BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Phương trình \[\sin x=a\]
* Nếu \[\left| a \right|>1\] , phương trình vô nghiệm.
* Nếu \[\left| a \right|\le 1\] , phương trình có nghiệm \(\left[ \begin{array}{l} x = \arcsin a + k2\pi \\ x = \pi - \arcsin a + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
với \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{\pi }{2} \le \alpha \le \frac{\pi }{2}\\ \sin \alpha = a \end{array} \right.\)
Chú ý:
- Nếu \[\sin x=\sin \alpha \] thì \(\left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in } \right)\)
Tổng quát, \(\sin f\left( x \right) = \sin g\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( x \right) = g\left( x \right) + k2\pi \\ f\left( x \right) = \pi - g\left( x \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
- Nếu \[\sin x=\sin {{\beta }^{0}}\] thì \(\left[ \begin{array}{l} x = \beta + k{360^0}\\ x = {180^0} - \beta + k{360^0} \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
- \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
- \(\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
- \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
2. Phương trình \[\cos x=a\]
* Nếu \[\left| a \right|>1\] , phương trình vô nghiệm.
* Nếu \[\left| a \right|\le 1\] , phương trình có nghiệm \(x = \pm \arccos a + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l} 0 \le \alpha \le \pi \\ \cos \alpha = a \end{array} \right.\)
Chú ý:
- Nếu \[\cos x=\cos \alpha \] thì \(x = \pm \alpha + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Tổng quát, \(\cos f\left( x \right) = \cos g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = \pm g\left( x \right) + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
- Nếu \[\cos x=\cos {{\beta }^{0}}\] thì \(x = \pm \beta + k{360^0}\left( {k \in Z} \right)\)
- \(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
- \(\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
- \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
3. Phương trình \[\tan x=a\]
Điều kiện: \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
\(\tan x = a \Leftrightarrow x = \arctan a + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Chú ý:
- Nếu \[\tan x=\tan \alpha \] thì \(x = \alpha + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Tổng quát, \(\tan f\left( x \right) = \tan g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
- Nếu \[\tan x=\tan {{\beta }^{0}}\] thì \(x = \beta + k{180^0}\left( {k \in Z} \right)\)
4. Phương trình \[\cot x=a\]
Điều kiện: \(x \ne k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
\(\cot x = a \Leftrightarrow x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} a + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Chú ý:
- Nếu \[\cot x=\cot \alpha \] thì \(x = \alpha + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Tổng quát, \(\cot f\left( x \right) = \cot g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
- Nếu \[\cot x=\cot {{\beta }^{0}}\] thì \(x = \beta + k{180^0}\left( {k \in Z} \right)\)
Ghi nhớ:
- Mỗi phương trình \[\sin x=a\left( \left| a \right|\le 1 \right),\cos x=a\left( \left| a \right|\le 1 \right)\] ,\(\tan x = a\), \[\cot x=a\] có vô số nghiệm.
- Giải các phương trình trên là tìm tất cả các nghiệm của chúng.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản
Cách giải:
Áp dụng cách giải các phương trình \[\sin \] \[\sin x=a\left( \left| a \right|\le 1 \right),\cos x=a\left( \left| a \right|\le 1 \right)\] , \[\tan x=a\] , \[\cot x=a\]
Dạng 2. Giải các phương trình đưa về phương trình lượng giác cơn bản
Cách giải:
Sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi phương trình về các phương trình lượng giác cơ bản rồi giải.
Lưu ý điều kiện đối với các phương trình chứa \[\tan ,\cot \] , mẫu số, căn thức,…
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (SGK Đại số 11 trang 28)
a) \[\sin \left( x+2 \right)=\frac{1}{3}\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + 2 = \arcsin \frac{1}{3} + k2\pi \\ x + 2 = \pi - \arcsin \frac{1}{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right) \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2 + arc\sin \frac{1}{3} + k2\pi \\ x = - 2 + \pi - \arcsin \frac{1}{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right) \end{array} \right.\)
b) \[\sin 3x=1\]
\( \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\left( {k \in Z} \right)\)
c) \[\sin \left( \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3} \right)=0\]
\( \Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3} = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} = \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{3\pi }}{2}\left( {k \in Z} \right)\)
d) \[\sin \left( 2x+{{20}^{0}} \right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x + {20^0} = - {60^0} + k{360^0}\\ 2x + {20^0} = {240^0} + k{360^0} \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = - {80^0} + k{360^0}\\ 2x = {220^0} + k{360^0} \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - {40^0} + k{180^0}\\ x = {110^0} + k{180^0} \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Bài 2. (SGK Đại số 11 trang 28)
Ta có : \[\sin 3x=\sin x\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = x + k2\pi \\ 3x = \pi - x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi \\ x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2} \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Vậy với \(\left[ \begin{array}{l} x = k\pi \\ x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2} \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 3. (SGK Đại số 11 trang 28)
a) \[\cos \left( x-1 \right)=\frac{2}{3}\]
\[\Leftrightarrow x-1=\pm \arccos \frac{2}{3}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
\[\Leftrightarrow x=1\pm \arccos \frac{2}{3}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
b) \[\cos x=\cos {{12}^{0}}\]
\[\Leftrightarrow 3x=\pm {{12}^{0}}+k{{360}^{0}}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
\[\Leftrightarrow x=\pm {{4}^{0}}+k{{120}^{0}}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
c) \[\cos \left( \frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{-1}{2}\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\ \frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4} = \frac{{ - 2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{3x}}{2} = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \\ \frac{{3x}}{2} = \frac{{ - 5\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{11\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}\\ x = \frac{{ - 5\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3} \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
d) \[{{\cos }^{2}}\left( 2x \right)=\frac{1}{4}\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 2x = - \frac{1}{2}\\ \cos 2x = \frac{1}{2} \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\ 2x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \\ x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Bài 4. (SGK Đại số 11 trang 29)
Điều kiện: \[1-\sin 2x\ne 0\Leftrightarrow \sin 2x\ne 1\Leftrightarrow 2x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\] .
Phương trình \[\Leftrightarrow 2\cos 2x=0\Leftrightarrow \cos 2x=0\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\] .
Đối chiếu với điều kiện ta có : \[x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\] .
Bài 5. (SGK Đại số 11 trang 29)
a) \[\tan \left( x-{{15}^{0}} \right)=\frac{\sqrt{3}}{3}\] (1)
Điều kiện : \[x-{{15}^{0}}\ne {{90}^{0}}+k{{180}^{0}}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
\[\Leftrightarrow x\ne {{105}^{0}}+k{{180}^{0}}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
(1) \[\Leftrightarrow x-{{15}^{0}}={{30}^{0}}+k{{180}^{0}}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
\[\Leftrightarrow x={{45}^{0}}+k{{180}^{0}}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\] (thỏa mãn điều kiện)
b) \[\cot \left( 3x-1 \right)=-\sqrt{3}\] (2)
Điều kiện : \[3x-1\ne k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
\[\Leftrightarrow x\ne \frac{1}{3}+k\frac{\pi }{3}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
(2) \[\Leftrightarrow 3x-1=\frac{-\pi }{6}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
\[\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\] (thỏa mãn điều kiện)
c) \[\cos 2x.\tan x=0\] (3)
Điều kiện : \[x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
(3)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 2x = 0\\ \tan x = 0 \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x = k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\\ x = k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\) (thỏa mãn điều kiện)
d) \[\sin 3x.\cot x=0\] (4)
Điều kiện : \[x\ne k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
(4)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin 3x = 0\\ \cot x = 0 \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = k\pi \\ x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\frac{\pi }{3}\\ x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\) (thỏa mãn điều kiện)
Bài 6. (SGK Đại số 11 trang 29)
Ta có : \[\tan 2x=\tan \left( \frac{\pi }{4}-x \right)\]
\[\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{4}-x+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
\[\Leftrightarrow 3x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
\[\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
Vậy với \[x=\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\] thì giá trị của các hàm số \[y=\tan \left( \frac{\pi }{4}-x \right)\] và \[y=\tan 2x\] bằng nhau.
Bài 7. (SGK Đại số 11 trang 29)
a) \[\sin 3x-\cos 5x=0\]
\[\Leftrightarrow \sin 3x=\cos 5x\]
\[\Leftrightarrow \sin 3x=\sin \left( \frac{\pi }{2}-5x \right)\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = \frac{\pi }{2} - 5x + k2\pi \\ 3x = \frac{\pi }{2} + 5x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in 2} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 8x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ - 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{4}\\ x = - \frac{\pi }{4} - k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
b) \[\tan 3x.\tan x=1\] (*)
Điều kiện : \(\left\{ \begin{array}{l} 3x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
(*) \[\Leftrightarrow \tan 3x=\frac{1}{\tan x}\]
\[\Leftrightarrow \tan 3x=\cot x\]
\[\Leftrightarrow \tan 3x=\tan \left( \frac{\pi }{2}-x \right)\]
\[\Leftrightarrow 3x=\frac{\pi }{2}-x+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
\[\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{4}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\] (thỏa mãn điều kiện)
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 11 bài Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ