BÀI 2: DÃY SỐ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Định nghĩa dãy số:
Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương \[{{\mathbb{N}}^{*}}\] được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {u:{N^ * } \to R}\\ {\;\;\;\,\,\,\,n\;\,\,\, \mapsto u\left( n \right)} \end{array}\)
Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển \[{{u}_{1}},\text{ }{{u}_{2}},{{u}_{3}},\text{ }\ldots .,{{u}_{n}},\ldots .,\]
trong đó \[{{u}_{n}}=u\left( n \right)\] là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát, \[{{u}_{1}}\] là số hạng đầu của dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\]
Định nghĩa dãy số hữu hạn:
Mỗi hàm số u xác định trên tập \[M=\left\{ 1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }...,\text{ }m \right\}\], với \[m\in {{\mathbb{N}}^{*}}\] được gọi là một dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển của nó là: \[{{u}_{1}},\text{ }{{u}_{2}},{{u}_{3}},\text{ }\ldots .,{{u}_{m}}\], trong đó \[{{u}_{1}}\] là số hạng đầu, \[{{u}_{m}}\] là số hạng cuối.
2. Cách cho một dãy số
a) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát.
Cho dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right):{{u}_{n}}=f\left( n \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)\]
Từ công thức \[\left( 1 \right)\] ta có thể xác định được bất kì một số hạng nào của dãy số. Khi đó, dãy số được cho bằng công thức của số hạng tổng quát.
b) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
Người ta cho một mệnh đề mô tả trong đó chỉ ra cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số. Khi đó, dãy số được cho bằng phương pháp mô tả.
c) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
- Cho số hạng đầu (hoặc một vài số hạng đầu).
- Cho hệ thức truy hồi, túc là hệ thúc biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hoặc vài số hạng) đứng trước nó.
3. Biểu diễn hình học của dãy số
Ta có thể biểu diễn dãy số bằng đồ thị. Trong mặt phẳng tọa độ, dãy số được biểu diễn bằng các điểm có toạn độ \[\left( n;{{u}_{n}} \right)\] .
4. Dãy số tăng, dãy số giảm
Định nghĩa:
- Dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] được gọi là dãy số tăng nếu \[{{u}_{n+1}}~>{{u}_{n}}\],\[\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\];
- Dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] được gọi là dãy số giảm nếu \[{{u}_{n+1}}~<{{u}_{n}}\],\[\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\].
Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm.
5. Dãy số bị chặn
Định nghĩa:
- Dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho
\[{{u}_{n}}\le \text{ }M\], \[\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\];
- Dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho
\[{{u}_{n}}\ge m\], \[\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\];
- Dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại số \[m,M\] sao cho
\[m\le {{u}_{n}}\le \text{ }M\], \[\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\];
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm số hạng của dãy số
Cách giải:
Thay trực tiếp giá trị của \[n\] vào công thức hoặc tính lần lượt các số hạng,…
Dạng 2. Tìm công thức tổng quát của dãy số
Cách giải:
Cách 1. Sử dụng biến đổi đại số để thu gọn và đơn giản biểu thức của \[{{u}_{n}}\]
Cách 2. Sử dụng phương pháp quy nạp bằng việc thực hiện theo các bước sau:
- Viết một vài số hạng đầu của dãy, từ đó dự đoán công thức cho \[{{u}_{n}}\]
- Chứng minh công thức dự đoán bằng phương pháp quy nạp
Dạng 3. Xét tính tăng, giảm của dãy số
Cách giải:
Cách 1: Xét hiệu \[H={{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}\].
- Nếu \[H>0\], \[\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\] thì dãy số tăng
- Nếu \[H<0\], \[\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\] thì dãy số giảm.
Cách 2: Nếu \[{{u}_{n}}>0\], \[\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\] thì lập tỉ số \[\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}\] , rồi so sánh với 1.
- Nếu \[\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}>1\] , \[\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\] thì dãy số tăng.
- Nếu \[\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}<1\] , \[\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\] thì dãy số giảm.
Dạng 4. Xét tính bị chặn của dãy số
Cách giải:
- Chứng minh trực tiếp bằng bất đẳng thức
- Dự đoán chặn trên, chặn dưới rồi chứng minh bằng phương pháp quy nạp
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (SGK Đại số 11 trang 92)
a) \[{{u}_{n}}=\frac{n}{{{2}^{n}}-1}\]
\[\Rightarrow \] 5 số hạng đầu của dãy là \[1;\frac{2}{3};\frac{3}{7};\frac{4}{15};\frac{5}{31}\]
b) \[{{u}_{n}}=\frac{{{2}^{n}}-1}{{{2}^{n}}+1}\]
\[\Rightarrow \] 5 số hạng đầu của dãy là \[\frac{1}{3};\frac{3}{5};\frac{7}{9};\frac{15}{17};\frac{31}{33}\]
c) \[{{u}_{n}}={{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{_{n}}}\]
\[\Rightarrow \] 5 số hạng đầu của dãy là \[2;\frac{9}{4};\frac{64}{27};\frac{625}{256};\frac{7776}{3125}\]
d) \[{{u}_{n}}=\frac{n}{\sqrt{{{n}^{2}}+1}}\]
\[\Rightarrow \] 5 số hạng đầu của dãy là \[\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{2}{\sqrt{5}};\frac{3}{\sqrt{10}};\frac{4}{\sqrt{17}};\frac{5}{\sqrt{26}}\]
Bài 2. (SGK Đại số 11 trang 92)
a) 5 số hạng đầu của dãy số là : \[-1;2;5;8;11\]
b) Với \[n=1\] ta có \[{{u}_{1}}=-1\] (luôn đúng)
Giả sử hệ thức đúng với \[n=k\ge 1\] , tức là : \[{{u}_{k}}=3k-4\]
Ta cần chứng minh hệ thức đúng với \[{{u}_{k+1}}=3\left( k+1 \right)-4\]
Thật vậy \[{{u}_{k+1}}={{u}_{k}}+3\]
\[\Leftrightarrow {{u}_{k+1}}=3k-4+3\]
\[\Leftrightarrow {{u}_{k+1}}=3\left( k+1 \right)-4\] (điều phải chứng minh)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 3. (SGK Đại số 11 trang 92)
a)
\(\begin{array}{l} {u_1} = 3\\ {u_2} = \sqrt {1 + 9} = \sqrt {10} \\ {u_3} = \sqrt {1 + 10} = \sqrt {11} \\ {u_4} = \sqrt {1 + 11} = \sqrt {12} \\ {u_5} = \sqrt {1 + 12} = \sqrt {13} \end{array}\)
\[\Rightarrow \] 5 số hạng đầu của dãy là \[3;\sqrt{10};\sqrt{11};\sqrt{12};\sqrt{13}\] .
b) Ta thấy :
\(\begin{array}{l} {u_1} = 3 = \sqrt 9 = \sqrt {1 + 8} \\ {u_2} = \sqrt {10} = \sqrt {2 + 8} \\ {u_3} = \sqrt {11} = \sqrt {3 + 8} \\ {u_4} = \sqrt {12} = \sqrt {4 + 8} \\ {u_5} = \sqrt {13} = \sqrt {5 + 8} \end{array}\)
\[\Rightarrow \] Dự đoán số hạng tổng quát là \[{{u}_{n}}=\sqrt{n+8}\left( n\ge 1 \right)\]
Chứng minh
+ Với \[n=1\] ta có \[{{u}_{1}}=\sqrt{1+8}=3\] ( đúng)
+ Giả sử biểu thức đúng với \[n=k\ge 1\] tức là \[{{u}_{k}}=\sqrt{k+8}\]
Ta cần chứng minh biểu thức đúng với \[n=k+1\] tức là \[{{u}_{k+1}}=\sqrt{\left( k+1 \right)+8}\]
Thật vậy \[{{u}_{k+1}}=\sqrt{1+u_{k}^{2}}=\sqrt{1+\left( k+8 \right)}=\sqrt{\left( k+1 \right)+8}\] (điều phải chứng minh)
Vậy số hạng tổng quát của dãy là \[{{u}_{n}}=\sqrt{n+8}\]
Bài 4. (SGK Đại số 11 trang 92)
a) \[{{u}_{n}}=\frac{1}{n}-2\]
Xét hiệu \[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\left( \frac{1}{n+1}-2 \right)-\left( \frac{1}{n}-2 \right)=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}<0\]
\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] là dãy số giảm
b) \[{{u}_{n}}=\frac{n-1}{n+1}\]
Xét hiệu \[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{n}{n+2}-\frac{n-1}{n+1}=\frac{n\left( n+1 \right)-\left( n-1 \right)\left( n+2 \right)}{\left( n+2 \right)\left( n+1 \right)}=\frac{2}{\left( n+2 \right)\left( n+1 \right)}>0\]
\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] là dãy số tăng
c) \[{{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}\left( {{2}^{n}}+1 \right)\]
Ta có : \[{{u}_{1}}=-3;\,\,{{u}_{2}}=5;\,\,{{u}_{3}}=-9;\,\,{{u}_{4}}=17\]
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} < {u_2}\\ {u_2} > {u_3}\\ {u_3} < {u_4} \end{array} \right.\) \[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] là dãy không tăng không giảm
d) \[{{u}_{n}}=\frac{2n+1}{5n+2}\]
Xét thương \[\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{\frac{2\left( n+1 \right)+1}{5\left( n+1 \right)+2}}{\frac{2n+1}{5n+2}}\]
\[=\frac{2n+3}{5n+7}.\frac{5n+2}{2n+1}\]
\[=\frac{10{{n}^{2}}+19n+6}{10{{n}^{2}}+19n+7}<1,\forall n\in {{N}^{*}}\]
\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] là dãy số giảm
Bài 5. (SGK Đại số 11 trang 92)
a) \[{{u}_{n}}=2{{n}^{2}}-1\]
+ \[2{{n}^{2}}\ge 2\Rightarrow 2{{n}^{2}}-1\ge 1\Rightarrow {{u}_{n}}\ge 1\]
\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] bị chặn dưới
+ Giả sử \[\forall \mu >0\] đủ lớn : \[{{u}_{n}}\le \mu \] \[\Rightarrow 2{{n}^{2}}-1\le \mu \] \[\Rightarrow n\le \sqrt{\frac{\mu +1}{2}}\]
Mà \[n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\]
\[\Rightarrow \] Không tồn tại \[\mu \] thỏa mãn
\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] không bị chặn trên
\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] không bị chặn
b) \[{{u}_{n}}=\frac{1}{n\left( n+2 \right)}\]
+ \[\frac{1}{n\left( n+2 \right)}>0,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\] \[\Rightarrow {{u}_{n}}>0\] \[\Rightarrow {{u}_{n}}\] bị chặn dưới
+ \[n\ge 1\] \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {n^2} \ge 1\\ 2n \ge 2 \end{array} \right.\) \[\Rightarrow {{n}^{2}}+2n\ge 3\] \[\Rightarrow n\left( n+2 \right)\ge 3\] \[\Leftrightarrow \frac{1}{n\left( n+2 \right)}\le \frac{1}{3}\] \[\Rightarrow {{u}_{n}}\le \frac{1}{3}\] \[\Rightarrow {{u}_{n}}\] bị chặn trên
\[\Rightarrow {{u}_{n}}\] bị chặn
c) \[{{u}_{n}}=\frac{1}{2{{n}^{2}}-1}\]
+ \[n\in {{N}^{*}}\Rightarrow \frac{1}{2{{n}^{2}}-1}>0\] \[\Rightarrow {{u}_{n}}>0\] \[\Rightarrow {{u}_{n}}\] bị chặn dưới
+ \[n\ge 1\Rightarrow 2{{n}^{2}}-1\ge 1\Rightarrow \frac{1}{2{{n}^{2}}-1}\le 1\] \[\Rightarrow {{u}_{n}}\le 1\] \[\Rightarrow {{u}_{n}}\] bị chặn trên
\[\Rightarrow {{u}_{n}}\] bị chặn
d) \[{{u}_{n}}=\sin n+\cos n\]
\[\Leftrightarrow {{u}_{n}}=\sqrt{2}\sin \left( n+\frac{\pi }{4} \right)\]
\(\begin{array}{l} - 1 \le \sin \left( {n + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {n + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le {u_n} \le \sqrt 2 \end{array}\)
\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa dãy số toán học lớp 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất.