BÀI 4: CẤP SỐ NHÂN
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Cấp số nhân là một dãy số mà trong đó kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q không đổi, nghĩa là
\[\left( {{\mathbf{u}}_{\mathbf{n}}} \right)\] là cấp số nhân \[\Leftrightarrow \] mọi \[\mathbf{n}\ge \mathbf{2}\] , và \[{{\mathbf{u}}_{\mathbf{n}}}={{\mathbf{u}}_{\mathbf{n}-\mathbf{1}}}.\mathbf{q}\]
Số \[q\] được gọi là công bội của cấp số nhân.
2. Tính chất
Trung bình nhân: \[u_{k}^{2}={{u}_{k-1}}.{{u}_{k+1}}\] với \[k\ge 2\]
3. Số hạng tổng quát
\[{{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}\] với \[n\ge 2\]
4. Tổng của n số hạng trong cấp số nhân
\[{{S}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{u}_{i}}}={{u}_{1}}(1+q+{{q}^{2}}+...+{{q}^{n-1}})=\frac{{{u}_{1}}(1-{{q}^{n}})}{1-q}\]
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Chứng minh/xét một dãy số là cấp số nhân
Cách giải:
Để chứng minh dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] là một cấp số nhân, ta xét \[A=\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}\]
- Nếu \[A\] là hằng số thì \[\left( {{u}_{n}} \right)\] là một cấp số nhân với công bội \[q=A\].
- Nếu \[A\] phụ thuộc vào n thì \[\left( {{u}_{n}} \right)\] không là cấp số nhân.
Dạng 2. Xác định \[{{u}_{1}};{{u}_{k}};q;...\] của cấp số nhân
Cách giải:
- Ta thiết lập một hệ phương trình gồm hai ẩn \[{{u}_{1}}\] và \[q\]. Sau đó giải hệ phương trình này tìm được \[{{u}_{1}}\] và \[q\].
- Muốn tìm số hạng thứ \[k\] , trước tiên ta phải tìm \[{{u}_{1}}\] và \[q\]. Sau đó áp dụng công thức: \[{{u}_{k}}={{u}_{1}}{{q}^{k-1}}\].
Dạng 3. Tính tổng của \[n\] số hạng đầu tiên của cấp số nhân
Cách giải:
- Ta thiết lập một hệ phương trình gồm hai ẩn \[{{u}_{1}}\] và \[q\]. Sau đó giải hệ phương trình này tìm được \[{{u}_{1}}\] và \[q\].
- Khi đó, tổng của \[n\] số hạng đầu tiên của cấp số nhân là \[{{S}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{u}_{i}}}={{u}_{1}}(1+q+{{q}^{2}}+...+{{q}^{n-1}})=\frac{{{u}_{1}}(1-{{q}^{n}})}{1-q}\].
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (SGK Đại số 11 trang 103)
+ \[{{u}_{n}}=\frac{3}{5}{{.2}^{n}}\]
Ta có \[\forall n\in {{N}^{*}}:\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{\frac{3}{5}{{.2}^{n+1}}}{\frac{3}{5}{{.2}^{n}}}=2\]
\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] là cấp số nhân với \[{{u}_{1}}=\frac{6}{5},q=2\]
+ \[{{u}_{n}}=\frac{5}{{{2}^{n}}}\]
Ta có \[\forall n\in {{N}^{*}}:\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{\frac{5}{{{2}^{n+1}}}}{\frac{5}{{{2}^{n}}}}=\frac{5}{{{2}^{n+1}}}.\frac{{{2}^{n}}}{5}=\frac{1}{2}\]
\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] là cấp số nhân với \[{{u}_{1}}=\frac{5}{2},q=\frac{1}{2}\]
+ \[{{u}_{n}}={{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{n}}\]
Ta có \[\forall n\in {{N}^{*}}:\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{n+1}}}{{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{n}}}=-\frac{1}{2}\]
\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] là cấp số nhân với \[{{u}_{1}}=\frac{-1}{2},q=\frac{-1}{2}\]
Bài 2. (SGK Đại số 11 trang 103)
a) \[{{u}_{1}}=2,{{u}_{6}}=486\]
Ta có \[{{u}_{6}}={{u}_{1}}.{{q}^{5}}=2.{{q}^{5}}\]
\( \Rightarrow {q^5} = 243 = {3^5} \Rightarrow q = 3\)
b) \[q=\frac{2}{3},{{u}_{4}}=\frac{8}{21}\]
Ta có : \[{{u}_{4}}={{u}_{1}}.{{q}^{3}}\Rightarrow {{u}_{1}}=\frac{{{u}_{4}}}{{{q}^{3}}}=\frac{9}{7}\]
c) \[{{u}_{1}}=3,q=-2\]
Ta có : \[{{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}\]
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 192 = 3.{\left( { - 2} \right)^{n - 1}}\\ \Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^{n - 1}} = 64 = {\left( { - 2} \right)^6}\\ \Leftrightarrow n - 1 = 6\\ \Leftrightarrow n = 7 \end{array}\)
Bài 3. (SGK Đại số 11 trang 103)
a) \(\left\{ \begin{array}{l} {u_3} = 3\\ {u_5} = 27 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1}{q^2} = 3\\ {u_1}{q^4} = 27 \end{array} \right.\)
\[\Rightarrow {{q}^{2}}=9\Leftrightarrow q=\pm 3\]
Với \[q=-3\] , ta có cấp số nhân \[\left( {{u}_{n}} \right)\] là : \[\frac{1}{3};-1;3;-9;27\]
Với \[q=3\] , ta có cấp số nhân \[\left( {{u}_{n}} \right)\] là : \[\frac{1}{3};1;3;9;27\]
b) \(\left\{ \begin{array}{l} {u_4} - {u_2} = 25\\ {u_3} - {u_1} = 50 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1}{q^3} - {u_1}q = 25\\ {u_1}{q^2} - {u_1} = 50 \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1}q\left( {{q^2} - 1} \right) = 25\\ {u_1}\left( {{q^2} - 1} \right) = 50 \end{array} \right.\left( I \right)\)
+ Xét \[{{q}^{2}}-1=0\Leftrightarrow q=\pm 1\]
\[\Rightarrow \] Hệ phương trình (I) vô lí
+ Xét \[{{q}^{2}}-1\ne 0\] ta có :
\[\left( I \right)\Rightarrow q=\frac{1}{2}\Rightarrow {{u}_{1}}=\frac{50}{{{q}^{2}}-1}=-\frac{200}{3}\]
\[\Rightarrow \] Cấp số nhân \[\left( {{u}_{n}} \right)\] là \[\frac{-200}{3};\frac{-100}{3};\frac{-50}{3};\frac{-25}{3};\frac{-25}{6}\]
Bài 4. (SGK Đại số 11 trang 104)
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 31\\ {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} + {u_6} = 62 \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1}q + {u_2}q + {u_3}q + {u_4}q + {u_5}q = 31q\\ {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} + {u_6} = 62 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} + {u_6} = 31q\\ 31q = 62 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 31\\ q = 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = 31\\ q = 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 1\\ q = 2 \end{array} \right. \end{array}\)
\[\Rightarrow \] Cấp số nhân là \[1;2;4;8;16;32\] .
Bài 5. (SGK Đại số 11 trang 104)
Gọi số dân của tỉnh hiện nay là \[{{X}_{0}}\] ( triệu người)
Năm đầu tiên, số dân của tỉnh là : \({X_1} = {X_0} + 1,4\% {X_0} = {X_0}\left( {1 + 1,4\% } \right)\)
Năm thứ hai, số dân của tỉnh là : \({X_2} = {X_1} + 1,4\% {X_1} = {X_1}\left( {1 + 1,4\% } \right) = {X_0}{\left( {1 + 1,4\% } \right)^2}\)
…
Năm thứ n, số dân của tỉnh là : \({X_n} = {X_0}{\left( {1 + 1,4\% } \right)^n}\)
\[\Rightarrow \] Số dân của tỉnh sau mỗi năm lập thành cấp số nhân.
+ Sau 5 năm, số dân của tỉnh là : \({X_5} = {X_0}{\left( {1 + 1,4\% } \right)^5} = 1,8{\left( {1 + 1,4\% } \right)^5} \approx 1,93\)(triệu người)
+ Sau 10 năm, số dân của tỉnh là : \({X_{10}} = {X_0}{\left( {1 + 1,4\% } \right)^{10}} = 1,8{\left( {1 + 1,4\% } \right)^{10}} \approx 2,07\)(triệu người)
Bài 6. (SGK Đại số 11 trang 104)
Ta có : \[{{a}_{1}}=4\]
Theo định lí Pi-ta-go ta có :
\[{{a}_{n+1}}=\sqrt{{{\left( \frac{{{a}_{n}}}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{3{{a}_{n}}}{4} \right)}^{2}}}\]
\(\begin{array}{l} = \sqrt {a_n^2\left( {\frac{1}{{16}} + \frac{9}{{16}}} \right)} \\ = {a_n}.\frac{{\sqrt {10} }}{4} \end{array}\)
\[\Rightarrow \left( {{a}_{n}} \right)\] là cấp số nhân với \[{{u}_{1}}=4;q=\frac{\sqrt{10}}{4}\]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo bài tập cấp số nhân toán học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất.