Bài 2. Giới hạn của hàm số

BÀI 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

A. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Cho khoảng K chứa điểm \[{{x}_{0}}\] và hàm số \[y=f(x)\] xác định trên K hoặc trên \[K\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}\] .

Ta nói hàm số \[y=f(x)\] có giới hạn là số L khi x dần tới \[{{x}_{0}}\] nếu với dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right)\] bất kì, \[{{x}_{n}}\in K\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}\] và \[{{x}_{n}}\to {{x}_{0}}\] , ta có \[f\left( {{x}_{n}} \right)\to L\] .

Kí hiệu: \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\] hay \[f(x)\to L\] khi \[x\to {{x}_{0}}\] .

Nhận xét

\[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,x={{x}_{0}};\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,c=c\] , với c là hằng số.

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

a) Giả sử \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\] và \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=M\] . Khi đó

• \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x)+g(x) \right]=L+M\]
• \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x)-g(x) \right]=L-M\]
• \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x).g(x) \right]=L.M\]
• \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}\] (nếu \[M\ne 0\] )

b) Nếu \(f(x) \ge 0\) và \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\] , thì

\[L\ge 0\] và \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}\] .

(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với \[x\ne {{x}_{0}}\] ).

3. Giới hạn một bên

Trong dịnh nghĩa 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi \[x\to {{x}_{0}}\] , ta xét dãy số \[({{x}_{n}})\] bất kì, \[{{x}_{n}}\in \left( a;b \right)\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}\] và \[{{x}_{n}}\to {{x}_{0}}\] . Giá trị \[{{x}_{n}}\] có thể lớn hơn hay nhỏ hơn \[{{x}_{0}}\] .

Nếu ta chỉ xét các dãy \[({{x}_{n}})\] mà \[{{x}_{n}}\] luôn lớn hơn \[{{x}_{0}}\] (hay luôn nhỏ hơn \[{{x}_{0}}\] ), thì ta có định nghĩa giới hạn một bên dưới đây.

Định nghĩa 2

• Cho hàm số \[y=f(x)\] xác định trên khoảng \[({{x}_{0}};b)\] .

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số \[y=f(x)\] khi \[{{x}_{n}}\to {{x}_{0}}\] nếu với dãy số \[({{x}_{n}})\] bất kì, \[{{x}_{0}}<{{x}_{n}} và \[{{x}_{n}}\to {{x}_{0}}\] , ta có \[f({{x}_{n}})\to L\] .

Kí hiệu: \[\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\] .

• Cho hàm số \[y=f(x)\] xác định trên khoảng \[(a;{{x}_{0}})\] .

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số \[y=f(x)\] khi \[x\to {{x}_{0}}\] nếu với dãy số \[({{x}_{n}})\] bất kì, \[a<{{x}_{n}}<{{x}_{0}}\] và \[{{x}_{n}}\to {{x}_{0}}\] , ta có \[f({{x}_{n}})\to L\] .

Kí hiệu: \[\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\] .

Định lí 2

\[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\] khi và chỉ khi \[\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\] .

II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Định nghĩa 3

a) Cho hàm số \[y=f(x)\] xác định trên khoảng \[(a;+\infty )\] .

Ta nói hàm số \[y=f(x)\] có giới hạn là số L khi \[x\to +\infty \] nếu với dãy số \[({{x}_{n}})\] bất kì, \[{{x}_{n}}>a\] và \[{{x}_{n}}\to +\infty \] , ta có \[f({{x}_{n}})\to L\] .

Kí hiệu: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\] hay \[f(x)\to L\] khi \[x\to +\infty \] .

b) Cho hàm số \[y=f(x)\] xác định trên khoảng \[(-\infty ;a)\] .

Ta nói hàm số \[y=f(x)\] có giới hạn là số L khi \[x\to -\infty \] nếu với dãy số \[({{x}_{n}})\] bất kì, \[{{x}_{n}} và \[{{x}_{n}}\to -\infty \] , ta có \[f({{x}_{n}})\to L\] .

Kí hiệu: \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\] hay \[f(x)\to L\] khi \[x\to -\infty \] .

Chú ý

a) Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,c=c;\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,c=c;\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{c}{{{x}^{k}}}=0;\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,~\frac{c}{{{x}^{k}}}=0\]

b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi \[x\to {{x}_{0}}\] vẫn còn đúng khi \[x\to +\infty \] hoặc \[x\to -\infty \] .

III. Giới hạn vô cực của hàm số

1. Giới hạn vô cực

Định nghĩa 4

Cho hàm số \[y=f(x)\] xác định trên khoảng \[(a;+\infty )\] .

Ta nói hàm số \[y=f(x)\] có giới hạn là \[-\infty \] khi \[x\to +\infty \] \[x\to +\infty \] nếu với dãy số \[({{x}_{n}})\] bất kì, \[{{x}_{n}}>a\] và \[{{x}_{n}}\to +\infty \] , ta có \[f({{x}_{n}})\to -\infty \] .

Kí hiệu: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty \] hay \[f(x)\to -\infty \] khi \[x\to +\infty \] .

Nhận xét

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \Leftrightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(-f(x))=-\infty \] .

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{k}}=+\infty \] với k nguyên dương.

b) \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{k}}=-\infty \] nếu k là số lẻ.

c) \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{k}}=+\infty \] nếu k là số chẵn.

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích \[f(x).g(x)\]

Nếu \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\ne 0\] và \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=+\infty \] (hoặc \[-\infty \] ) thì \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)g(x)\] được tính theo quy tắc sau:

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương \[\frac{f(x)}{g(x)}\]

(Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với \[x\ne {{x}_{0}}\] ).

Chú ý

Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp \[x\to x_{0}^{+},x\to x_{0}^{-},x\to +\infty \] và \[x\to -\infty \] .

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Tìm giới hạn của hàm số bằng cách sử dụng trực tiếp các định nghĩa

Cách giải:

+, Để tìm \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\] ta làm như sau:

• Xét dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right)\] bất kì thuộc tập xác định với \[{{x}_{n}}\ne {{x}_{0}}\] và \[\lim {{x}_{n}}={{x}_{0}}\]
• Nếu \[\lim f\left( {{x}_{n}} \right)=L\] thì \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\] . Nếu \[\lim f\left( {{x}_{n}} \right)=\pm \infty \] thì \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\pm \infty \]

+, Để tìm \[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\] ta làm như sau:

• Xét dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right)\] bất kì thuộc tập xác định mà \[\lim {{x}_{n}}=\pm \infty \]
• Nếu \[\lim f\left( {{x}_{n}} \right)=L\] thì \[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\] . Nếu \[\lim f\left( {{x}_{n}} \right)=\pm \infty \] thì \[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\pm \infty \] hoặc \[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\mp \infty \] .

Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số tại một điểm bằng cách sử dụng định lí và quy tắc

Cách giải:

Để tìm \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\] ta làm như sau: Thay trực tiếp giá trị \[x={{x}_{0}}\] vào \[f\left( x \right)\]

• Nếu kết quả bằng hằng số \[L\] thì kết luận \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( {{x}_{0}} \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)=L\]
• Nếu kết quả bằng \[\frac{0}{0}\] ta cần khử bằng cách: rút gọn, nhân liên hợp, đưa về tổng (hiệu) các giới hạn,…

Chú ý: Làm tương tự đối với trường hợp giới hạn một bên.

Dạng 3. Tìm giới hạn của hàm số khi \[x\to \pm \infty \]

Cách giải:

• Chia cả tử và mẫu (hoặc đặt nhân tử chung) cho \[{{x}^{k}}\] với \[k\] là bậc lớn nhất của hàm số
• Áp dụng các định lí, quy tắc về giới hạn rồi rút ra kết luận

Chú ý: Nếu gặp dạng vô định \[\frac{\infty }{\infty };0\times \infty ;\infty -\infty \] thì ta khử bằng cách: rút gọn, nhân liên hợp, quy đồng mẫu số …

Dạng 4. Chứng minh sự tồn tại của giới hạn

Cách giải:

• \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\Leftrightarrow \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\]
• \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\pm \infty \Leftrightarrow \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\pm \infty \]

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1. SGK Đại số 11 trang 132

a) \[\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{3x-2}\]

Hàm số \[f\left( x \right)=\frac{x+1}{3x-2}\] xác định trên \[R\backslash \left\{ \frac{2}{3} \right\}\] và \[x=4\in \left( \frac{2}{3};+\infty  \right)\]

Giả sử \[\left( {{x}_{n}} \right)\] là một dãy số bất kì thỏa mãn \[x\in \left( \frac{2}{3};+\infty  \right)\] và \[{{x}_{n}}\to 4\] khi \[n\to +\infty \] .

Ta có: \[\lim f\left( {{x}_{n}} \right)=\lim \frac{{{x}_{n}}+1}{3{{x}_{n-2}}}=\frac{4+1}{3.4-2}=\frac{1}{2}\]

\[\Rightarrow \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{3x-2}=\frac{1}{2}\]

b) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2-5{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+3}\]

Hàm số \[f\left( x \right)=\frac{2-5{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+3}\] xác định trên R.

Giả sử \[\left( {{x}_{n}} \right)\] là một dãy số bất kì thỏa mãn \[{{x}_{n}}\to +\infty \] khi \[n\to +\infty \]

Ta có: \[\lim f\left( {{x}_{n}} \right)=\lim \frac{2-5x_{n}^{2}}{x_{n}^{2}+3}=\lim \frac{\frac{2}{x_{n}^{2}}-5}{1+\frac{3}{x_{n}^{2}}}=-5\]

\[\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2-5{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+3}=-5\]

Bài 2. SGK Đại số 11 trang 132

+ \[\lim {{u}_{n}}=\lim \frac{1}{n}=0\]

+ \[\lim {{v}_{n}}=\lim \left( \frac{-1}{n} \right)=0\]

+ Vì \[\frac{1}{n}>0\] nên \[f\left( {{u}_{n}} \right)=\sqrt{\frac{1}{n}}+1\]

\[\Rightarrow \lim f\left( {{u}_{n}} \right)=\lim \left( \sqrt{\frac{1}{n}}+1 \right)=1\]

+ Vì \[-\frac{1}{n}<0\] nên \[f\left( {{v}_{n}} \right)=\frac{-2}{n}\]

\[\Rightarrow \lim f\left( {{v}_{n}} \right)=\lim \left( -\frac{2}{n} \right)=0\]

Theo định nghĩa:

\[\lim f\left( {{u}_{n}} \right)=1\to \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=1\]

\[\lim f\left( {{v}_{n}} \right)=0\to \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\]

\[\Rightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\ne \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\]

=> Hàm số đã cho không tồn tại giới hạn khi \[x\to 0\]

Bài 3. SGK Đại số 11 trang 132

a) \[\underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{x+1}=\frac{{{\left( -3 \right)}^{2}}-1}{-3+1}=-4\]

b) \[\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{4-{{x}^{2}}}{x+2}=\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 2+x \right)\left( 2-x \right)}{2+x}=\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\left( 2-x \right)=4\]

c) \[\underset{x\to 6}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}=\underset{x\to 6}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{x+3}-3 \right)\left( \sqrt{x+3}+3 \right)}{\left( x-6 \right)\left( \sqrt{x+3}+3 \right)}=\underset{x\to 6}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-6}{\left( x-6 \right)\left( \sqrt{x+3}+3 \right)}=\underset{x\to 6}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x+3}+3}=\frac{1}{6}\]

d) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-6}{4-x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2-\frac{6}{x}}{\frac{4}{x}-1}=-2\]

e) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{17}{{{x}^{2}}+1}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{17}{{{x}^{2}}}}{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}=0\]

f) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2{{x}^{2}}+x-1}{3+x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2+\frac{1}{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}}}{\frac{3}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{x}}\]

Vì \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2+\frac{1}{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)=-2<0;\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{3}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{x} \right)=0;\frac{3}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{x}>0\]

\[\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2+\frac{1}{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}}}{\frac{3}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{x}}=-\infty \]

\[\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2{{x}^{2}}+x-1}{3+x}=-\infty \]

Bài 4. SGK Đại số 11 trang 132

a) \[\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x-5}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\]

Ta có: \[\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( 3x-5 \right)=1>0\] ; \[\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,{{\left( x-2 \right)}^{2}}=0,{{\left( x-2 \right)}^{2}}>0\forall x\ne 2\]

\[\Rightarrow \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x-5}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=+\infty \]

b) \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-7}{x-1}\]

Ta có: \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 2x-7 \right)=-5<0\] ; \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x-1 \right)=0,x-1<0\forall x<1\]

\[\Rightarrow \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-7}{x-1}=+\infty \]

c) \[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-7}{x-1}\]

Ta có: \[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 2x-7 \right)=-5<0\] ; \[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x-1 \right)=0,x-1>0\forall x>1\]

\[\Rightarrow \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-7}{x-1}=-\infty \]

Bài 5. SGK Đại số 11 trang 132

a)

Khi \[x\to -\infty \] thì \[f\left( x \right)\to 0\] .

Khi \[x\to {{3}^{-}}\] thì \[f\left( x \right)\to -\infty \]

Khi \[x\to -{{3}^{+}}\] thì \[f\left( x \right)\to +\infty \]

b)

+ \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+2}{{{x}^{2}}-9}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{x}+\frac{2}{{{x}^{2}}}}{1-\frac{9}{{{x}^{2}}}}=0\]

+ \[\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+2}{{{x}^{2}}-9}\]

Ta có: \[\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x+2 \right)=5>0\] ; \[\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-9 \right)=0,{{x}^{2}}-9<0\left( x\in \left( -3;3 \right) \right)\]

\[\Rightarrow \underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty \]

+ \[\underset{x\to -{{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to -{{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+2}{{{x}^{2}}-9}\]

Ta có: \[\underset{x\to -{{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x+2 \right)=-1<0\] ; \[\underset{x\to -{{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-9 \right)=0,{{x}^{2}}-9<0\left( x\in \left( -3;3 \right) \right)\]

\[\Rightarrow \underset{x\to -{{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty \]

Bài 6. SGK Đại số 11 trang 133

a) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{4}}-{{x}^{2}}+x-1 \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{4}}\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{3}}}-\frac{1}{{{x}^{4}}} \right)\]

Vì \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{4}}=+\infty \] ; \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{3}}}-\frac{1}{{{x}^{4}}} \right)=1>0\]

\[\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{4}}-{{x}^{2}}+x-1 \right)=+\infty \]

b) \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-5 \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}\left( -2+\frac{3}{x}-\frac{5}{{{x}^{3}}} \right)\]

Vì \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}=-\infty \] ; \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2+\frac{3}{x}-\frac{5}{{{x}^{3}}} \right)=-2<0\]

\[\Rightarrow \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-5 \right)=+\infty \]

c) \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{{{x}^{2}}-2x+5}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{{{x}^{2}}\left( 1-\frac{2}{x}+\frac{5}{{{x}^{2}}} \right)}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ -x\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{5}{{{x}^{2}}}} \right]\]

Vì \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -x \right)=+\infty \] ; \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{5}{{{x}^{2}}}}=1>0\]

\[\Rightarrow \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{{{x}^{2}}-2x+5}=+\infty \]

d) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x}{5-2x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}+1}{\frac{5}{x}-2}=-1\]

Bài 7. SGK Đại số 11 trang 133

a) Ta có: \[\frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{1}{f}\]

\[\Leftrightarrow \frac{1}{d'}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d}\]

\[\Leftrightarrow \frac{1}{d'}=\frac{d-f}{f.d}\]

\[\Leftrightarrow d'=\varphi \left( d \right)=\frac{fd}{d-f}\]

b)

+ \[\underset{d\to {{f}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\varphi \left( d \right)=\underset{d\to {{f}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{fd}{d-f}\]

Vì \[\underset{d\to {{f}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( fd \right)={{f}^{2}}>0\]; \[\underset{d\to {{f}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( d-f \right)=0,d-f>0\left( d\to {{f}^{+}} \right)\]

\[\Rightarrow \underset{d\to {{f}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\varphi \left( d \right)=+\infty \]

Ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn lớn hơn f thì ảnh của nó dần tới vô cực.

+ \[\underset{d\to {{f}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\varphi \left( d \right)=\underset{d\to {{f}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{fd}{d-f}\]

Vì \[\underset{d\to {{f}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( fd \right)={{f}^{2}}>0\]; \[\underset{d\to f-}{\mathop{\lim }}\,\left( d-f \right)=0,d-f<0\left( d\to {{f}^{-}} \right)\]

\[\Rightarrow \underset{d\to {{f}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\varphi \left( d \right)=-\infty \]

Ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn nhỏ hơn f thì ảnh của nó dần tới âm vô cực.

+ \[\underset{d\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\varphi \left( d \right)=\underset{d\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{fd}{d-f}=\underset{d\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f}{1-\frac{f}{d}}=f\]

Ý nghĩa: Nếu vật thật AB ở xa vô cực so với thấu kính thì ảnh của nó ở ngay trên tiêu diện ảnh ( mặt phẳng đi qua tiêu điểm ảnh F’ và vuông góc với trục chính).

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa giới hạn của hàm số toán học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất.