Ôn tập chương III (hình học)

CÂU HỎI ÔN TÂP CHƯƠNG III

GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1. (SGK hình học 11 trang 120)

Định nghĩa

• Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
• Kí hiệu \[\overrightarrow{AB}\] chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu là \[\vec{a},\vec{b},\vec{x},\vec{y},...\]

Những vec tơ bằng \[\overrightarrow{AA'}\] có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của hình lăng trụ là: \[\overrightarrow{BB'},\overrightarrow{CC'}\].

Bài 2. (SGK hình học 11 trang 120)

Ba vectơ \[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\] đồng phẳng khi và chi khi có cặp số \[m,n\] sao cho \[\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}\] . Ngoài ra cặp số \[m,n\] là duy nhất.

Bài 3. (SGK hình học 11 trang 120)

• Trong không gian, hai đường thẳng không cắt nhau vẫn có thể vuông góc được với nhau.
• \[a\bot b\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\]

Bài 4. (SGK hình học 11 trang 120)

Muốn chứng minh \[a\bot \left( \alpha  \right)\] ta không cần chứng minh a vuông góc với mọi đường thẳng của \[\left( \alpha  \right)\] mà chỉ cần chứng minh \[a\] vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc \[\left( \alpha  \right)\] .

Bài 5. (SGK hình học 11 trang 120)

Định lí ba đường vuông góc

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] và b là đường thẳng không thuộc \[\left( \alpha  \right)\] đồng thời không vuông góc với \[\left( \alpha  \right)\] . Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên \[\left( \alpha  \right)\] . Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’

Bài 6. (SGK hình học 11 trang 120)

a) Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d và mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] .

• Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] bằng \[{{90}^{0}}\] .
• Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] thì góc giữa d và hình chiếu d’ của nó trên \[\left( \alpha  \right)\] được gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] .

b) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Bài 7. (SGK hình học 11 trang 120)

Muốn chứng minh \[\left( \alpha  \right)\bot \left( \beta  \right)\] ta có thể làm như sau:

• Cách 1: Tính trực tiếp số đo \[\varphi =\left( \left( \alpha  \right),\left( \beta  \right) \right)={{90}^{0}}\]
• Cách 2: Chứng minh \(\left. \begin{array}{l} AF = BE\\ DF = CE \end{array} \right\} \Rightarrow \Delta DFA = \Delta CEB \Rightarrow AD = BC\)
• Cách 3: Nếu \[\overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}}\] lần lượt là hai vec tơ pháp tuyến của \[\left( \alpha  \right)\] và \[\left( \beta  \right)\] thì \[\left( \alpha  \right)\bot \left( \beta  \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}}=0\]

Bài 8. (SGK hình học 11 trang 120)

a) Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

• Cách 1:

+, Kẻ \[MH\bot \Delta \left( H\in \Delta  \right)\] 

+, Khi đó, \[d\left( M;\Delta  \right)=MH\] 

• Cách 2:

+, Giả sử \[MN\cap \Delta =I\] . Khi đó, \[\frac{d\left( M;\Delta  \right)}{d\left( N;\Delta  \right)}=\frac{MI}{NI}=k\] 

+, Ta có \[d\left( M;\Delta  \right)=k.d\left( N;\Delta  \right)\] 

b) Tính khoảng cách từ đường thẳng a đến mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] \[\left( a//\left( \alpha  \right) \right)\]

+, Lấy \[M\in \Delta \]

+, Kẻ \[MH\bot \left( \beta  \right)\left( H\in \left( \beta  \right) \right)\] 

+, Khi đó, \[d\left( a;\left( \alpha  \right) \right)=d\left( M;\left( \alpha  \right) \right)=MH\] 

c) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

+, Lấy \[M\in \left( \alpha  \right)\]

+, Kẻ \[MH\bot \left( \alpha  \right)\left( H\in \left( \alpha  \right) \right)\] 

+, Khi đó, \[d\left( \left( \alpha  \right),\left( \beta  \right) \right)=d\left( M;\left( \beta  \right) \right)=MH\]

Bài 9. (SGK hình học 11 trang 120)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

• Cách 1: Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \[a\] và \[b\] thông qua khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng.

+, Xác định mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] chứa đường thẳng \[b\] và song song với \[a\] .

+, Khi đó, \[d\left( a,b \right)=d\left( a,\left( \alpha  \right) \right)=d\left( M,\left( \alpha  \right) \right)=MH\] 

• Cách 2: Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \[a\] và \[b\] .

Cách xác định 1.

+, Xác định mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] vuông góc với đường thẳng \[a\] tại \[H\] 

+, Xác định \[b'\] là hình chiếu của \[b\] trên \[\left( \alpha  \right)\]

+, Trong mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] , kẻ \[HK\bot b'\left( K\in b' \right);KN//a\left( N\in a \right);NM//KH\left( M\in a \right)\] 

+, Khi đó, \[MN\] là đoạn vuông góc chung của \[a\] và \[b\] hay \[d\left( a,b \right)=MN\] 

Cách xác định 2.

+, Xác định mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] chứa đường thẳng \[a\] và song song với đường thẳng \[b\] 

+, Xác định \[b'\] là hình chiếu của \[b\] trên \[\left( \alpha  \right)\]

+, Gọi \[M=a\cap b'\] và \[\left( \beta  \right)\] là mặt phẳng đi qua điểm \[M\] và chứa đường thẳng \[b\] .

Trong mặt phẳng \[\left( \beta  \right)\] , kẻ \[MN\bot b\left( N\in b \right)\] .

+, Khi đó, \[MN\] là đoạn vuông góc chung \[a\] và \[b\] hay \[d\left( a,b \right)=MN\] 

• Cách 3. Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \[a\] và \[b\] thông qua khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

+, Xác định hai mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] và \[\left( \beta  \right)\] song song với nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] .

+, Khi đó, \[d\left( a,b \right)=d\left( \left( \alpha  \right),\left( \beta  \right) \right)\] 

Bài 10. (SGK hình học 11 trang 120)

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta ABC\Rightarrow OA=OB=OC\] .

Giả sử \[M\] là điểm thỏa mãn \[MA=MB=MC\]

Gọi \[E\] là trung điểm \[AB\Rightarrow ME\bot AB\] (do \[\Delta MAB\] cân) và \[OE\bot AB\] (do \[\Delta OAB\] cân)

\[\Rightarrow AB\bot \left( MOE \right)\Rightarrow AB\bot MO\]

Chứng minh tương tự ta có \[BC\bot MO\]

\[\Rightarrow MO\bot \left( ABC \right)\]

Vậy tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của \[\Delta ABC\] là đường thẳng vuông góc với \[\left( ABC \right)\] và đi qua tâm của đường tròn ngoại tiếp \[\Delta ABC\] .

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG III

Bài 1. (SGK hình học 11 trang 121)

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

e) Sai

Bài 2. (SGK hình học 11 trang 121)

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Sai

Bài 3. (SGK hình học 11 trang 121)

a) Ta có \[SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot AB;SA\bot AD;SA\bot BC;SA\bot CD\]

\[\Rightarrow \Delta SAB;\Delta SAD\] vuông tại A.

Mặt khác, \(\left. \begin{array}{l} BC \bot AB\\ BC \bot SA \end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\)

\[\Rightarrow \Delta SBC\] vuông tại B.

Chứng minh tương tự \[\Delta SCD\] vuông tại D.

b) Ta có \(\left. \begin{array}{l} SC \bot \left( \alpha \right)\\ B'D' \subset \left( \alpha \right) \end{array} \right\} \Rightarrow B'D' \bot SC\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Mặt khác, \(\left. \begin{array}{l} BD \bot AC\\ BD \bot SA \end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Mà \[BD;B'D'\subset \left( SBD \right)\,\,\,\,\left( 3 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\Rightarrow BD//B'D'\]

Ta có \(\left. \begin{array}{l} BC \bot \left( {SAB} \right)\\ AB' \subset \left( {SAB} \right) \end{array} \right\} \Rightarrow AB' \bot BC\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\)

Mặt khác, \(\left. \begin{array}{l} SC \bot \left( \alpha \right)\\ AB' \subset \left( \alpha \right) \end{array} \right\} \Rightarrow AB' \bot SC\,\,\,\,\,\left( 5 \right)\)

Từ \[\left( 4 \right);\left( 5 \right)\Rightarrow AB'\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AB'\bot SB\]

Bài 4. (SGK hình học 11 trang 121)

a) Ta có \[\Delta BOC\] vuông tại O và E là trung điểm BC.

\[\Rightarrow OE=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}\]

\[\Delta ABD\] có \[\widehat{BAD}={{60}^{0}};AD=AB\Rightarrow \Delta ABD\] đều có cạnh bằng a.

Mà O là trung điểm \[BD\Rightarrow OB=\frac{BD}{2}=\frac{a}{2}\]

\[\Rightarrow OE=OB\Rightarrow \Delta OBE\] cân tại \[O\Rightarrow OF\bot BC\]

Mà \[SO\bot BC\left( SO\bot \left( ABCD \right) \right)\]

\[\Rightarrow BC\bot \left( SOF \right)\]

Mà \[BC\subset \left( SOF \right)\Rightarrow \left( SBC \right)\bot \left( SOF \right)\]

b) Kẻ \[OH\bot SF\left( H\in SF \right)\]

Ta có \(\left. \begin{array}{l} BC \bot \left( {SOF} \right)\\ OH \subset \left( {SOF} \right) \end{array} \right\} \Rightarrow OH \bot BC \Rightarrow OH \bot \left( {SBC} \right)\)

\[\Rightarrow OH=d\left( O;\left( SBC \right) \right)\]

\[\Delta OBF\] vuông tại F có:

\[O{{F}^{2}}=O{{B}^{2}}-B{{F}^{2}}={{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a}{4} \right)}^{2}}=\frac{3{{a}^{2}}}{16}\Rightarrow OF=\frac{a\sqrt{3}}{4}\]

\[\Delta SOF\] vuông tại O có:

\[\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{O}^{2}}}+\frac{1}{O{{F}^{2}}}\Rightarrow OH=\frac{3a}{8}\]

Ta cos \[AO\cap \left( SBC \right)=C\Rightarrow \frac{d\left( A;\left( SBC \right) \right)}{d\left( O;\left( SBC \right) \right)}=\frac{AC}{OC}=2\]

\[\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=2d\left( O;\left( SBC \right) \right)=2OH=\frac{3a}{4}\]

Bài 5. (SGK hình học 11 trang 121)

a) Ta có \[\left( ABC \right)\bot \left( ADC \right)\]

\[\left( ABC \right)\cap \left( ADC \right)=AC\]

\[AC\bot AB\] (vì \[\Delta ABC\] vuông tại A)

\[AB\subset \left( ABC \right)\]

\[\Rightarrow AB\bot \left( ADC \right)\Rightarrow AB\bot AD\Rightarrow \Delta BAD\] vuông tại A.

Ta có \[CD\bot AD\] (vì \[\Delta ADC\] vuông tại D)

\[CD\bot AB\left( AB\bot \left( ADC \right) \right)\] 

\[\Rightarrow CD\bot \left( BAD \right)\Rightarrow CD\bot BD\Rightarrow \Delta BDC\] vuông tại D.

b) Gọi J là trung điểm AC

\[\Rightarrow IJ//CD;KJ//AB\] 

Ta có \(\left. \begin{array}{l} IJ;CD \subset \left( {ADC} \right)\\ CD \bot \left( {ABD} \right)\\ IJ//CD \end{array} \right\} \Rightarrow IJ \bot \left( {ABD} \right) \Rightarrow IJ \bot AD\)

Chứng minh tương tự ta có \[KJ\bot AD\]

\[\Rightarrow AD\bot \left( IJK \right)\Rightarrow AD\bot IK\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\]

Xét hai tam giác vuông \[BAI\] và \[CDI\] ta có

\[AB=CD\left( =a \right)\]

\[AI=DI\] (vì I là trung điểm AD)

\[\Rightarrow \Delta BAI=\Delta CDI\Rightarrow BI=CI\Rightarrow \Delta BIC\] cân tại I.

\[\Rightarrow IK\bot BC\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right);\left( 2 \right)\Rightarrow IK\] là đường vuông góc chung của AD và BC.

Bài 6. (SGK hình học 11 trang 122)

a) Ta có \[A'B'\bot \left( BCC'B' \right)\Rightarrow A'B'\bot BC'\]

Mà \[B'C\bot BC'\Rightarrow B'C\bot \left( A'B'CD \right)\]

b) Gọi \[E=AD'\cap A'D\]

\[F=BC'\cap B'C\]

Kẻ \[FI\bot B'E\left( I\in B'E \right)\,\,\,\left( 1 \right)\]

Ta có \(\left. \begin{array}{l} BC' \bot \left( {A'B'CD} \right)\\ BC'//AD' \end{array} \right\} \Rightarrow AD' \bot \left( {A'B'CD} \right) \Rightarrow AD' \bot FI\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \[\left( 1 \right);\left( 2 \right)\Rightarrow FI\bot \left( AB'D' \right)\]

Kẻ \[IK//BC'\left( K\in AB' \right)\Rightarrow IK\] là hình chiếu của \[BC'\] trên \[\left( AB'D' \right)\]

Kẻ \[KH//IF\left( H\in BC' \right)\]

Ta có \(\left. \begin{array}{l} IF \bot \left( {AB'D'} \right)\\ KH//IF \end{array} \right\} \Rightarrow KH \bot \left( {AB'D'} \right) \Rightarrow KH \bot AB'\,\,\,\left( 3 \right)\)

Tứ giác \[IKHF\] là hình bình hành có \[IF\bot IK\left( IF\bot \left( AB'D' \right) \right)\Rightarrow IKHF\] là hình chữ nhật.

\[\Rightarrow KH\bot BC'\,\,\,\left( 4 \right);KH=IF\]

Từ \[\left( 3 \right);\left( 4 \right)\Rightarrow KH=d\left( AB';BC' \right)\]

Tính \[KH\]

Ta có \(\left. \begin{array}{l} EF//A'B'\\ A'B' \bot \left( {BCC'B'} \right) \end{array} \right\} \Rightarrow EF \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow EF \bot B'F\)

Xét tam giác B’EF vuông tại F có:

\[\frac{1}{I{{F}^{2}}}=\frac{1}{B'{{F}^{2}}}+\frac{1}{F{{E}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( \frac{B'C}{2} \right)}^{2}}}+\frac{1}{F{{E}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}\]

\[\Rightarrow IF=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow d\left( AB';BC' \right)=KH=IF=\frac{a\sqrt{3}}{3}\]

Bài 7. (SGK hình học 11 trang 122)

a) Kẻ \[SH\bot \left( ABCD \right)\]

Ta có \[\Delta SHA=\Delta SHB=\Delta SHD\Rightarrow HA=HB=HD\]

\[\Rightarrow H\] là tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta ABD\]

\[\Delta ABD\] có \[AB=AD=a;\widehat{BAD}={{60}^{0}}\]

\[\Rightarrow \Delta ABD\] đều có cạnh bằng a.

Gọi \[O=AC\cap BD\]

\[\Rightarrow AO=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AH=\frac{2}{3}AO=\frac{a\sqrt{3}}{3};CH=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\]

\[\Rightarrow SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\frac{a\sqrt{15}}{6}\]

\[SC=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}\]

b) Ta có \(\left. \begin{array}{l} SH \bot \left( {ABCD} \right)\\ SH \subset \left( {SAC} \right) \end{array} \right\} \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\)

c) Ta có \[S{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}=\frac{7{{a}^{2}}}{4}=S{{C}^{2}}\]

\[\Rightarrow \Delta SBC\] vuông tại \[B\Rightarrow SB\bot BC\]

d) Ta có \[\Delta SBD\] cân tại \[S\Rightarrow SO\bot BD\]

Mà \[AC\bot BD\] (ABCD là hình thoi)

\(\begin{array}{l} \left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\ SO \subset \left( {SBD} \right)\\ AC \subset \left( {ABCD} \right) \end{array}\)

\[\Rightarrow \left( \left( SBD \right);\left( ABCD \right) \right)=\left( SO;AC \right)=\widehat{SOH}=\varphi \]

\[\Rightarrow \tan \varphi =\frac{SH}{OH}=\sqrt{5}\]

Câu hỏi trắc nghiệm chương III

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa ôn tập chương 3 hình học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất