BÀI 8: PHÉP ĐỒNG DẠNG
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Định nghĩa:
Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số \[k\left( k>0 \right)\] nếu với hai điểm \[M,N\] bất kì và ảnh \[M',N'\] tương ứng của chúng ta luôn có \[M'N'=kMN\].
Nhận xét:
- Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.
- Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số \[\left| k \right|\].
- Phép đồng dạng tỉ số k = phép vị tự tỉ số k + phép dời hình
2. Tính chất
Phép đồng dạng tỉ số k:
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đọan thẳng;
- Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó;
- Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính \[kR\].
3. Hình đồng dạng
Định nghĩa:
Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Chứng minh/xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác,… qua phép đồng dạng
Cách giải:
Áp dụng định nghĩa, nhận xét và tính chất của phép đồng dạng kết hợp với dữ kiện đề bài.
Dạng 2. Xác định phép đồng dạng biến điểm (đường thẳng, tam giác,…) thành điểm (đường thẳng tam giác,..) kia
Cách giải:
Phép đồng dạng tỉ số k = phép vị tự tỉ số k + phép dời hình. Từ đó, dựa vào dữ kiện đề bài, ta tìm phép vị tự tỉ số k và phép dời hình.
Dạng 3. Tìm tọa độ điểm; phương trình đường thẳng, đường tròn qua phép đồng
Cách giải:
Áp dụng công thức phần biểu thức tọa độ của các phép vị tự và phép dời hình.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (trang 33 SGK Hình học 11)
- Xác định ảnh của \[\Delta ABC\] qua \[{{V}_{\left( B;\frac{1}{2} \right)}}\] :
\[{{V}_{\left( B;\frac{1}{2} \right)}}\left( A \right)=A'\Leftrightarrow \overrightarrow{BA'}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}\Leftrightarrow A'\] là trung điểm \[AB\].
\[{{V}_{\left( B;\frac{1}{2} \right)}}\left( B \right)=B\]
\[{{V}_{\left( B;\frac{1}{2} \right)}}\left( C \right)=C'\Leftrightarrow \overrightarrow{BC'}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow C'\] là trung điểm \[BC\].
\[\Rightarrow {{\text{V}}_{\left( \text{B};\frac{1}{2} \right)}}\left( \Delta \text{ABC} \right)=\Delta \text{A}'\text{BC}'\]
- Xác định ảnh của \[\Delta A'BC'\] qua phép đối xứng trục \[\Delta \] (với \[\Delta \] là trung trực của \[BC\]).
Đ\[_{\Delta }\left( A' \right)=A''\Leftrightarrow {{\overrightarrow{HA}}^{\prime }}=-\overrightarrow{HA''}\] (với \[H\] là trung điểm \[A'A''\] như hình vẽ).
Đ\[_{\Delta }\left( B \right)=C\]
Đ\[_{\Delta }\left( C' \right)=C'\].
\[\Rightarrow \] Đ \[_{\Delta }\left( \Delta \text{A }\!\!'\!\!\text{ BC }\!\!'\!\!\text{ } \right)=\Delta \text{A }\!\!'\!\!\text{ }'\text{CC}'\]
Vậy ảnh của \[\Delta ABC\] thu được sau khi thực hiện phép \[{{V}_{\left( B;\frac{1}{2} \right)}}\] và phép Đ\[_{\Delta }\] là \[\Delta A''CC'\].
Bài 2. (trang 33 SGK Hình học 11)
Ta có I là trung điểm \[AC;BD;HK\].
\[\Rightarrow \] Đ\[_{I}\left( H \right)=K\]; Đ\[_{I}\left( D \right)=B\]; Đ\[_{I}\left( C \right)=A\].
\[\Rightarrow \]Đ \[_{I}\left( IHDC \right)=IKBA\] (1)
Mặt khác, \[J;L;K;I\] lần lượt là trung điểm của \[CI;CK;CB;CA\]
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {{\rm{CJ}}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {{\rm{CI}}} ;\\ \overrightarrow {{\rm{CL}}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {{\rm{CK}}} \\ \overrightarrow {{\rm{CK}}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {{\rm{CB}}} \\ \overrightarrow {{\rm{CI}}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {{\rm{CA}}} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm{J}} = {{\rm{V}}_{\left( {{\rm{c}};\frac{1}{2}} \right)}}\left( I \right)\\ {\rm{L}} = {{\rm{V}}_{\left( {{\rm{C}};\frac{1}{2}} \right)}}\left( K \right)\\ {\rm{K}} = {{\rm{V}}_{\left( {{\rm{C}};\frac{1}{2}} \right)}}\left( B \right)\\ {\rm{I}} = {{\rm{V}}_{\left( {{\rm{C;}}\frac{1}{2}} \right)}}\left( A \right) \end{array} \right.\)
\[\Rightarrow {{V}_{\left( C,\frac{1}{2} \right)}}\left( IKBA \right)=JLKI\] (2)
\[\Rightarrow \] Hình thang \[JLKI\] là ảnh của hình thang \[IHDC\]qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm I và phép vị tự tâm C tỉ số \[\frac{1}{2}\] .
\[\Rightarrow IJKI\]và \[IHDC\] đồng dạng.
Bài 3. (trang 33 SGK Hình học 11)
Ta có: \[C\left( I;R \right)\xrightarrow{{{Q}_{\left( O;{{45}^{0}} \right)}}}C\left( {{I}_{1}};{{R}_{1}} \right)\xrightarrow{{{V}_{\left( O;\sqrt{2} \right)}}}{{C}_{2}}\left( {{I}_{2}};{{R}_{2}} \right)\] với \[I;{{I}_{1}};{{I}_{2}}\] là tâm và \[R;{{R}_{1}};{{R}_{2}}\] là bán kính của các đường tròn \[\left( C \right);\left( {{C}_{1}} \right);\left( {{C}_{2}} \right)\]
- Xét \({Q_{\left( {O;{{45}^0}} \right)}}\left( C \right) = \left( {{C_1}} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{Q_{\left( {O;{{45}^0}} \right)}}\left( I \right) = {I_1}}\\ {R = {R_1} = 2} \end{array}} \right.\)
\({Q_{\left( {O;{{45}^0}} \right)}}:I\left( {1;1} \right) \mapsto {I_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1} = x\cos {{45}^0} - y\sin {{45}^0} = 0}\\ {{y_1} = x\sin {{45}^0} + y\cos {{45}^0} = \sqrt 2 } \end{array}} \right. \Rightarrow {I_1}\left( {0;\sqrt 2 } \right)\)
- Xét \({V_{\left( {O;\sqrt 2 } \right)}}\left( {{C_1}} \right) = \left( {{C_2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{V_{\left( {O;\sqrt 2 } \right)}}\left( {{I_1}} \right) = {I_2}}\\ {{R_2} = \sqrt 2 {R_1} = 2\sqrt 2 } \end{array}} \right.\)
\[{{V}_{\left( O;\sqrt{2} \right)}}\left( {{I}_{1}} \right)={{I}_{2}}\Leftrightarrow \overrightarrow{\text{O}{{\text{I}}_{2}}}=\sqrt{2}\overrightarrow{\text{O}{{\text{I}}_{1}}}=\sqrt{2}\left( 0;\sqrt{2} \right)=\left( 0;2 \right)\Rightarrow {{I}_{2}}\left( 0;2 \right)\]
Vậy đường tròn \[\left( {{C}_{2}} \right)\] cần tìm có tâm \[{{I}_{2}}\left( 0;2 \right)\] và bán kính \[{{R}_{2}}=2\sqrt{2}\] có phương trình là \[{{x}^{2}}+{{\left( y2 \right)}^{2}}=8\].
Bài 4. (trang 33 SGK Hình học 11)
Gọi d là đường phân giác của góc B của \[\Delta ABC\].
\[\Rightarrow \] Đ \[_{d}\left( A \right)=A'\left( A'\in BC \right)\]
Đ \[_{d}\left( H \right)=H'\left( H'\in AB \right)\]
Đ \[_{d}\left( B \right)=B\]
\[\Rightarrow \] Đ \[_{d}\left( \Delta AHB \right)=\Delta A'H'B\,\,\,\,\left( 1 \right)\]
\[\Rightarrow \Delta A'H'B\] vuông tại \[H'\] ; \[A'H'=AH\]
\[\Rightarrow A'H'//BC\Rightarrow \frac{BA}{BH'}=\frac{BC}{BA'}=\frac{AC}{H'A'}=\frac{AC}{AH}=k\]
\[\Rightarrow BA=kBH'\Rightarrow \overrightarrow{BA}=k\overrightarrow{BH'}\Leftrightarrow {{V}_{\left( B;k \right)}}\left( H' \right)=A\]
Tương tự \[BC=kBA'\Leftrightarrow {{V}_{\left( B;k \right)}}\left( A' \right)=C\]
\[{{V}_{\left( B;k \right)}}\left( B \right)=B\]
\[\Rightarrow {{V}_{\left( B;k \right)}}\left( \Delta H'BA' \right)=\Delta ABC\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right);\left( 2 \right)\Rightarrow \] Phép đồng dạng cần tìm là hợp của phép đối xứng trục \[d\] là phân giác của \[\widehat{\text{ABC}}\] và phép vị tự tâm B, tỉ số \[k=\frac{AC}{AH}\] .
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 11 bài Phép đồng dạng do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ.