BÀI 3: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
I. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
1. Định nghĩa
Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng: \[at+b=0\]
Trong đó, \[a, b\] là các hằng số \[\left( a\ne 0 \right)\] và t là một trong các hàm số lượng giác.
2. Cách giải
Chuyển về rồi chia cả hai vế cho a, ta đưa phương trình về phương trình lượng giác cơ bản.
3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi phương trình về các phương trình lượng giác cơ bản rồi giải.
II. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
1. Định nghĩa
Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng: \[a{{t}^{2}}+bt+c=0\left( a\ne 0 \right)\]
Trong đó \[a,b,c\] là các hằng số và t là một trong số các hàm số lượng giác.
2. Cách giải
- Đặt ẩn phụ và điều kiện cho ẩn (nếu có).
- Giải phương trình theo ẩn phụ.
- Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản.
3. Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi phương trình về các phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác rồi giải.
III. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x
Xét phương trình \[a\operatorname{s}i\text{nx}+b\cos x=c\left( a,b,c\in \mathbb{R};{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0 \right)\]
- Nếu \(\left[ \begin{array}{l} a = 0;b \ne 0\\ a \ne 0;b = 0 \end{array} \right.\) phương trình đã cho trở thành phương trình lượng giác cơ bản.
- Nếu \[a\ne 0,b\ne 0\] ta có:
\[a\operatorname{s}i\text{nx}+b\cos x=c\]
\[\Leftrightarrow \frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\cos x=\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\]
\[\Leftrightarrow \sin \left( x+\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\] với \[\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}};\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\]
Phương trình có nghiệm \[\Leftrightarrow \frac{\left| c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\le 1\Leftrightarrow {{c}^{2}}\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\]
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Cách giải:
\[at+b=0\left( a\ne 0 \right)\Leftrightarrow t=-\frac{b}{a}\] với \[t\] là một hàm số lượng giác.
Dạng 2. Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Cách giải:
\[a{{t}^{2}}+bt+c=0\left( a\ne 0 \right)\] với \[t\] là một hàm số lượng giác.
- Đặt ẩn phụ và điều kiện cho ẩn (nếu có).
- Giải phương trình theo ẩn phụ.
- Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản.
Dạng 3. Giải phương trình đưa về phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Cách giải:
Sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi phương trình về các phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác rồi giải.
Dạng 4. Giải phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x
Cách giải:
Nếu \[a\ne 0,b\ne 0\] ta có:
\[a\operatorname{s}i\text{nx}+b\cos x=c\]
\[\Leftrightarrow \frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\cos x=\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\]
\[\Leftrightarrow \sin \left( x+\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\] với \[\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}};\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\]
Dạng 5. Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x có nghiệm hoặc vô nghiệm
Cách giải:
Phương trình \[a\operatorname{s}i\text{nx}+b\cos x=c\] có nghiệm \[\Leftrightarrow \frac{\left| c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\le 1\Leftrightarrow {{c}^{2}}\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\]
Phương trình \[a\operatorname{s}i\text{nx}+b\cos x=c\] vô nghiệm \[\Leftrightarrow \frac{\left| c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}>1\Leftrightarrow {{c}^{2}}>{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\]
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (SGK Đại số 11 trang 36)
\[{{\sin }^{2}}x-\sin x=0\]
\[\Leftrightarrow \sin x\left( \sin x-1 \right)=0\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0\\ \sin x = 1 \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi \\ x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Bài 2. (SGK Đại số 11 trang 36)
a) \[2{{\cos }^{2}}x-3\cos x+1=0\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 1\\ \cos x = \frac{1}{2} \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k2\pi \\ x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
b) \[2\sin 2x+\sqrt{2}\sin 4x=0\]
\[\Leftrightarrow 2\sin 2x+2\sqrt{2}\sin 2x.\cos 2x=0\]
\[\Leftrightarrow 2\sin 2x\left( 1+\sqrt{2}\cos 2x \right)=0\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin 2x = 0\\ \cos 2x = - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = k\pi \\ 2x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\frac{\pi }{2}\\ x = \pm \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Bài 3. (SGK Đại số 11 trang 37)
a) \[{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}-2\cos \frac{x}{2}+2=0\]
\[\Leftrightarrow 1-{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}-2\cos \frac{x}{2}+2=0\]
\[\Leftrightarrow -{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}-2\cos \frac{x}{2}+3=0\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos \frac{x}{2} = - 3\left( {loai} \right)\\ \cos \frac{x}{2} = 1 \end{array} \right.\)
\[\Leftrightarrow \frac{x}{2}=k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
\[\Leftrightarrow x=k4\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
b) \[8{{\cos }^{2}}x+2\sin x-7=0\]
\[\Leftrightarrow 8\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)+2\sin x-7=0\]
\[\Leftrightarrow -8{{\sin }^{2}}x+2\sin x+1=0\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = \frac{1}{2}\\ \sin x = - \frac{1}{4} \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\ x = \arcsin \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k2\pi \\ x = \pi - \arcsin \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
c) \[2{{\tan }^{2}}x+3\tan x+1=0\] (1)
Điều kiện : \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
(1)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = - 1\\ \tan x = - \frac{1}{2} \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
d) \[\tan x-2\cot x+1=0\] (2)
Điều kiện : \[x\ne \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ;k\pi \right\}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
(2) \[\Leftrightarrow \tan x-\frac{2}{\tan x}+1=0\]
\[\Leftrightarrow {{\tan }^{2}}x+\tan x-2=0\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = 1\\ \tan x = - 2 \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \arctan \left( { - 2} \right) + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Bài 4. (SGK Đại số 11 trang 37)
a) \[2{{\sin }^{2}}x+\sin x.\cos x-3{{\cos }^{2}}x=0\]
+ Xét \[\cos x=0\] ta có : \[VT=2;VP=0\Leftrightarrow \] Phương trình vô nghiệm.
+ Xét \[\cos x\ne 0\] , chia cả hai vế của phương trình cho \[{{\cos }^{2}}x\] ta có :
\[2{{\tan }^{2}}x+\tan x-3=0\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = 1\\ \tan x = \frac{{ - 3}}{2} \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \arctan \left( { - \frac{3}{2}} \right) + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
b) \[3{{\sin }^{2}}x-4\sin x.\cos x+5{{\cos }^{2}}x=2\]
+ Xét \[\cos x=0\] ta có : \[VT=3;VP=2\Leftrightarrow \] Phương trình vô nghiệm.
+ Xét \[\cos x\ne 0\] , chia cả hai vế của phương trình cho \[{{\cos }^{2}}x\] ta có :
\[3{{\tan }^{2}}x-4\tan x+5=\frac{2}{{{\cos }^{2}}x}\]
\[\Leftrightarrow 3{{\tan }^{2}}x-4\tan x+5=2\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)\]
\[\Leftrightarrow {{\tan }^{2}}x-4\tan x+3=0\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = 1\\ \tan x = 3 \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \arctan 3 + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\) (thỏa mãn)
c) \[{{\sin }^{2}}x+\sin 2x-2{{\cos }^{2}}x=\frac{1}{2}\]
\[\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x+2\sin x.\cos x-2{{\cos }^{2}}x=\frac{1}{2}\]
+ Xét \[\cos x=0\] ta có : \[VT=1;VP=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \] Phương trình vô nghiệm.
+ Xét \[\cos x\ne 0\] , chia cả hai vế của phương trình cho \[{{\cos }^{2}}x\] ta có :
\[{{\tan }^{2}}x+2\tan x-2=\frac{1}{2}\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)\]
\[\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{\tan }^{2}}x+2\tan x-\frac{5}{2}=0\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = 1\\ \tan x = - 5 \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \arctan \left( { - 5} \right) + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\) (thỏa mãn)
d) \[2{{\cos }^{2}}x-3\sqrt{3}\sin 2x-4{{\sin }^{2}}x=-4\]
\[\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x-6\sqrt{3}\sin x.\cos x-4{{\sin }^{2}}x=-4\]
\[\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}x-3\sqrt{3}\sin x.\cos x-2{{\sin }^{2}}x=-2\]
+ Xét \[\cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
Khi đó phương trình \[\Leftrightarrow -2=-2\] (luôn đúng)
- \[x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\] là một họ nghiệm của phương trình.
+ Xét \[\cos x\ne 0\] , chia cả hai vế của phương trình cho \[{{\cos }^{2}}x\] ta có :
\[1-3\sqrt{3}\tan x-2{{\tan }^{2}}x=-2\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)\]
\[\Leftrightarrow -3\sqrt{3}\tan x+3=0\]
\[\Leftrightarrow \tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}\]
\[\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
Bài 5. (SGK Đại số 11 trang 37)
a) \[\cos x-\sqrt{3}\sin x=\sqrt{2}\]
\[\Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\]
\[\Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{3}.\cos x-\sin \frac{\pi }{3}.\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\]
\[\Leftrightarrow \cos \left( \frac{\pi }{3}+x \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{\pi }{3} + x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ \frac{\pi }{3} + x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{ - \pi }}{{12}} + k2\pi \\ x = \frac{{ - 7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
b) \[3\sin 3x-4\cos 3x=5\]
\[\Leftrightarrow \frac{3}{5}\sin 3x-\frac{4}{5}\cos 3x=1\]
Đặt \[\cos \alpha =\frac{3}{5};\sin \alpha =\frac{4}{5}\]
Phương trình \[\Leftrightarrow \sin \left( 3x-\alpha \right)=1\]
\[\Leftrightarrow 3x-\alpha =\frac{\pi }{2}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
\[\Leftrightarrow x=\frac{\alpha }{3}+\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
c) \[2\sin x+2\cos x-\sqrt{2}=0\]
\[\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x=\frac{1}{2}\]
\[\Leftrightarrow \sin x.\cos \frac{\pi }{4}+\cos x.\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}\]
\[\Leftrightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{1}{2}\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ x + \frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{ - \pi }}{{12}} + k2\pi \\ x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
d) \[5\cos 2x+12\sin 2x-13=0\]
\[\Leftrightarrow \frac{5}{13}\cos 2x+\frac{12}{13}\sin 2x=1\]
Đặt \[\cos \alpha =\frac{5}{13};\sin \alpha =\frac{12}{13}\]
Phương trình \[\Leftrightarrow \cos \left( 2x-\alpha \right)=1\]
\[\Leftrightarrow 2x-\alpha =k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
\[\Leftrightarrow x=\frac{\alpha }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
Bài 6. (SGK Đại số 11 trang 37)
a) \[\tan \left( 2x+1 \right)\tan \left( 3x-1 \right)=1\] (1)
Điều kiện : \[2x+1\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ;3x-1\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
(1) \[\Leftrightarrow \frac{\sin \left( 2x+1 \right)}{\cos \left( 2x+1 \right)}.\frac{\sin \left( 3x-1 \right)}{\cos \left( 3x-1 \right)}=1\]
\[\Leftrightarrow \sin \left( 2x+1 \right).\sin \left( 3x-1 \right)=\cos \left( 2x+1 \right).\cos \left( 3x-1 \right)\]
\[\Leftrightarrow \cos \left( 3x-1 \right).\cos \left( 2x+1 \right)-\sin \left( 3x-1 \right).\sin \left( 2x+1 \right)=0\]
\[\Leftrightarrow \cos \left( 3x-1+2x+1 \right)=0\]
\[\Leftrightarrow \cos \left( 5x \right)=0\]
\[\Leftrightarrow 5x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
\[\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{10}+k\frac{\pi }{5}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\] (thỏa mãn điều kiện)
b) \[\tan x+\tan \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=1\] (2)
Điều kiện : \[x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ;x+\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
(2) \[\Leftrightarrow \tan x+\frac{\tan x+\tan \frac{\pi }{4}}{1-\tan x.\tan \frac{\pi }{4}}=1\]
\[\Leftrightarrow \tan x+\frac{\tan x+1}{1-\tan x}=1\]
\[\Leftrightarrow \tan x\left( 1-\tan x \right)+\tan x+1=1-\tan x\]
\[\Leftrightarrow -{{\tan }^{2}}x+3\tan x=0\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = 0\\ \tan x = 3 \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi \\ x = \arctan 3 + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\) (thỏa mãn điều kiện)
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 11 bài Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ