BÀI 4: VI PHÂN
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Định nghĩa:
Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] xác định trên khoảng \[\left( a;b \right)\] và có đạo hàm tại \[x\in \left( a;b \right)\] . Giả sử \[\Delta x\] là số gia của \[x\] .
Ta gọi tích \[f'\left( x \right)\Delta x\] là vi phân của hàm số \[y=f\left( x \right)\] tại \[x\] ứng với số gia \[\Delta x\] , kí hiệu là \[df\left( x \right)\] hoặc \[dy\] , tức là: \[dy=df\left( x \right)=f'\left( x \right)\Delta x\]
Chú ý:
Với hàm số \[y=f\left( x \right)\] ta có \[dy=df\left( x \right)=f'\left( x \right)dx\]
2. Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng
Công thức tính gần đúng: \[f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)\approx f\left( {{x}_{0}} \right)+f'\left( {{x}_{0}} \right)\Delta x\]
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm vi phân của hàm số \[y=f\left( x \right)\]
Cách giải:
- Tính \[f'\left( x \right)\]
- Vi phân của hàm số \[y=f\left( x \right)\] tại \[x\] là \[dy=df\left( x \right)=f'\left( x \right)dx\]
- Vi phân của hàm số \[y=f\left( x \right)\] tại \[{{x}_{0}}\] là \[dy=df\left( {{x}_{0}} \right)=f'\left( {{x}_{0}} \right)dx\]
Dạng 2. Tính giá trị gần đúng của biểu thức
Cách giải:
- Xác định hàm số \[y=f\left( x \right)\] và chọn \[{{x}_{0}};\Delta x\] thích hợp.
- Tính \[f'\left( x \right);f'\left( {{x}_{0}} \right);f\left( {{x}_{0}} \right)\]
- Tính giá trị gần đúng \[f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)\approx f\left( {{x}_{0}} \right)+f'\left( {{x}_{0}} \right)\Delta x\]
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. SGK Đại số 11 trang 171
a) \[y=\frac{\sqrt{x}}{a+b}\left( a,b=const \right)\]
\[\Rightarrow y'=\frac{1}{a+b}.\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2\left( a+b \right)\sqrt{x}}\]
\[\Rightarrow dy=d\left( \frac{\sqrt{x}}{a+b} \right)=y'dx=\frac{1}{2\left( a+b \right)\sqrt{x}}dx\]
b) \[y=\left( {{x}^{2}}+4x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-\sqrt{x} \right)\]
\[\Rightarrow y'={{\left( {{x}^{2}}+4x+1 \right)}^{'}}\left( {{x}^{2}}-\sqrt{x} \right)+\left( {{x}^{2}}+4x+1 \right){{\left( {{x}^{2}}-\sqrt{x} \right)}^{'}}=\left( 2x+4 \right)\left( {{x}^{2}}-\sqrt{x} \right)+\left( {{x}^{2}}+4x+1 \right)\left( 2x-\frac{1}{2\sqrt{x}} \right)\] \[\Rightarrow dy=d\left[ \left( {{x}^{2}}+4x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-\sqrt{x} \right) \right]=y'dx=\left[ \left( 2x+4 \right)\left( {{x}^{2}}-\sqrt{x} \right)+\left( {{x}^{2}}+4x+1 \right)\left( 2x-\frac{1}{2\sqrt{x}} \right) \right]dx\]
Bài 2. SGK Đại số 11 trang 171
a) \[y={{\tan }^{2}}x\]
\[\Rightarrow y'=2\tan x.\left( \tan x \right)'=2\tan x.\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\]
\[\Rightarrow dy=d\left( {{\tan }^{2}}x \right)=y'dx=\frac{2\tan x}{{{\cos }^{2}}x}dx\]
b) \[y=\frac{\cos x}{1-{{x}^{2}}}\]
\[\Rightarrow y'=\frac{\left( \cos x \right)'\left( 1-{{x}^{2}} \right)-\cos x\left( 1-{{x}^{2}} \right)'}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{2}}}\]
\[=\frac{-\sin x\left( 1-{{x}^{2}} \right)+2x\cos x}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{2}}}\]
\[=\frac{\left( {{x}^{2}}-1 \right)\sin x+2x\cos x}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{2}}}\]
\[\Rightarrow dy=d\left( \frac{\cos x}{1-{{x}^{2}}} \right)=y'dx=\frac{\left( {{x}^{2}}-1 \right)\sin x+2x\cos x}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{2}}}dx\]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa giải phương trình vi phân toán học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất