BÀI 5: ĐẠO HÀM CẤP HAI
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Định nghĩa:
Giả sử hàm số \[y=f\left( x \right)\] có đạo hàm tại mỗi điểm \[x\in \left( a;b \right)\] . Khi đó, hệ thức \[y'=f'\left( x \right)\] xác định một hàm số mới trên khoảng \[\left( a;b \right)\] . Nếu hàm số \[y'=f'\left( x \right)\] lại có đạo hàm tại \[x\] thì ta gọi đạo hàm của \[y'\] là đạo hàm cấp hai của hàm số \[y=f\left( x \right)\] tại \[x\] và kí hiệu là \[y''\] hoặc \[f''\left( x \right)\] .
Chú ý:
- Đạo hàm cấp ba của hàm số \[y=f\left( x \right)\] được định nghĩa tương tự và kí hiệu là \[y'''\] hoặc \[f'''\left( x \right)\] hoặc \[{{f}^{\left( 3 \right)}}\left( x \right)\] .
- Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] có đạo hàm cấp \[n-1\] , kí hiệu là \[{{f}^{\left( n-1 \right)}}\left( x \right)\left( n\in \mathbb{N},n\ge 4 \right)\] . Nếu \[{{f}^{\left( n-1 \right)}}\left( x \right)\] có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là dạo hàm cấp \[n\] của \[f\left( x \right)\] , kí hiệu là \[{{y}^{\left( n \right)}}\] hoặc \[{{f}^{\left( n \right)}}\left( x \right)\]
2. Ý nghĩa cơ học
Đạo hàm cấp hai \[f''\left( t \right)\] là gia tốc tức thời của chuyển động \[s=f\left( t \right)\] tại thởi điểm \[t\] .
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm đạo hàm cấp \[n\] của hàm số \[y=f\left( x \right)\]
Cách giải:
- Tính \[y'=f'\left( x \right)\]
- Tính \[y''=\left( f'\left( x \right) \right)'\]
- Tính tiếp \[{{y}^{\left( n \right)}}\left( x \right)\left( n>2 \right)\] bằng cách đạo hàm lần lượt hoặc tìm ra quy luật chung của đạo hàm
Dạng 2. Chứng minh hệ thức liên quan đến đạo hàm
Cách giải:
- Tính đến đạo hàm cấp \[n\] trong hệ thức
- Thay các kết quả của đạo hàm vào hệ thức và biến đổi vế trái bằng vế phải
Dạng 3. Bài toán thực tế liên quan đến gia tốc, vận tốc, quãng đường
Cách giải:
Áp dụng công thức về gia tốc, vận tốc:
- Vận tốc tức thời tại thời điểm \[t\] là \[v\left( t \right)=s'\left( t \right)\]
- Gia tốc tức thời tại thời điểm \[t\] là \[a\left( t \right)=v'\left( t \right)\]
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. SGK Đại số 11 trang 174
a) \[f\left( x \right)={{\left( x+10 \right)}^{6}}\]
\[\Rightarrow f'\left( x \right)=6{{\left( x+10 \right)}^{5}}\]
\[\Rightarrow f''\left( x \right)=30{{\left( x+10 \right)}^{4}}\]
\[\Rightarrow f''\left( 2 \right)=622080\]
b) \[f\left( x \right)=\sin 3x\]
\[\Rightarrow f'\left( x \right)=3\cos 3x\]
\[\Rightarrow f''\left( x \right)=-9\sin 3x\]
\[\Rightarrow f''\left( -\frac{\pi }{2} \right)=-9;f''\left( 0 \right)=0;f''\left( \frac{\pi }{18} \right)=-\frac{9}{2}\]
Bài 2. SGK Đại số 11 trang 174
a) \[y=\frac{1}{1-x}\]
\[\Rightarrow y'=\frac{1}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}\]
\[\Rightarrow y''=\frac{2\left( 1-x \right)}{{{\left( 1-x \right)}^{4}}}=\frac{2}{{{\left( 1-x \right)}^{3}}}\]
b) \[y=\frac{1}{\sqrt{1-x}}\]
\[\Rightarrow y'=\frac{-\left( 1-x \right)'}{1-x}=\frac{1}{2\sqrt{1-x}\left( 1-x \right)}=\frac{1}{2\sqrt{{{\left( 1-x \right)}^{3}}}}\]
\[\Rightarrow y''=\frac{\left( \sqrt{{{\left( 1-x \right)}^{3}}} \right)'}{2\sqrt{{{\left( 1-x \right)}^{6}}}}=\frac{3{{\left( 1-x \right)}^{2}}}{2.2\sqrt{{{\left( 1-x \right)}^{3}}}.\sqrt{{{\left( 1-x \right)}^{6}}}}=\frac{3}{4\sqrt{{{\left( 1-x \right)}^{5}}}}\]
c) \[y=\tan x\]
\[\Rightarrow y'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\]
\[\Rightarrow y''=\frac{2\sin x.\cos x}{{{\cos }^{4}}x}=\frac{2\sin x}{{{\cos }^{3}}x}\]
d) \[y={{\cos }^{2}}x\]
\[\Rightarrow y'=-2\sin x\cos x\]
\[\Rightarrow y''=-2{{\cos }^{2}}x+2{{\sin }^{2}}x=-2\left( {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x \right)=-2\cos 2x\]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa đạo hàm cấp 2 toán học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất