BÀI 4: PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Cho điểm I và điểm M, phép dời hình biến điểm M thành M’ sao cho I là trung điểm của MM’ gọi là phép đối xứng tâm I, kí hiệu là ĐI
Đ\(_I\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \)$$\overrightarrow{IM'}=-\overrightarrow{IM}$$
2. Biểu thức tọa độ
Cho \[I\left( a;b \right)\].
Đ$$_{I}\text{: M}\left( \text{x};\text{y} \right)\mapsto \text{M}'\left( \text{x}';\text{y}' \right)$$. Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' = 2a - x}\\ {y' = 2b - y} \end{array}} \right.\)
Đặc biệt: Đ$$_{O}\text{: M}\left( \text{x};\text{y} \right)\mapsto \text{M}'\left( \text{x}';\text{y}' \right)$$. Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' = - x}\\ {y' = - y} \end{array}} \right.\)
3. Tính chất
- Đ\[_{I}\left( M \right)=M'\Leftrightarrow \]Đ\[_{I}\left( M' \right)=M\]
- Đ\[_{I}\left( M \right)=M';\] Đ\[_{I}\left( N \right)=N'\] \[\Rightarrow \] $$\overrightarrow{M'N'}=-\overrightarrow{MN}$$
- Phép đối xứng tâm biến điểm thành điểm, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó , biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Chứng minh/xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác,… qua phép đối xứng tâm Đ$$_{I}$$
Cách giải:
Áp dụng định nghĩa Đ\(_I\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \)$$\overrightarrow{IM'}=-\overrightarrow{IM}$$ và tính chất của phép đối xứng tâm kết hợp với dữ kiện đề bài.
Dạng 2. Tìm tọa độ điểm; phương trình đường thẳng, đường tròn qua phép đối xứng tâm
Cách giải:
Áp dụng công thức phần biểu thức tọa độ.
Dạng 3. Chỉ ra các hình có tâm đối xứng
Cách giải:
Lấy điểm bất kì thuộc hình và chỉ ra ảnh của nó qua phép đối xứng tâm cũng thuộc hình đó.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (trang 15 SGK Hình học 11)
Giả sử Đ$$_{O}\left( A \right)=A'\left( x';y' \right)$$
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' = 1}\\ {y' = - 3} \end{array} \Rightarrow A'\left( {1; - 3} \right)} \right.\) Ta có $$M\left( -3;0 \right),N\left( -1;1 \right)\in d$$
Đ$$_{O}\left( M \right)=M'\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)$$\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1} = 3}\\ {{y_1} = 0} \end{array} \Rightarrow M'\left( {3;0} \right)} \right.\)
Đ$$_{O}\left( N \right)=N'\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$$\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_2} = 1\quad }\\ {{y_2} = - 1} \end{array}} \right. \Rightarrow \quad N'\left( {1; - 1} \right)\)
Đ$$_{O}\left( d \right)=d'\Rightarrow M',N'\in d'$$
Ta có: \(\overrightarrow {M'N'} \left( { - 2, - 1} \right) \Rightarrow d':\left\{ \begin{array}{l} x = 3 - 2t\\ y = - t \end{array} \right.\left( {t \in } \right)\)
Bài 2. (trang 15 SGK Hình học 11)
Tam giác đều và ngũ giác dều không có tâm đối xứng.
Hình bình hành có một tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.
Hình lục giác đều có một tâm đối xứng là tâm đường tròn ngoại tiếp hình lục giác đều
Bài 3. (trang 15 SGK Hình học 11)
Lấy điểm $$O$$ bất kì thuộc đường thẳng $$a$$. Ta thấy Đ$$_{O}\left( a \right)=a$$.
Vậy đường thẳng là một hình có vô số tâm đối xứng.