BÀI 5: PHÉP QUAY
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Định nghĩa:
Cho điểm O và góc lượng giác \[\alpha \]. Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm \[M'\] sao cho \[OM'=OM\] và góc lượng giác \[\left( OM;OM' \right)\] bằng \[\alpha \] được gọi là phép quay tâm O góc \[\alpha \].
- Điểm O được gọi là tâm quay, \[\alpha \] được gọi là góc quay của phép quay đó.
- Phép quay tâm O góc \[\alpha \] thường được kí hiệu là \[{{Q}_{(O,\alpha )}}\]
Nhận xét:
Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ.
Với k là số nguyên ta luôn có:
- Phép quay \[{{Q}_{(O,2k\pi )}}\] là phép đồng nhất.
- Phép quay \[{{Q}_{(O,\left( 2k+1 \right)\pi )}}\] là phép đối xứng tâm O
2. Tính chất
Tính chất 1
Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Tính chất 2
Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.
3. Biểu thức tọa độ
Phép quay quanh tâm \[O\left( 0;0 \right)\], góc \[\alpha \]
\({Q_{(O,\alpha )}}:{\rm{ }}M\left( {x;{\rm{ }}y} \right)\; \mapsto M'(x';{\rm{ }}y')\) \( \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l} x' = x\cos \alpha - {\rm{ysin}}\alpha \\ {\rm{y' = xsin}}\alpha {\rm{ + ycos}}\alpha \end{array} \right.\)
Các trường hợp đặc biệt:
\({Q_{(O,{{90}^0}}}_):{\rm{ }}M\left( {x;{\rm{ }}y} \right)\; \mapsto M'(x';{\rm{ }}y')\)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' = - y}\\ {y' = x} \end{array}} \right.\)
\({Q_{(O,-{{90}^0}}}_):{\rm{ }}M\left( {x;{\rm{ }}y} \right)\; \mapsto M'\left( {x';{\rm{ }}y'} \right)\)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' = y}\\ {y' = - x} \end{array}} \right.\)
Trường hợp tổng quát phép quay quanh tâm \[I\left( a;b \right)\], góc \[\alpha \]
\[{{Q}_{(I,\alpha )}}:\text{ }M\left( x;\text{ }y \right)~\mapsto M'(x';\text{ }y')\]\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x' = \left( {x - a} \right)\cos \alpha - \left( {y - b} \right)\sin \alpha + a\\ y' = \left( {x - a} \right)\sin \alpha + \left( {y - b} \right)\cos \alpha + b \end{array} \right.\)
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Chứng minh/xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác,… qua phép quay
Cách giải:
Áp dụng định nghĩa \({Q_{\left( {O,\alpha } \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} OM' = OM\\ \left( {OM;OM'} \right) = \alpha \end{array} \right.\) \(\overrightarrow {IM'} = - \overrightarrow {IM} \) và tính chất của phép quay kết hợp với dữ kiện đề bài.
Dạng 2. Tìm tọa độ điểm; phương trình đường thẳng, đường tròn qua phép quay \[{{Q}_{\left( I;\alpha \right)}}\]
Cách giải:
Áp dụng công thức phần biểu thức tọa độ.
C. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Bài 1. (trang 19 SGK Hình học 11)
a) Gọi \[C'\] là điểm đối xứng với điểm C qua điểm D.
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left( {{\rm{AC}};{\rm{AC}}'} \right) = {{90}^0}}\\ {{\rm{AC}} = {\rm{AC}}'} \end{array}} \right. \Leftrightarrow C'\) là điểm đối xứng với C qua D.
b) Ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{OB}} = {\rm{OC}}}\\ {({\rm{OB}};{\rm{OC}}) = \widehat {{\rm{BOC}}} = {{90}^0}} \end{array}} \right. \Rightarrow {\rm{C}} = {{\rm{Q}}_{\left( {0;{{90}^0}} \right)}}\left( B \right)\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{OC}} = {\rm{OD}}}\\ {({\rm{OC}};{\rm{OD}}) = \widehat {{\rm{COD}}} = {{90}^0}} \end{array}} \right. \Rightarrow {\rm{D}} = {{\rm{Q}}_{\left( {0;{{90}^0}} \right)}}\left( C \right)\)
Bài 2. (trang 19 SGK Hình học 11)
Ta có \[A\left( 2;0 \right)\in \] tia \[Ox\].
Gọi \({Q_{\left( {O,{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = B \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} B \in \,\,tia\,\,Oy\\ OA = OB \end{array} \right. \Rightarrow B\left( {0;2} \right)\)
Gọi \[{{Q}_{\left( O,{{90}^{0}} \right)}}\left( d \right)=d'\].
Vì \[A\left( 2;0 \right)\in \left( d \right)\]\[\Rightarrow B={{Q}_{(O,90{}^\text{o})}}\left( A \right)\in \left( d' \right)\]
Vì \[B\left( 0;2 \right)\in \left( d \right)\]\[\Rightarrow C={{Q}_{\left( O,{{90}^{0}} \right)}}\left( B \right)\in \left( d' \right)\].
Dễ thấy \[C\left( -2;0 \right)\] (hình vẽ).
\[\Rightarrow \left( d' \right)\equiv BC\].
Đường thẳng d’ đi qua \[B\left( 0;2 \right)\] và \[C\left( -2;0 \right)\] nên có phương trình:
\[\frac{x}{-2}+\frac{y}{2}=1\Leftrightarrow x-y+2=0\]
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 11 bài Phép quay do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ.