Bài 5. Xác suất của biến cố

BÀI 5: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Định nghĩa xác suất

Định nghĩa:

Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số \[\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega  \right)}\] là xác suất của biến cố A, kí hiệu là \[P\left( A \right)\].

\[P\left( A \right)=\] \[\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega  \right)}\]

Chú ý: \[n\left( A \right)\] là số phần tử của biến cố \[A\]; còn \[n\left( \Omega  \right)\] là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

2. Tính chất của xác suất

Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện.

Khi đó, ta có định lý:

\[P\left( \varnothing  \right)=0,P\left( \Omega  \right)=1\]

\[0\le P\left( A \right)\le 1\],với mọi biến cố A.

3. Quy tắc cộng xác suất

Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nhau nếu chúng không đồng thời xảy ra trong một phép thử.

Quy tắc cộng xác suất:

• Nếu A và B xung khắc, thì \[P\left( A\cup B \right)=P\left( A \right)+P\left( B \right)\]
• Nếu các biến cố \[{{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},\ldots ,{{A}_{k}}\] xung khắc nhau thì

\[P\left( {{A}_{1}}\cup {{A}_{2}}\cup \ldots \cup {{A}_{k}} \right)=P\left( {{A}_{1}} \right)+P\left( {{A}_{2}} \right)+\ldots +P\left( {{A}_{k}} \right)\]

Hệ quả:

Với mọi biến cố A, ta có: \[P\left( \overline{A} \right)=1P\left( A \right)\].

4. Quy tắc nhân xác suất

• Hai biến cố gọi là độc lập: nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra biến cố kia.
• Quy tắc nhân xác suất: Nếu A và B là hai biến cố độc lập nhau thì \[P\left( A.B \right)=P\left( A \right).P\left( B \right)\]

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Sử dụng định nghĩa tính xác suất

Cách giải:

Quy về bài toán đếm:

Cách 1: Tính trực tiếp:

• Tính số phần tử của không gian mẫu \[\Omega \] là \[n\left( \Omega  \right)\] tức là đếm số kết quả có thể của phép thử \[T\].
• Tính số phần tử của biến cố \[A\] rồi tính số phần tử của \[A\] là \[n\left( A \right)\], tức là đếm số kết quả thuận lợi cho \[A\].
• Khi đó, xác suất \[P\left( A \right)=\] \[\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega  \right)}\] .

Cách 2: Tính gián tiếp

Trong nhiều bài toán tính xác suất, việc tính số phần tử thuận lợi cho biến cố A trở nên khó khăn do có quá nhiều trường hợp, thì ta đi tìm số phần tử thuận lợi cho biến cố đối của biến cố A . Khi đó, \[P\left( A \right)=1P\left( \overline{A} \right)\].

Dạng 2. Sử dụng các quy tắc công, nhân xác suất

Cách giải:

• Tính xác suất của các biến cố \[{{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},\ldots ,{{A}_{k}}\]
• Xác định mối quan hệ giữa các biến cố \[{{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},\ldots ,{{A}_{k}}\] (độc lập, xung khắc,…)
• Từ đó, sử dụng quy tắc cộng hoặc nhân xác suất để tính toán

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1. (SGK Đại số 11 trang 74)

a) \[\Omega =\left\{ \left( i;j \right)|1\le i,j\le 6 \right\}\] với i, j là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ nhất và thứ hai.

b) \[A=\left\{ \left( 4;6 \right);\left( 5;6 \right);\left( 6;6 \right);\left( 6;4 \right);\left( 6;5 \right);\left( 5;5 \right) \right\}\]

\[B=\left\{ \left( 1;5 \right);\left( 2;5 \right);\left( 3;5 \right);\left( 4;5 \right);\left( 5;5 \right);\left( 6;5 \right);\left( 5;6 \right);\left( 5;4 \right);\left( 5;3 \right);\left( 5;2 \right);\left( 5;1 \right) \right\}\]

c) \[P\left( A \right)=\frac{{{n}_{\left( A \right)}}}{{{n}_{\left( \Omega  \right)}}}=\frac{6}{6.6}=\frac{1}{6}\] ; \[P\left( B \right)=\frac{{{n}_{\left( B \right)}}}{{{n}_{\left( \Omega  \right)}}}=\frac{11}{6.6}=\frac{11}{36}\]

Bài 2. (SGK Đại số 11 trang 74)

a) \[\Omega =\left\{ \left( 1;2;3 \right);\left( 1;2;4 \right);\left( 2;3;4 \right);\left( 1;3;4 \right) \right\}\Rightarrow {{n}_{\left( \Omega  \right)}}=4\]

b) \[A=\left\{ \left( 1;3;4 \right) \right\}\Rightarrow {{n}_{\left( A \right)}}=1\]

\[B=\left\{ \left( 1;2;3 \right);\left( 2;3;4 \right) \right\}\Rightarrow {{n}_{\left( B \right)}}=2\]

c) \[P\left( A \right)=\frac{1}{4};P\left( B \right)=\frac{1}{2}\]

Bài 3. (SGK Đại số 11 trang 74)

\[n\left( \Omega  \right)=C_{8}^{2}=28\]

A : “ Hai chiếc giày chọn được tạo thành một đôi”

\[\Rightarrow n\left( A \right)=4\] \[\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{1}{7}\]

Bài 4. (SGK Đại số 11 trang 74)

\[\Omega =\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}\]

Ta có : \[\Delta ={{b}^{2}}-8\]

A : “ Con súc sắc xuất hiện mặt b chấm”

a) Phương trình có nghiệm \[\Leftrightarrow \Delta \ge 0\Leftrightarrow b\ge 2\sqrt{2};b\le -2\sqrt{2}\]

Mà \[b\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}\] \[\Rightarrow b=\left\{ 3,4,5,6 \right\}\]

\[\Rightarrow A=\left\{ 3,4,5,6 \right\}\Rightarrow \] \[n\left( A \right)=4\Rightarrow \] \[P\left( A \right)=\frac{2}{3}\]

b) Phương trình vô nghiệm \[\Leftrightarrow \Delta <0\Leftrightarrow -2\sqrt{2}

Mà \[b\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}\]

\[\Rightarrow b=\left\{ 1,2 \right\}\Rightarrow \] \[A=\left\{ 1,2 \right\}\Rightarrow \] \[n\left( A \right)=2\Rightarrow \] \[P\left( A \right)=\frac{1}{3}\]

c) Phương trình có nghiệm \[\Leftrightarrow b=\left\{ 3;4;5;6 \right\}\]

\[\Rightarrow b=\left\{ 3 \right\}\Rightarrow A=\left\{ 3 \right\}\Rightarrow n\left( A \right)=1\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{1}{6}\]

Bài 5. (SGK Đại số 11 trang 74)

\[\Omega \] : “ Chọn ngẫu nhiên 4 con trong 52 con bài”

\[\Rightarrow n\left( \Omega  \right)=C_{52}^{4}\]

a) A : “ Cả 4 con đều là át”

\[\Rightarrow n\left( A \right)=1\Rightarrow \] \[P\left( A \right)=\frac{1}{C_{52}^{4}}=\frac{1}{270725}\]

b) B : “ Ít nhất được một con át”

\[\Rightarrow \overline{B}\] : “ Không được con át nào”

\[\Rightarrow n\left( \overline{B} \right)=C_{48}^{4}\Rightarrow P\left( B \right)=1-P\left( \overline{B} \right)=1-\frac{C_{48}^{4}}{C_{52}^{4}}\approx 0,72\] .

c) C : “ Rút được con át và 2 con K”

\[\Rightarrow n\left( C \right)=C_{4}^{2}.C_{4}^{2}\Rightarrow P\left( C \right)=\frac{C_{4}^{2}.C_{4}^{2}}{C_{52}^{4}}=\frac{36}{270725}\]

Bài 6. (SGK Đại số 11 trang 74)

\[n\left( \Omega  \right)=4!=24\]

a) A : “ Nam, nữ ngồi đối diện nhau”

+) Vị trí thứ nhất : Có 4 cách chọn 1 bạn vào vị trí thứ nhất

+) Có 2 cách chọn 1 bạn vào vị trí đối diện vị trí thứ nhất.

+) Có \[2!=2\] cách chọn 2 bạn vào 2 vị trí còn lại.

\[\Rightarrow n\left( A \right)=4.2.2=16\]

\[\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}\]

b) \[\overline{A}\] : “ Nữ ngồi đối diện nhau”

\[\Rightarrow P\left( \overline{A} \right)=1-P\left( A \right)=\frac{1}{3}\]

Bài 7. (SGK Đại số 11 trang 75)

a) \[n\left( \Omega  \right)=10.10=100\]

\[n\left( A \right)=6.10=60\]

\[n\left( B \right)=10.4=40\]

\[\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{60}{100}=\frac{3}{5};P\left( B \right)=\frac{40}{100}=\frac{2}{5}\]

\[\Rightarrow P\left( A \right).P\left( B \right)=\frac{6}{25}\] (1)

A.B : “Lấy được ở hộp thứ nhất quả cầu màu trắng và hộp thứ hai quả cầu màu trắng”

\[\Rightarrow n\left( AB \right)=6.4=24\]

\[\Rightarrow P\left( AB \right)=\frac{24}{100}=\frac{6}{25}\] (2)

Từ (1) và (2) \[\Rightarrow A\] và B độc lập

b) C : “ Hai quả cầu lấy ra cùng màu”

\[\Rightarrow C=AB\cup \overline{A}\overline{B}\]

Ta có \[AB\cup \overline{A}\overline{B}=\varnothing \Rightarrow AB\] và \[\overline{A}\overline{B}\] là xung khắc.

\[\Rightarrow P\left( C \right)=P\left( AB \right)+P\left( \overline{A}\overline{B} \right)\]

Vì A, B độc lập nên \[\overline{A},\overline{B}\] độc lập

\[\Rightarrow P\left( C \right)=P\left( A \right).P\left( B \right)+P\left( \overline{A} \right).P\left( \overline{B} \right)\]

\[=\frac{6}{25}+\left( 1-P\left( A \right) \right)\left( 1-P\left( B \right) \right)\]

\[=\frac{6}{25}+\frac{2}{5}.\frac{3}{5}=\frac{12}{25}\]

c) \[\overline{C}\] : “ Hai quả cầu lấy ra khác màu” \[\Rightarrow P\left( \overline{C} \right)=1-P\left( C \right)=\frac{13}{25}\]

Giải bài tập sách giáo khoa xác suất của biến cố đại số 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất.