BÀI 3: NHỊ THỨC NEWTON
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Công thức nhị thức Niu-tơn
\[{{\left( a+b \right)}^{n}}={{C}_{n}}^{0}{{a}^{n}}+{{C}_{n}}^{1}{{a}^{n-1}}b+\ldots +{{C}_{n}}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}+\ldots +{{C}_{n}}^{n-1}a{{b}^{n-1}}+{{C}_{n}}^{n}{{b}^{n}}\left( 1 \right)\]
\[{{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}\]
2. Hệ quả
- Với \[a=b=1\], ta có: \[{{2}^{n}}={{C}_{n}}^{0}+{{C}_{n}}^{1}+\ldots +{{C}_{n}}^{n}\].
- Với \[a=1;b=1\], ta có: \[0={{C}_{n}}^{0}{{C}_{n}}^{1}+\ldots +{{\left( 1 \right)}^{k}}{{C}_{n}}^{k}+\ldots +\left( 1 \right){{C}_{n}}^{n}.\]
3. Chú ý
Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1):
- Số các hạng tử là \[n+1\];
- Tổng số mũ của \[a\] và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức:
\[\left( n-k \right)+k=n\]
- Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.
- Số hạng tổng quát của nhị thức là: \[{{T}_{k+1}}=C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}\] (Đó là số hạng thứ \[k+1\] trong khai triển \[{{\left( a+b \right)}^{n}}\] )
4. Tam giác Pascal trong khai triển nhị thức Newton
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm số hạng, hệ số chứa \[{{x}^{\alpha }}\] trong khai triển
Cách giải:
- Viết khai triển \[~{{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}\];
- Biến đổi khai triển thành \[{{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{A}.{{x}^{f(k)}}\] ;
- Số hạng chứa \[{{x}^{\alpha }}\] tương ứng với số hạng chứa \[k\] thỏa mãn \[f\left( k \right)=\alpha \] .
- Từ đó suy ra số hạng cần tìm.
Dạng 2. Ứng dụng của nhị thức Newton trong các bài toán liên quan đến \[C_{n}^{k}\] .
Cách giải:
- Chọn một khai triển \[{{\left( a+x \right)}^{n}}\] phù hợp với \[a\] là hằng số.
- Sử dụng các phép biến đổi đại số hoặc lấy đạo hàm, tích phân.
- Dựa vào điều kiện bài toán, thay \[x\] bởi một giá trị cụ thể.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (SGK Đại số 11 trang 57)
a) \[{{\left( a+2b \right)}^{2}}\]
\[=C_{5}^{0}{{a}^{5}}+C_{5}^{1}{{a}^{4}}.2b+C_{5}^{2}{{a}^{3}}{{\left( 2b \right)}^{2}}+C_{5}^{3}{{a}^{2}}{{\left( 2b \right)}^{3}}+C_{5}^{4}a{{\left( 2b \right)}^{4}}+C_{5}^{5}{{\left( 2b \right)}^{5}}\]
\[=C_{5}^{0}{{a}^{5}}+2C_{5}^{1}{{a}^{4}}b+{{2}^{2}}C_{5}^{2}{{a}^{3}}{{b}^{2}}+{{2}^{3}}C_{5}^{3}{{a}^{2}}{{b}^{3}}+{{2}^{4}}C_{5}^{4}a{{b}^{4}}+{{2}^{5}}C_{5}^{5}{{b}^{5}}\]
b) \[{{\left( a-\sqrt{2} \right)}^{6}}\]
\[=C_{6}^{0}{{a}^{6}}+C_{6}^{1}{{a}^{5}}\left( -\sqrt{2} \right)+C_{6}^{2}{{a}^{4}}{{\left( -\sqrt{2} \right)}^{2}}+C_{6}^{3}{{a}^{3}}{{\left( -\sqrt{2} \right)}^{3}}+C_{6}^{4}{{a}^{2}}{{\left( \sqrt{2} \right)}^{4}}+C_{6}^{5}a{{\left( -\sqrt{2} \right)}^{5}}+C_{6}^{6}{{\left( -\sqrt{2} \right)}^{6}}\]
\[=C_{6}^{0}{{a}^{6}}-\sqrt{2}C_{6}^{1}{{a}^{5}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}C_{6}^{2}{{a}^{4}}-{{\left( \sqrt{2} \right)}^{3}}C_{6}^{3}{{a}^{3}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{4}}C_{6}^{4}{{a}^{2}}-{{\left( \sqrt{2} \right)}^{5}}C_{6}^{5}a+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{6}}C_{6}^{6}\]
c) \[{{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{13}}\]
\[=C_{13}^{0}{{x}^{13}}+C_{13}^{1}{{x}^{12}}\left( -\frac{1}{x} \right)+C_{13}^{2}{{x}^{11}}{{\left( -\frac{1}{x} \right)}^{2}}+...+C_{13}^{12}x{{\left( -\frac{1}{x} \right)}^{12}}+C_{13}^{13}{{\left( -\frac{1}{x} \right)}^{13}}\]
\[=C_{13}^{0}{{x}^{13}}-C_{13}^{1}{{x}^{11}}+C_{13}^{2}{{x}^{9}}-...+C_{13}^{12}\frac{1}{{{x}^{11}}}-C_{13}^{13}\frac{1}{{{x}^{13}}}\]
Bài 2. (SGK Đại số 11 trang 58)
\[{{\left( x+\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{6}}=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{x}^{k}}{{\left( \frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{6-k}}}=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{x}^{3k-12}}{{.2}^{6-k}}}\]
Ta có : \[3k-12=3\Leftrightarrow k=5\]
Vậy hệ số của \[{{x}^{3}}\] là \[2.C_{6}^{5}\]
Bài 3. (SGK Đại số 11 trang 58)
\[{{\left( 1-3x \right)}^{n}}\]
\[=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{1}^{k}}.{{\left( -3x \right)}^{n-k}}}\]
\[=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( -3 \right)}^{n-k}}C_{n}^{k}{{x}^{n-k}}}\]
Theo bài ra ta có :
\[n-k=2;{{\left( -3 \right)}^{n-k}}C_{n}^{k}=90\]
\[\Leftrightarrow k=n-2;{{\left( -3 \right)}^{2}}C_{n}^{k}=90\]
\[\Rightarrow C_{n}^{k}=10\Leftrightarrow C_{n}^{n-2}=10\]
\[\Leftrightarrow \frac{n!}{2!\left( n-2 \right)!}=10\]
\[\Leftrightarrow n\left( n-1 \right)=20\]
\[\Leftrightarrow n=-4\] (loại); \[n=5\]
Bài 4. (SGK Đại số 11 trang 58)
\[{{\left( {{x}^{3}}+\frac{1}{x} \right)}^{8}}=\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}{{x}^{3k}}{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{8-k}}}=\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}{{x}^{4k-8}}}\]
Ta có : \[4k-8=0\Leftrightarrow k=2\]
Vậy số hạng không chứa x là \[C_{8}^{2}\] .
Bài 5. (SGK Đại số 11 trang 58)
\[{{\left( 3x-14 \right)}^{17}}\]
\[=C_{17}^{0}{{\left( 3x \right)}^{17}}+C_{17}^{1}{{\left( 3x \right)}^{16}}.\left( -4 \right)+C_{17}^{2}{{\left( 3x \right)}^{15}}.{{\left( -4 \right)}^{2}}+C_{17}^{3}{{\left( 3x \right)}^{14}}.{{\left( -4 \right)}^{3}}+...+C_{17}^{16}3x.{{\left( -4 \right)}^{16}}+C_{17}^{17}{{\left( -4 \right)}^{17}}\]
\[={{3}^{17}}C_{17}^{0}{{x}^{17}}-{{3}^{16}}.4C_{17}^{1}{{x}^{16}}+{{3}^{15}}{{.4}^{2}}C_{17}^{2}{{x}^{15}}-{{3}^{14}}{{.4}^{3}}C_{17}^{3}{{x}^{14}}+...+{{3.4}^{16}}C_{17}^{16}x-{{4}^{17}}C_{17}^{17}\]
Chọn \[x=1\] ta có :
\[{{3}^{17}}C_{17}^{0}-{{3}^{16}}.4C_{17}^{1}+{{3}^{15}}{{.4}^{2}}C_{17}^{2}-{{3}^{14}}{{.4}^{3}}C_{17}^{3}+...+{{3.4}^{16}}C_{17}^{16}-{{4}^{17}}C_{17}^{17}={{\left( 3.1-4 \right)}^{17}}=-1\]
Bài 6. (SGK Đại số 11 trang 58)
a) \[{{11}^{10}}={{\left( 10+1 \right)}^{10}}\]
\[=C_{10}^{0}{{.10}^{10}}+C_{10}^{1}{{.10}^{9}}.1+C_{10}^{2}{{.10}^{8}}{{.1}^{2}}+...+C_{10}^{9}{{.10.1}^{9}}+C_{10}^{10}{{.1}^{10}}\]
\[=C_{10}^{0}{{.10}^{10}}+C_{10}^{1}{{.10}^{9}}+C_{10}^{2}{{.10}^{8}}+...+C_{10}^{9}.10+C_{10}^{10}\]
\[\Rightarrow {{11}^{10}}-1=C_{10}^{0}{{.10}^{10}}+C_{10}^{1}{{.10}^{9}}+C_{10}^{2}{{.10}^{8}}+...+C_{10}^{9}.10+C_{10}^{10}-1\]
\[=C_{10}^{0}{{.10}^{10}}+C_{10}^{1}{{.10}^{9}}+C_{10}^{2}{{.10}^{8}}+...+C_{10}^{9}.10\]
\[\Rightarrow \left( C_{10}^{0}{{.10}^{10}}+C_{10}^{1}{{.10}^{9}}+C_{10}^{2}{{.10}^{8}}+...+C_{10}^{8}{{.10}^{2}}+10.10 \right)\vdots 100\]
\[\Rightarrow \left( {{11}^{10}}-1 \right)\vdots 100\]
b) \[{{101}^{100}}={{\left( 100+1 \right)}^{100}}\]
\[=C_{100}^{0}{{.100}^{100}}+C_{100}^{1}{{.100}^{99}}+C_{100}^{2}{{.100}^{98}}+...+C_{100}^{98}{{.100}^{2}}+C_{100}^{99}.100+C_{100}^{100}\]
\[\Rightarrow {{101}^{100}}-1=C_{100}^{0}{{.100}^{100}}+C_{100}^{1}{{.100}^{99}}+C_{100}^{2}{{.100}^{98}}+...+C_{100}^{98}{{.100}^{2}}+C_{100}^{99}.100\]
\[\Rightarrow \left( C_{100}^{0}{{.100}^{100}}+C_{100}^{1}{{.100}^{99}}+C_{100}^{2}{{.100}^{98}}+...+C_{100}^{98}{{.100}^{2}}+100.100 \right)\vdots 10000\]
\[\Rightarrow \left( {{101}^{100}}-1 \right)\vdots 10000\]
c) \[{{\left( 1+\sqrt{10} \right)}^{100}}=C_{100}^{0}+C_{100}^{1}\sqrt{10}+C_{100}^{2}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{2}}+C_{100}^{3}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{3}}+...+C_{100}^{99}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{99}}+C_{100}^{100}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{100}}\]
\[{{\left( 1-\sqrt{10} \right)}^{100}}=C_{100}^{0}-C_{100}^{1}\sqrt{10}+C_{100}^{2}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{2}}-C_{100}^{3}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{3}}+...-C_{100}^{99}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{99}}+C_{100}^{100}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{100}}\]
\[\Rightarrow {{\left( 1+\sqrt{10} \right)}^{100}}-{{\left( 1-\sqrt{10} \right)}^{100}}=2\left( C_{100}^{1}\sqrt{10}+C_{100}^{3}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{3}}+C_{100}^{5}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{5}}+...+C_{100}^{97}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{97}}+C_{100}^{99}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{99}} \right)\] \[=2\sqrt{10}\left( C_{100}^{1}+C_{100}^{3}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{2}}+C_{100}^{5}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{4}}+...+C_{100}^{97}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{96}}+C_{100}^{99}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{98}} \right)\]
\[=2\sqrt{10}.P\]
\[\Rightarrow \sqrt{10}\left[ {{\left( 1+\sqrt{10} \right)}^{100}}-{{\left( 1-\sqrt{10} \right)}^{100}} \right]=\sqrt{10}.2\sqrt{10}.P=20P\]
\[\Rightarrow \sqrt{10}\left[ {{\left( 1+\sqrt{10} \right)}^{100}}-{{\left( 1-\sqrt{10} \right)}^{100}} \right]\] là số nguyên.
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa bài tập nhị thức niu tơn lớp 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất.