BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
I. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong \[\left( \alpha \right)\].
Khi đó ta còn nói \[\left( \alpha \right)\] vuông góc với d và kí hiệu \[d\bot \left( \alpha \right)\] hoặc \[\left( \alpha \right)\bot d\].
II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
III. Tính chất
- Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
- Mặt phẳng đi qua trung điểm \[I\] của đoạn thẳng \[AB\] và vuông góc với đường thẳng \[AB\] là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \[AB\] .
- Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
IV. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Tính chất 1:
- Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
- Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Tính chất 2:
- Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
- Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Tính chất 3:
- Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (α) thì cũng vuông góc với
- Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.
V. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc
1. Phép chiếu vuông góc
- Cho đường thẳng \[\Delta \] vuông góc với mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] . Phép chiếu song song theo phương \[\Delta \] lên mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] .
- Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng có đầy đủ tính chất của phép chiếu song song.
2. Định lí ba đường vuông góc
Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] và b là đường thẳng không thuộc \[\left( \alpha \right)\] đồng thời không vuông góc với \[\left( \alpha \right)\] . Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên \[\left( \alpha \right)\] . Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’
3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Định nghĩa:
Cho đường thẳng d và mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] .
- Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] bằng \[{{90}^{0}}\] .
- Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] thì góc giữa d và hình chiếu d’ của nó trên \[\left( \alpha \right)\] được gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] .
Chú ý: Nếu \[\varphi =\left( d,\left( \alpha \right) \right)\] thì \[{{0}^{0}}\le \varphi \le {{90}^{0}}\] .
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Xác định các khẳng định đúng, sai.
Cách giải:
Nắm vững lí thuyết về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng từ đó xác định được tính đúng/sai của khẳng định.
Dạng 2. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Cách giải:
Muốn chứng minh \[a\bot \left( \alpha \right)\] người ta thường dùng một trong hai cách sau đây :
- Cách 1: Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong \[\left( \alpha \right)\] .
- Cách 2: Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b mà b vuông góc với \[\left( \alpha \right)\] .
Dạng 3. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Cách giải:
Muốn chứng minh \[a\bot b\] người ta thường dùng một trong hai cách sau đây :
- Cách 1: Chứng minh đường thẳng a vuông góc mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] với \[b\subset \left( \alpha \right)\]
- Cách 2: Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
Dạng 4. Tính góc gữa đường thẳng và mặt phẳng
Cách giải:
- Bước 1: Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
- Bước 2: Sử dụng hệ thức lượng, định lí sin, cosin,…
Chú ý:
- Cho đường thẳng \[d\] và mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\]
- Nếu đường thẳng \[d\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng \[d\] và mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] bằng \[{{90}^{0}}\] .
- Nếu đường thẳng \[d\] không vuông góc với mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] thì góc giữa đường thẳng \[d\] và hình chiếu \[d'\] của nó trên \[\left( \alpha \right)\] gọi là góc giữa đường thẳng \[d\] và mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] .
- Để xác định góc giữa \[d\] và \[\left( \alpha \right)\] , ta làm như sau:
- Xác định giao điểm O của \[d\] và \[\left( \alpha \right)\]
- Lấy một điểm \[A\] trên \[d\] ( \[A\] khác \[O\] ). Xác định hình chiếu vuông góc \[H\] của \[A\] lên \[\left( \alpha \right)\] . Lúc đó \[\left( d,\left( \alpha \right) \right)=\left( d,{{d}^{\prime }} \right)=\widehat{AOH}.\]
- Nếu \[\alpha \] là góc giữa đường thẳng \[d\] và mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] thì ta luôn có \[{{0}^{0}}\le \alpha \le {{90}^{0}}\] .
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (SGK hình học 11 trang 104)
a, Đúng
b, Sai
c, Sai
d, Sai
Bài 2. (SGK hình học 11 trang 104)
a) Ta có \[BC\bot AI\] ( \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] )
\[BC\bot DI\] ( \[\Delta BCD\] cân tại \[D\] )
\[\Rightarrow BC\bot \left( ADI \right)\]
b) Ta có \(\left. \begin{array}{l} AH \subset \left( {ADI} \right)\\ BC \bot \left( {ADI} \right) \end{array} \right\} \Rightarrow AH \bot BC\)
Mặt khác, \[AH\bot DI\] (Vì AH là đường cao của \[\Delta ADI\] )
\[\Rightarrow AH\bot \left( BCD \right)\]
Bài 3. (SGK hình học 11 trang 104)
a) Ta có \[SO\bot AC\] ( \[\Delta SAC\] cân tại \[S\] có O là trung điểm AC)
\[SO\bot BD\] ( \[\Delta SBD\] cân tại \[S\] có O là trung điểm BD)
\[\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)\]
b) Ta có \[AC\bot BD\] ( \[ABCD\] là hình thoi)
\[SO\bot AC\]
\[\Rightarrow AC\bot \left( SBD \right)\]
Chứng minh tương tự ta có \[BD\bot \left( SAC \right)\]
Bài 4. (SGK hình học 11 trang 105)
a) Gọi \[E=AH\cap BC\]
Ta có \[OH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow OH\bot BC\] (vì \[BC\subset \left( ABC \right)\] ) (1)
Mặt khác, \(\left. \begin{array}{l} OA \bot OB\\ OA \bot OC \end{array} \right\} \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right)\)
\[\Rightarrow OA\bot BC\] (vì \[BC\subset \left( OBC \right)\] ) (2)
Từ (1) và (2) \[\Rightarrow BC\bot \left( OAE \right)\Rightarrow BC\bot AE\]
Chứng minh tương tự ta có \[\Rightarrow CH\bot AB\]
\[\Rightarrow H\] là trực tâm \[\Delta ABC\]
b) \[\Delta OAE\] vuông tại O có OH là đường cao
\[\Rightarrow \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{E}^{2}}}\]
\[\Delta OBC\] vuông tại O có OE là đường cao
\[\Rightarrow \frac{1}{O{{E}^{2}}}=\frac{1}{O{{B}^{2}}}+\frac{1}{O{{C}^{2}}}\]
\[\Rightarrow \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}+\frac{1}{O{{C}^{2}}}\]
Bài 5. (SGK hình học 11 trang 105)
a) Ta có \[SO\bot AC\] ( \[\Delta SAC\] cân tại \[S\] có O là trung điểm AC)
\[SO\bot BD\] ( \[\Delta SBD\] cân tại \[S\] có O là trung điểm BD)
\[\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SO\bot \left( \alpha \right)\]
b) Ta có \[AB\bot SO\] (Vì \[SO\bot \left( ABCD \right)\] )
\[AB\bot SH\]
\[\Rightarrow AB\bot \left( SOH \right)\]
Bài 6. (SGK hình học 11 trang 105)
a) Ta có \[BD\bot SA\] (vì \[SA\bot \left( ABCD \right);BD\subset \left( ABCD \right)\] )
\[BD\bot AC\] ( \[ABCD\] là hình thoi)
\[\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot SC\left( SC\subset \left( SAC \right) \right)\]
b) Ta có \[\frac{SI}{SB}=\frac{SK}{SD}\Rightarrow IK//BD\] (định lí Talet đảo)
Mà \[BD\bot \left( SAC \right)\]
\[\Rightarrow IK\bot \left( SAC \right)\]
Bài 7. (SGK hình học 11 trang 105)
a) Ta có \[BC\bot SA\] (vì \[SA\bot \left( ABC \right);BC\subset \left( ABC \right)\] )
\[BC\bot AB\] ( \[\Delta ABC\] vuông tại B)
\[\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\]
Ta có \(\left. \begin{array}{l} AM \bot SB\\ AM \bot BC\left( {BC \bot \left( {SAB} \right)} \right) \end{array} \right\} \Rightarrow AM \bot \left( {SBC} \right)\)
b) Ta có \[BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB\]
Mà \[\frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SC}\Rightarrow BC//MN\] (định lí Talet đảo)
\[\Rightarrow MN\bot SB\]
Mặt khác, \[AM\bot SB\]
\[\Rightarrow SB\bot \left( AMN \right)\Rightarrow SB\bot AN\]
Bài 8. (SGK hình học 11 trang 105)
a) Giả sử SN là một đường xiên khác SM.
Ta có \[AM=SN\]
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta SHM = \Delta SHN\\ \Leftrightarrow HM = HN \end{array}\)
b) Trong tam giác vuông SHM có: \[S{{M}^{2}}=S{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}\]
Trong tam giác vuông SHN có: \[S{{N}^{2}}=S{{H}^{2}}+H{{N}^{2}}\]
- Chiều \[\left[ \Rightarrow \right]\] : Nếu \[SN>SM\] thì \[HN>HM\]
Ta có \[SN>SM\Leftrightarrow S{{H}^{2}}+H{{N}^{2}}>S{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}\Leftrightarrow HN>HM\]
- Chiều \[\left[ \Leftarrow \right]\] : Nếu \[HN>HM\] thì \[SN>SM\]
Ta có \[HN>HM\]
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow H{N^2} > H{M^2}\\ \Leftrightarrow S{N^2} - S{H^2} > S{M^2} - S{H^2}\\ \Leftrightarrow S{N^2} > S{M^2}\\ \Leftrightarrow SN > SM \end{array}\)
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa hai đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất