BÀI 7: PHÉP VỊ TỰ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Định nghĩa:
Cho điểm O và số \[k\ne 0\]. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho \[\overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}\] được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k.
Phép vị tự tâm O tỉ số k thường được kí hiệu là \[{{V}_{(O;k)}}\].
Nhận xét:
- Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.
- Khi \[k=1\], phép vị tự là đồng nhất.
- Khi \[k=1\], phép vị tự là phép đối xứng tâm.
- \[\text{M}'={{\text{V}}_{\left( O;k \right)}}\left( M \right)\Leftrightarrow \text{M}={{\text{V}}_{\left( O;\frac{1}{k} \right)}}\left( \text{M}' \right)\]
2. Tính chất
Tính chất 1
\[{{\text{V}}_{(I;\text{k})}}\left( M \right)=\text{M}',{{\text{V}}_{(I;\text{k})}}\left( N \right)=\text{N}'\Rightarrow \overrightarrow{M'N'}=k\overrightarrow{MN}\]
Tính chất 2
Phép vị tự tỉ số k:
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;
- Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng;
- Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó;
- Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính \[\left| k \right|R\].
3. Biểu thức tọa độ
Cho \[I\left( a;b \right)\]. Khi đó: \({{\rm{V}}_{\left( {I;k} \right)}}M\left( {x;y} \right) \mapsto {\rm{M}}'\left( {{\rm{x}}';{\rm{y}}'} \right) \Rightarrow {\rm{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{x}}' = {\rm{kx}} + \left( {1 - {\rm{k}}} \right)a}\\ {{\rm{y}}' = {\rm{ky}} + \left( {1 - {\rm{k}}} \right){\rm{b}}} \end{array}} \right.\)
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Chứng minh/xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác,… qua phép vị tự
Cách giải:
Áp dụng định nghĩa \[{{V}_{\left( O,k \right)}}\left( M \right)={M}'\Leftrightarrow \overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}\] và tính chất của phép vị tự kết hợp với dữ kiện đề bài.
Dạng 2. Tìm tọa độ điểm; phương trình đường thẳng, đường tròn qua phép vị tự \[{{V}_{\left( O;k \right)}}\]
Cách giải:
Áp dụng công thức phần biểu thức tọa độ.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (trang 29 SGK Hình học 11)
Ta có \[{{V}_{\left( H;\frac{1}{2} \right)}}\left( A \right)=A'\]
\[\Leftrightarrow \overrightarrow{\text{HA}'}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{HA}}\]
\[\Leftrightarrow A'\] là trung điểm AH.
Tương tự:
\[{{V}_{\left( H;\frac{1}{2} \right)}}\left( B \right)=B'\Leftrightarrow B'\]là trung điểm BH.
\[{{V}_{\left( H;\frac{1}{2} \right)}}\left( C \right)=C'\Leftrightarrow C'\]là trung điểm CH.
\[\Rightarrow {{V}_{\left( H;\frac{1}{2} \right)}}\left( \Delta ABC \right)=\Delta A'B'C'\] với \[A';B';C'\] là trung điểm \[AH;BH;CH\].
Bài 2 (trang 29 SGK Hình học 11)
Gọi hai đường tròn lần lượt là \[\left( I;R \right)\] và \[\left( I';R' \right)\].
Các xác định tâm vị tự của hai đường tròn:
- Trên đường tròn \[\left( I;R \right)\] lấy điểm M bất kì.
- Trên đường tròn \[\left( I';R' \right)\] dựng đường kính \[AB//IM\].
- \[MA\] và MB lần lượt cắt \[II'\] tại \[{{O}_{1}}\] và \[{{O}_{2}}\] chính là hai tâm vị tự của hai đường tròn.
Đối với từng trường hợp ta xác định được các tâm vị tự \[{{O}_{1}};{{O}_{2}}\] như hình dưới.
+ Hình 1.62a:
+ Hình 1.62b:
+ Hình 1.62c.
Bài 3. (trang 29 SGK Hình học 11)
Giả sử \[{{V}_{\left( O;{{k}_{1}} \right)}}\left( M \right)={{M}_{1}}\Leftrightarrow \overrightarrow{O{{M}_{1}}}={{k}_{1}}\overrightarrow{OM}\]
\[{{V}_{\left( O;{{k}_{2}} \right)}}\left( {{M}_{1}} \right)={{M}_{2}}\Leftrightarrow \overrightarrow{O{{M}_{2}}}={{k}_{2}}\overrightarrow{O{{M}_{1}}}\]
\[\Leftrightarrow \overrightarrow{O{{M}_{2}}}={{k}_{2}}.{{k}_{1}}\overrightarrow{OM}\]
\[{{V}_{\left( O;{{k}_{1}}{{k}_{2}} \right)}}\left( M \right)={{M}_{2}}\Leftrightarrow \overrightarrow{O{{M}_{2}}}={{k}_{1}}{{k}_{2}}\overrightarrow{OM}\]
Vậy khi thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm O với tỉ số \[{{k}_{1}}\] và \[{{k}_{2}}\] thì ta được 1 phép vị tự tâm O với tỉ số \[{{k}_{1}}.{{k}_{2}}\].
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 11 bài Phép vị tự do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ.