BÀI 3: PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Định nghĩa:
Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng \[MM’\] được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d.
Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn giản gọi là trục đối xứng.
Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đd
Nếu hình H’ là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H đối xứng với H’ qua d, hay H và H’ đối xứng với nhau qua d.
Nhận xét:
Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M gọi \[{{M}_{0}}\] là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d. Khi đó \[M'=\] Đ \[_{d}\left( M \right)\Leftrightarrow {{M}_{0}}M'=-\overrightarrow{{{M}_{0}}M}\]
\[M'=\] Đ \[_{d}\left( M \right)\Leftrightarrow M=\] Đ \[_{d}\left( M' \right)\]
2. Biểu thức toạ độ
a. Trường hợp đối xứng qua trục tọa độ Ox và Oy
ĐOx: \[M\left( x;\text{ }y \right)~\mapsto M'\left( x';\text{ }y' \right)\]. Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l} x' = x\\ y' = - y \end{array} \right.\)
ĐOy: \[M\left( x;\text{ }y \right)~\mapsto M'\left( x';\text{ }y' \right)\]. Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l} x' = - x\\ y' = y \end{array} \right.\)
b. Trường hợp tổng quát tìm điểm \[M'=\]Đ \[_{d}\left( M \right)\]
Cách 1:
- Gọi \[I\left( x;y \right)\] là điểm thuộc d Þ tọa độ y theo x là : \[y=f\left( x \right)\]
- Tìm véc tơ: \[\overrightarrow{IM}\]
- \[\overrightarrow{IM}\bot \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\Rightarrow \overrightarrow{IM}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0\] Þ tọa độ I
- I là trung điểm \[MM'\Rightarrow M'\]
Cách 2:
- Gọi \[\Delta \] là đường thẳng qua M và vuông góc với d
- Tìm \[I=\Delta \cap d\]
- I là trung điểm của \[MM'\Rightarrow \] Tọa độ điểm \[M'\]
3. Tính chất
Tính chất 1
Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Tính chất 2
Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
4. Trục đối xứng của một hình
Định nghĩa:
Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến hình H thành chính nó. Khi đó ta nói H là hình có trục đối xứng.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Chứng minh/xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác,… qua phép đối xứng trục Đ \[_{d}\]
Cách giải:
Áp dụng định nghĩa Đ \[_{d}\left( M \right)\Leftrightarrow {{M}_{0}}M'=-\overrightarrow{{{M}_{0}}M}\] và tính chất của phép đối xứng trục kết hợp với dữ kiện đề bài.
Dạng 2. Tìm tọa độ điểm; phương trình đường thẳng, đường tròn qua phép đối xứng trục
Cách giải:
Áp dụng lí thuyết phần biểu thức tọa độ.
Dạng 3. Chỉ ra các hình có trục đối xứng
Cách giải:
Lấy điểm bất kì thuộc hình và chỉ ra ảnh của nó qua phép đối xứng trục cũng thuộc hình đó.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (trang 11 SGK Hình học 11)
Gọi \[A'\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),B'\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\] lần lượt là ảnh của \[A,B\] qua phép đối xứng trục \[Ox\].
Ta có:
Đ\(_{Ox}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1} = 1}\\ {{y_1} = 2} \end{array} \Rightarrow A'\left( {1;2} \right)} \right.\)
Đ\(_{Ox}(B) = B' \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_2} = 3}\\ {{y_2} = - 1} \end{array} \Rightarrow B'\left( {3; - 1} \right)} \right.\)
Đ \[_{Ox}(AB)=A'B'\]
Ta có: \[\overrightarrow{A'B'}\left( 2;-3 \right)\] \( \Rightarrow A'B':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1 + 2t}\\ {y = 2 - 3t} \end{array}\quad (t \in )} \right.\)
Bài 2. (trang 11 SGK Hình học 11)
Ta có: \[A\left( 0;2 \right);B\left( 1;5 \right)\in d\]
Gọi \[A'\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),B'\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\] lần lượt là ảnh của \[A,B\] qua phép đối xứng trục \[Oy\].
\[\Rightarrow A',B'\in d'\]
Đ\(_{Oy}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1} = 0}\\ {{y_1} = 2} \end{array} \Rightarrow A' \equiv A} \right.\)
Đ\(_{Oy}\left( B \right) = B' \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_2} = - 1}\\ {{y_2} = 5} \end{array} \Rightarrow B'\left( { - 1;5} \right)} \right.\)
Ta có \[\overrightarrow{AB'}\left( -1;3 \right)\] \( \Rightarrow A'B':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = - t}\\ {y = 2 + 3t} \end{array}\quad (t \in )} \right.\)
Bài 3. (trang 11 SGK Hình học 11)
Các chữ cái \[\text{V, I, E, T, A, M, W, O}\] là hình có trục đối xứng.
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 11 bài Bài 3. Phép đối xứng trục do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ