] (do \[IJ\] là đường trung bình của hình bình hành) \[\left( 2 \right)\]Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} CE \bot \left( {AEBF} \right)\\ DF \bot \left( {AEBF} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} CE \bot BE\\ DF \bot AF \end{array} \right. \Rightarrow \widehat {BEC} = \widehat {DFA} = {90^0}$Ta có \[\Delta AIF=\Delta BIE\left( c.g.c \right)\Rightarrow AF=BE\]Xét hai tam giác vuông \[DFA\] và \[CEB\] ta có:$\left. \begin{array}{l} AF = BE\\ DF = CE \end{array} \right\} \Rightarrow \Delta DFA = \Delta CEB \Rightarrow AD = BC$Chứng minh tương tự ta có \[AC=BD\] .<h3>Bài 7. (SGK hình học 12 trang 120)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B05_BT_07_b8a207210a.PNG?2123005.3899999475" alt="">Gọi \[H\] là hình chiếu của S trên \[\left( ABC \right)\] .Vì \[SABC\] là hình chóp tam giác đều nên H là trọng tâm \[\Delta ABC\] .\[\Rightarrow d\left( S;\left( ABC \right) \right)=SH\]Gọi M là trung điểm AB.\[\Delta ABC\] đều cạnh bằng \[3a\Rightarrow CM=\frac{3a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow CH=\frac{2}{3}CM=a\sqrt{3}\]\[\Delta SHC\] vuông tại H có:\[S{{H}^{2}}=S{{C}^{2}}-C{{H}^{2}}={{a}^{2}}\Rightarrow SH=a\] hay \[d\left( S;\left( ABC \right) \right)=a\]<h3>Bài 8. (SGK hình học 12 trang 120)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B05_BT_08_90c841a307.PNG?1868184.1649999842" alt="">Gọi \[M,N\] lần lượt là trung điểm \[AD,BC\] .\[\Delta ABC=\Delta DBC\left( c.c.c \right)\Rightarrow AN=DN\] (đường trung tuyến ứng với cạnh tương ứng)\[\Rightarrow \Delta AND\] cân tại \[N\Rightarrow MN\bot AD\]Chứng minh tương tự ta có \[MN\bot BC\]\[\Rightarrow d\left( AD;BC \right)=MN\]\[\Delta ABC\] đều cạnh bằng \[a\Rightarrow AN=\frac{a\sqrt{3}}{2}\]\[\Delta ANM\] vuông tại M có:\[M{{N}^{2}}=A{{N}^{2}}-A{{M}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow MN=\frac{a\sqrt{2}}{2}\] hay \[d\left( AD;BC \right)=\frac{a\sqrt{2}}{2}\]Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa khoảng cách hình học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất

Khoảng cách

Ôn tập chương III (hình học)

<h2 style="text-align:center;">BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>I. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng</h3>Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong \[\left( \alpha&nbsp; \right)\].Khi đó ta còn nói \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] vuông góc với d và kí hiệu \[d\bot \left( \alpha&nbsp; \right)\] hoặc \[\left( \alpha&nbsp; \right)\bot d\].<h3>II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng</h3>Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.<h3>III. Tính chất</h3><ul><li>Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.</li><li>Mặt phẳng đi qua trung điểm \[I\] của đoạn thẳng \[AB\] và vuông góc với đường thẳng \[AB\] là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \[AB\] .</li><li>Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.</li></ul><h3>IV. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng</h3>Tính chất 1:<ul><li>Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.</li><li>Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.</li></ul>Tính chất 2:<ul><li>Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.</li><li>Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.</li></ul>Tính chất 3:<ul><li>Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (α) thì cũng vuông góc với</li><li>Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.</li></ul><h3>V. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc</h3>1. Phép chiếu vuông góc<ul><li>Cho đường thẳng \[\Delta \] vuông góc với mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] . Phép chiếu song song theo phương \[\Delta \] lên mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] .</li><li>Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng có đầy đủ tính chất của phép chiếu song song.</li></ul>2. Định lí ba đường vuông gócCho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] và b là đường thẳng không thuộc \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] đồng thời không vuông góc với \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] . Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] . Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳngĐịnh nghĩa:Cho đường thẳng d và mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] .<ul><li>Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] bằng \[{{90}^{0}}\] .</li><li>Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] thì góc giữa d và hình chiếu d’ của nó trên \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] được gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] .</li></ul>Chú ý: Nếu \[\varphi =\left( d,\left( \alpha&nbsp; \right) \right)\] thì \[{{0}^{0}}\le \varphi \le {{90}^{0}}\] .<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Xác định các khẳng định đúng, sai.Cách giải:Nắm vững lí thuyết về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng từ đó xác định được tính đúng/sai của khẳng định.Dạng 2. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳngCách giải:Muốn chứng minh \[a\bot \left( \alpha&nbsp; \right)\] người ta thường dùng một trong hai cách sau đây :<ul><li>Cách 1: Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] .</li><li>Cách 2: Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b mà b vuông góc với \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] .</li></ul>Dạng 3. Chứng minh hai đường thẳng vuông gócCách giải:Muốn chứng minh \[a\bot b\] người ta thường dùng một trong hai cách sau đây :<ul><li>Cách 1: Chứng minh đường thẳng a vuông góc mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] với \[b\subset \left( \alpha&nbsp; \right)\]</li><li>Cách 2: Sử dụng định lí ba đường vuông góc.</li></ul>Dạng 4. Tính góc gữa đường thẳng và mặt phẳngCách giải:<ul><li>Bước 1: Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng</li><li>Bước 2: Sử dụng hệ thức lượng, định lí sin, cosin,…</li></ul><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B03_D01_81b5383183.PNG?5923641.944999982" alt="">Chú ý:<ul><li style="text-align:justify;">Cho đường thẳng \[d\] và mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\]</li><li style="text-align:justify;">Nếu đường thẳng \[d\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng \[d\] và mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] bằng \[{{90}^{0}}\] .</li><li style="text-align:justify;">Nếu đường thẳng \[d\] không vuông góc với mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] thì góc giữa đường thẳng \[d\] và hình chiếu \[d'\] của nó trên \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] gọi là góc giữa đường thẳng \[d\] và mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] .</li><li style="text-align:justify;">Để xác định góc giữa \[d\] và \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] , ta làm như sau:</li><li style="text-align:justify;">Xác định giao điểm O của \[d\] và \[\left( \alpha&nbsp; \right)\]</li><li style="text-align:justify;">Lấy một điểm \[A\] trên \[d\] ( \[A\] khác \[O\] ). Xác định hình chiếu vuông góc \[H\] của \[A\] lên \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] . Lúc đó \[\left( d,\left( \alpha&nbsp; \right) \right)=\left( d,{{d}^{\prime }} \right)=\widehat{AOH}.\]</li><li style="text-align:justify;">Nếu \[\alpha \] là góc giữa đường thẳng \[d\] và mặt phẳng \[\left( \alpha&nbsp; \right)\] thì ta luôn có \[{{0}^{0}}\le \alpha \le {{90}^{0}}\] .</li></ul><h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (SGK hình học 11 trang 104)</h3>a, Đúngb, Saic, Said, Sai<h3>Bài 2. (SGK hình học 11 trang 104)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B03_BT_02_02688b9b51.PNG?6134476.9099999685" alt="">a) Ta có \[BC\bot AI\] ( \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] )\[BC\bot DI\] ( \[\Delta BCD\] cân tại \[D\] )\[\Rightarrow BC\bot \left( ADI \right)\]b) Ta có $\left. \begin{array}{l} AH \subset \left( {ADI} \right)\\ BC \bot \left( {ADI} \right) \end{array} \right\} \Rightarrow AH \bot BC$Mặt khác, \[AH\bot DI\] (Vì AH là đường cao của \[\Delta ADI\] )\[\Rightarrow AH\bot \left( BCD \right)\]<h3>Bài 3. (SGK hình học 11 trang 104)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B03_BT_03_7962006232.PNG?5835818.154999986" alt="">a) Ta có \[SO\bot AC\] ( \[\Delta SAC\] cân tại \[S\] có O là trung điểm AC)\[SO\bot BD\] ( \[\Delta SBD\] cân tại \[S\] có O là trung điểm BD)\[\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)\]b) Ta có \[AC\bot BD\] ( \[ABCD\] là hình thoi)\[SO\bot AC\]\[\Rightarrow AC\bot \left( SBD \right)\]Chứng minh tương tự ta có \[BD\bot \left( SAC \right)\]<h3>Bài 4. (SGK hình học 11 trang 105)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B03_BT_04_4c1664d4d7.PNG?6172650.689999981" alt="">a) Gọi \[E=AH\cap BC\]Ta có \[OH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow OH\bot BC\] (vì \[BC\subset \left( ABC \right)\] ) (1)Mặt khác, $\left. \begin{array}{l} OA \bot OB\\ OA \bot OC \end{array} \right\} \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right)$\[\Rightarrow OA\bot BC\] (vì \[BC\subset \left( OBC \right)\] ) (2)Từ (1) và (2) \[\Rightarrow BC\bot \left( OAE \right)\Rightarrow BC\bot AE\]Chứng minh tương tự ta có \[\Rightarrow CH\bot AB\]\[\Rightarrow H\] là trực tâm \[\Delta ABC\]b) \[\Delta OAE\] vuông tại O có OH là đường cao\[\Rightarrow \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{E}^{2}}}\]\[\Delta OBC\] vuông tại O có OE là đường cao\[\Rightarrow \frac{1}{O{{E}^{2}}}=\frac{1}{O{{B}^{2}}}+\frac{1}{O{{C}^{2}}}\]\[\Rightarrow \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}+\frac{1}{O{{C}^{2}}}\]&nbsp;<h3>Bài 5. (SGK hình học 11 trang 105)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B03_BT_05_d7da85b5cd.PNG?6069889.859999996" alt="">a) Ta có \[SO\bot AC\] ( \[\Delta SAC\] cân tại \[S\] có O là trung điểm AC)\[SO\bot BD\] ( \[\Delta SBD\] cân tại \[S\] có O là trung điểm BD)\[\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SO\bot \left( \alpha&nbsp; \right)\]b) Ta có \[AB\bot SO\] (Vì \[SO\bot \left( ABCD \right)\] )\[AB\bot SH\]\[\Rightarrow AB\bot \left( SOH \right)\]<h3>Bài 6. (SGK hình học 11 trang 105)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B03_BT_06_5d5ed3142c.PNG?5798613.439999986" alt="">a) Ta có \[BD\bot SA\] (vì \[SA\bot \left( ABCD \right);BD\subset \left( ABCD \right)\] )\[BD\bot AC\] ( \[ABCD\] là hình thoi)\[\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot SC\left( SC\subset \left( SAC \right) \right)\]b) Ta có \[\frac{SI}{SB}=\frac{SK}{SD}\Rightarrow IK//BD\] (định lí Talet đảo)Mà \[BD\bot \left( SAC \right)\]\[\Rightarrow IK\bot \left( SAC \right)\]<h3>Bài 7. (SGK hình học 11 trang 105)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B03_BT_07_6b1ce87d6d.PNG?6047372.639999958" alt="">a) Ta có \[BC\bot SA\] (vì \[SA\bot \left( ABC \right);BC\subset \left( ABC \right)\] )\[BC\bot AB\] ( \[\Delta ABC\] vuông tại B)\[\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\]Ta có $\left. \begin{array}{l} AM \bot SB\\ AM \bot BC\left( {BC \bot \left( {SAB} \right)} \right) \end{array} \right\} \Rightarrow AM \bot \left( {SBC} \right)$b) Ta có \[BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB\]Mà \[\frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SC}\Rightarrow BC//MN\] (định lí Talet đảo)\[\Rightarrow MN\bot SB\]Mặt khác, \[AM\bot SB\]\[\Rightarrow SB\bot \left( AMN \right)\Rightarrow SB\bot AN\]<h3>Bài 8. (SGK hình học 11 trang 105)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_B03_BT_08_32b9055583.PNG?6086099.24499999" alt="">a) Giả sử SN là một đường xiên khác SM.Ta có \[AM=SN\]$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta SHM = \Delta SHN\\ \Leftrightarrow HM = HN \end{array}$b) Trong tam giác vuông SHM có: \[S{{M}^{2}}=S{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}\]Trong tam giác vuông SHN có: \[S{{N}^{2}}=S{{H}^{2}}+H{{N}^{2}}\]<ul><li>Chiều \[\left[ \Rightarrow&nbsp; \right]\] : Nếu \[SN&gt;SM\] thì \[HN&gt;HM\]</li></ul>Ta có \[SN&gt;SM\Leftrightarrow S{{H}^{2}}+H{{N}^{2}}&gt;S{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}\Leftrightarrow HN&gt;HM\]<ul><li>Chiều \[\left[ \Leftarrow&nbsp; \right]\] : Nếu \[HN&gt;HM\] thì \[SN&gt;SM\]</li></ul>Ta có \[HN&gt;HM\]$\begin{array}{l} \Leftrightarrow H{N^2} &gt; H{M^2}\\ \Leftrightarrow S{N^2} - S{H^2} &gt; S{M^2} - S{H^2}\\ \Leftrightarrow S{N^2} &gt; S{M^2}\\ \Leftrightarrow SN &gt; SM \end{array}$&nbsp;Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa hai đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất

Bài 3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

<h2 style="text-align:center;">BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM</h2><h2>GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (SGK hình học 11 trang 125)&nbsp;</h3>a)&nbsp;${T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{A'}} = 3\\ {y_{A'}} = 2 \end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {3;2} \right)$Tương tự&nbsp; $${{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( B \right)=B'\Rightarrow B'\left( 2;4 \right)$$&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; $${{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( C \right)=C'\Rightarrow C'\left( 4;5 \right)$$b) Đ$_{Ox}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{A'}} = 1\\ {y_{A'}} = - 1 \end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {1; - 1} \right)$Tương tự Đ$$_{Ox}\left( B \right)=B'\Rightarrow B'\left( 0;-3 \right)$$&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Đ$$_{Ox}\left( C \right)=C'\Rightarrow C'\left( 2;-4 \right)$$c) Đ$$_{I}\left( A \right)=A'\Leftrightarrow \overrightarrow{IA'}=-\overrightarrow{IA}\Rightarrow A'\left( 3;1 \right)$$Tương tự Đ$$_{I}\left( B \right)=B'\Rightarrow B'\left( 4;-1 \right)$$&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Đ$$_{I}\left( C \right)=C'\Rightarrow C'\left( 2;-2 \right)$$d)&nbsp;${Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{A'}} = - {y_A} = - 1\\ {y_{A'}} = {x_A} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 1;1} \right)$Tương tự $${{Q}_{\left( O;{{90}^{0}} \right)}}\left( B \right)=B'\Rightarrow B'\left( -3;0 \right)$$&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; $${{Q}_{\left( O;{{90}^{0}} \right)}}\left( C \right)=C'\Rightarrow C'\left( -4;2 \right)$$e) $$A\xrightarrow{{{D}_{Oy}}}{{A}_{1}}\xrightarrow{{{V}_{\left( O;-2 \right)}}}{{A}_{2}}$$Đ$_{Oy}\left( A \right) = {A_1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{{A_1}}} = - {x_A} = - 1\\ {y_{{A_1}}} = {y_A} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow {A_1}\left( { - 1;1} \right)$${V_{\left( {O; - 2} \right)}}\left( {{A_1}} \right) = {A_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{{A_2}}} = k{x_{{A_1}}} = 2\\ {y_{{A_2}}} = k{x_{{A_1}}} = - 2 \end{array} \right. \Rightarrow {A_2}\left( {2; - 2} \right)$Tương tự $$B\xrightarrow{{{D}_{Oy}}}{{B}_{1}}\left( 0;3 \right)\xrightarrow{{{V}_{\left( O;-2 \right)}}}{{B}_{2}}\left( 0;-6 \right)$$&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; $$C\xrightarrow{{{D}_{Oy}}}{{C}_{1}}\left( -2;4 \right)\xrightarrow{{{V}_{\left( O;-2 \right)}}}{{C}_{2}}\left( 4;-8 \right)$$<h3>Bài 2. (SGK hình học 11 trang 125)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_OTCN_BT_02_Copy_a12f39c700.PNG?29957775.874999993" alt="">a) Ta có G là trọng tâm $$\Delta ABC$$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {GA'} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {GA} \\ \overrightarrow {GB'} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {GB} \\ \overrightarrow {GC'} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {GC} \end{array} \right. \Rightarrow {F_{\left( {G; - \frac{1}{2}} \right)}}$ biến $$A;B;C$$ tương ứng thành $$A';B';C'\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$$b) A’ là trung điểm BC$$\Rightarrow OA'\bot BC$$Mà $$B'C'//BC\Rightarrow OA'\bot B'C'$$Tương tự $$\Rightarrow OB'\bot A'C'$$$$\Rightarrow O$$ là trực tâm của $$\Delta A'B'C'\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$$Mà $$H$$là trực tâm của $$\Delta ABC\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$$Từ $$\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\Rightarrow {{F}_{\left( G;-\frac{1}{2} \right)}}\left( H \right)=O\Rightarrow \overrightarrow{GO}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GH}$$$$\Rightarrow O;G;H$$ thẳng hàng.c) Gọi $$O'={{F}_{\left( G;-\frac{1}{2} \right)}}\left( O \right)\Rightarrow \overrightarrow{GO'}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GO}$$Mà $$\overrightarrow{GO}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GH}\Rightarrow \overrightarrow{OG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{GH}$$Cộng vế - vế ta có \[\overrightarrow{OO'}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{GH}-\overrightarrow{GO} \right)=\frac{1}{2}\overrightarrow{OH}\]$$\Rightarrow O'$$ là trung điểm $$OH$$.d) Ta có $$A'';B'';C''$$ lần lượt là trung điểm $$AH;BH;CH$$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {HA''} = \frac{1}{2}\overrightarrow {HA} \\ \overrightarrow {HB''} = \frac{1}{2}\overrightarrow {HB} \\ \overrightarrow {HC''} = \frac{1}{2}\overrightarrow {HC} \end{array} \right. \Rightarrow {V_{\left( {H;\frac{1}{2}} \right)}}$ biến $$A;B;C$$ tương ứng thành $$A'';B'';C''$$Ta có $$\widehat{CB{{A}_{1}}}=\widehat{{{A}_{1}}AC}$$ (cùng chắn cung $$\overset\frown{{{A}_{1}}C}$$)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; $$\widehat{CB{{B}_{1}}}=\widehat{{{A}_{1}}AC}$$ (cùng phụ&nbsp; $$\widehat{ACB}$$)\[\Rightarrow \widehat{CB{{A}_{1}}}=\widehat{CB{{B}_{1}}}\Rightarrow BC\] là phân giác của \[\widehat{HB{{A}_{1}}}\]Mà $$BC$$ là đường cao của $$\Delta HB{{A}_{1}}$$$$\Rightarrow \Delta HB{{A}_{1}}$$ cân tại B.$$\Rightarrow {{A}_{1}}$$ là trung điểm $$H{{A}_{1}}$$Chứng minh tương tự ta có $${{B}_{1}};{{C}_{1}}$$ lần lượt là trung điểm $$H{{B}_{1}};H{{C}_{1}}$$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {H{A_1}'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {H{A_1}} \\ \overrightarrow {H{B_1}'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {H{B_1}} \\ \overrightarrow {H{C_1}'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {H{C_1}} \end{array} \right. \Rightarrow {V_{\left( {H;\frac{1}{2}} \right)}}$ biến $${{A}_{1}};{{B}_{1}};{{C}_{1}}$$ tương ứng thành $${{A}_{1}}';{{B}_{1}}';{{C}_{1}}'$$e) Gọi $${{A}_{2}};{{B}_{2}};{{C}_{2}}$$ lần lượt là các điểm đối xứng với $$A;B;C$$ qua tâm $$O$$.Ta có $$\widehat{BC{{A}_{2}}}=\widehat{{{A}_{1}}AC}$$ (cùng phụ&nbsp; $$\widehat{ACB}$$)Mà $$\widehat{CB{{B}_{1}}}=\widehat{{{A}_{1}}AC}$$ (chứng minh ý d)\[\Rightarrow \widehat{BC{{A}_{2}}}=\widehat{CB{{B}_{1}}}\Rightarrow BH//C{{A}_{2}}\]Mặt khác, \[\widehat{CB{{A}_{2}}}=\widehat{BC{{C}_{1}}}\](cùng phụ&nbsp; $$\widehat{ABC}$$)$$\Rightarrow HC//B{{A}_{2}}$$$$\Rightarrow BHC{{A}_{2}}$$ là hình bình hành.Mà $$A'$$ là trung điểm của $$BC\Rightarrow A'$$ là trung điểm của $$H{{A}_{2}}$$Chứng minh tương tự ta có $$B';C'$$ lần lượt là trung điểm của $$H{{B}_{2}};H{{C}_{2}}$$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {HA'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {H{A_2}} \\ \overrightarrow {HB'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {H{B_2}} \\ \overrightarrow {HC'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {H{C_2}} \end{array} \right. \Rightarrow {V_{\left( {H;\frac{1}{2}} \right)}}$ biến $${{A}_{2}};{{B}_{2}};{{C}_{2}}$$ tương ứng thành $$A';B';C'$$$$\Rightarrow A';B';C';A'';B'';C'';{{A}_{1}}';{{B}_{1}}';{{C}_{1}}'$$ lần lượt là ảnh của ${{A}_{2}};{{B}_{2}};{{C}_{2}};A;B;C;{{A}_{1}};{{B}_{1}};{{C}_{1}}$&nbsp;qua&nbsp;$${{V}_{\left( H;\frac{1}{2} \right)}}$$Mà ${{A}_{2}}; {{ B }_{2}};{{C}_{2}};A;B;C;{{A}_{1}};{{B}_{1}};{{C}_{1}}\in \left( O \right)$$$\Rightarrow A';B';C';A'';B'';C'';{{A}_{1}}';{{B}_{1}}';{{C}_{1}}'\in \left( O' \right)$$ là ảnh của $$\left( O \right)$$qua $${{V}_{\left( H;\frac{1}{2} \right)}}$$.<h3>Bài 3. (SGK hình học 11 trang 126)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_OTCN_BT_03_784e5156cb.PNG?30132981.05999996" alt="">a) Gọi $$N=EM\cap CD$$Ta có $$CD//AB\Rightarrow \frac{ND}{MA}=\frac{NE}{ME}=\frac{NC}{MB}$$Vì $$MA=MB\Rightarrow ND=NC\Rightarrow N$$ là trung điểm CD.$$\Rightarrow G\in EN\Rightarrow E;G;M$$ thẳng hàng.$$\Rightarrow S;E;M;G\in \left( \alpha&nbsp; \right)$$Gọi $$O=EM\cap BD$$Ta có $$CD//AB\Rightarrow \frac{O'N}{O'M}=\frac{ND}{MB}\Rightarrow \frac{ON}{OM}=\frac{O'N}{O'M}$$Mà $$O;O'$$ nằm giữa $$M,N\Rightarrow O\equiv O'$$$$\Rightarrow AC;BD;EM$$ đồng quy tại O.$$\Rightarrow O$$ thuộc ba mặt phẳng $$\left( SAC \right);\left( SBD \right);\left( \alpha&nbsp; \right)$$Mặt khác, $$S$$thuộc ba mặt phẳng $$\left( SAC \right);\left( SBD \right);\left( \alpha&nbsp; \right)$$$$\Rightarrow \left( \alpha&nbsp; \right)$$ cắt hai mặt phẳng $$\left( SAC \right);\left( SBD \right)$$ theo cùng một giao tuyến là đường thẳng $$d\equiv SO$$b) Ta có $$E=AD\cap BC\Rightarrow E\in \left( SAD \right)\cap \left( SBC \right)$$Mà $$S\in \left( SAD \right)\cap \left( SBC \right)$$$$\Rightarrow \left( SAD \right)\cap \left( SBC \right)=SE$$c) Gọi&nbsp;$I = AC' \cap BD' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} I \in AC' \subset \left( {SAC} \right)\\ I \in BD' \subset \left( {SBD} \right) \end{array} \right.$Mà \[\left( SAC \right)\cap \left( SBD \right)=d\Rightarrow I\in d\]<h3>Bài 4. (SGK hình học 11 trang 126)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_OTCN_BT_04_2a8f276e3d.PNG?30191406.149999995" alt="">Trong $$\Delta ACC'$$ có: $$AM=MC';AE=EC\Rightarrow ME$$ là đường trung bình trong $$\Delta ACC'$$$$\Rightarrow ME//CC';ME=\frac{1}{2}CC'$$Chứng minh tương tự&nbsp;ta có $$NF//DD';NF=\frac{1}{2}DD'$$.Mà $$CC'//DD';CC'=DD'$$$$\Rightarrow MNFE$$ là hình bình hành $$\Rightarrow MN=FE$$Bài 5. (SGK hình học 11 trang 126)<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_OTCN_BT_05_1_645f31399c.PNG?30261870.23" alt="">Kẻ $$FG//AB\left( G\in CC' \right)$$Ta có $$\left( EFB \right)\cap \left( ABB'A' \right)=AB$$$$\left( EFB \right)\cap \left( BCC'B' \right)=BG$$$$\left( EFB \right)\cap \left( CDD'C' \right)=GF$$$$\left( EFB \right)\cap \left( ADD'A' \right)=FA$$$$\Rightarrow $$Thiết diện là tứ giác $$ABGF$$Mặt khác, $$AB//FG;AB=FG\Rightarrow ABGF$$ là hình bình hành.Mà $$AB\bot \left( BCC'B' \right)\Rightarrow AB\bot BG\Rightarrow ABGF$$ là hình chữ nhật.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_OTCN_BT_05_2_e16cfafa89.PNG?30286768.374999985" alt="">Gọi $$J=CE\cap AD;I=FJ\cap AA'$$Ta có $$\left( EFC \right)\cap \left( ABCD \right)=CE$$$$\left( EFC \right)\cap \left( ABB'A' \right)=EI\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$$$$\left( EFC \right)\cap \left( ADD'A' \right)=IF$$$$\left( EFC \right)\cap \left( CDD'C' \right)=FC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$$$$\Rightarrow $$Thiết diện là tứ giác $$CEIF$$Ta có $$\left( ABB'A' \right)//\left( CDD'C' \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$$Từ $$\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\Rightarrow EI//FC\Rightarrow CEIF$$ là hình thang.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_OTCN_BT_05_3_1323a6a4bb.PNG?30000917.05499997" alt="">Gọi $$M=C'F\cap CD;N=ME\cap AD;Q=ME\cap BC;P=QC'\cap BB'$$Ta có $$\left( EFC' \right)\cap \left( ABCD \right)=NE$$$$\left( EFC' \right)\cap \left( ABB'A' \right)=EP$$$$\left( EFC' \right)\cap \left( ADD'A' \right)=FN$$$$\left( EFC' \right)\cap \left( CDD'C' \right)=C'F$$$$\left( EFC' \right)\cap \left( BCC'B' \right)=PC'$$$$\Rightarrow $$Thiết diện là ngũ giác $$EPC'FN$$Ta có $$\left( ABB'A' \right)//\left( CDD'C' \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$$Từ $$\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\Rightarrow EI//FC\Rightarrow CEIF$$ là hình thang.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_OTCN_BT_05_4_67f20e1f49.PNG?30435737.120000005" alt="">Kẻ $$EM//AB'\Rightarrow M$$ là trung điểm BB’.Ta có $$MK//BC'$$(với MK là đường trung bình của $$\Delta BB'C'$$&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; $$BC'//AD'$$$$\Rightarrow MK//AD'\Rightarrow \left( MEK \right)//\left( AB'D' \right)$$Ta có $$MF$$ là đường trung bình của hình chữ nhật $$BDD'B'\Rightarrow MF//B'D'\Rightarrow MF//\left( AB'D' \right)$$Mà $$M\in \left( MEK \right);\left( MEK \right)//\left( AB'D' \right)$$$$\Rightarrow MF\subset \left( MEK \right)\Rightarrow \left( MEK \right)\equiv \left( EFK \right)\Rightarrow \left( EFK \right)//\left( AB'D' \right)$$Kẻ $$KN//B'D';FH//AD'$$$$\Rightarrow N;H\in \left( EFK \right)$$$$\Rightarrow $$Thiết diện cắt bởi $$\left( EFK \right)$$ là lục giác $$EMKNFH$$.Vì $$E;M;K;N;F;H$$ lần lượt là trung điểm của $$AB;BB';B'C';C'D';DD';AD$$ nên $$EMKNFH$$ là lục giác đều.Bài 6. (SGK hình học 11 trang 126)<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_OTCN_BT_06_346609f20c.PNG?30093614.59499999" alt="">a) Gọi $$I=BC'\cap B'C$$Trong $$\left( ABC'D' \right)$$, kẻ $$IK\bot BD'\,\,\,\,\left( 1 \right)$$Ta có \[AB\bot \left( BCC'B' \right)\Rightarrow AB\bot B'C\]Mà \[BC'\bot B'C\Rightarrow B'C\bot \left( ABC'D' \right)\Rightarrow B'C\bot IK\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\]Từ $$\left( 1 \right);\left( 2 \right)\Rightarrow IK$$ là đường vuông góc chung của BD’ và B’C.b) Ta có \[C'D'\bot \left( BCC'B' \right)\Rightarrow C'D'\bot BC'\Rightarrow \Delta BD'C'\] vuông tại C’.Xét $$\Delta BIK\sim \Delta BD'C'\left( g.g \right)$$$$\Rightarrow \frac{IK}{D'C'}=\frac{BI}{BD'}\Rightarrow IK=\frac{BI.D'C'}{BD'}$$Mà $$BI=\frac{BC'}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$$&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; $\begin{array}{l} BD' = \sqrt {C'{B^2} + C'D{'^2}} = a\sqrt 3 \\ D'C' = a\\ \Rightarrow IK = \frac{{a\sqrt 6 }}{6} \end{array}$<h3>Bài 7. (SGK hình học 11 trang 126)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_11_C03_HH_OTCN_BT_07_6834f870fe.PNG?30228974.754999973" alt="">a) Ta có $$SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot BC$$Mà $$AB\bot BC$$ (do ABCD là hình thang vuông tại A và B)$$\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB\Rightarrow \widehat{SBC}={{90}^{0}}$$Gọi $$M$$ là trung điểm $$AD\Rightarrow AM=a$$Vì $$AM//BC;AM=BC\left( =AB \right)$$ nên tứ giác ABCM là hình thoi.$$\Rightarrow CM=a=\frac{AD}{2}\Rightarrow \Delta ACD$$ vuông tại $$C\Rightarrow DC\bot AC$$Mà $$DC\bot SA\left( SA\bot \left( ABCD \right) \right)$$$$\Rightarrow DC\bot \left( SAC \right)\Rightarrow DC\bot SC\Rightarrow \widehat{SCD}={{90}^{0}}$$b) Ta có $$AB\bot SA;AB\bot AD\Rightarrow AB\bot \left( SAD \right)\Rightarrow AB\bot SD\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$$Mặt khác, $$DC\bot \left( SAC \right)\Rightarrow DC\bot AC'$$Mà $$SC\bot AC'\Rightarrow AC'\bot \left( SCD \right)\Rightarrow AC'\bot SD\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$$Lại có, $$AD'\bot SD\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$$Từ $$\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\Rightarrow AD';AC';BC$$ cùng nằm trên mặt phẳng $$\left( \alpha&nbsp; \right)$$ qua A và vuông góc với SD.c) Gọi $$K=AB\cap CD$$Ta có $$\left( \alpha&nbsp; \right)\cap \left( ABCD \right)=AB$$$$\left( \alpha&nbsp; \right)\cap \left( SCD \right)=C'D'$$$$\left( ABCD \right)\cap \left( SCD \right)=CD$$$$\Rightarrow AB;C'D';CD$$ đồng quy tại K hay \[C'D'\] luôn đi qua điểm K cố định khi S chạy&nbsp; trên $$Ax$$.&nbsp;