BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
I. Hàm số liên tục tại một điểm
Định nghĩa 1
Cho hàm số \[y=f(x)\] xác định trên khoảng K và \[{{x}_{0}}\in K\] .
Hàm số \[y=f(x)\] được gọi là liên tục tại \[{{x}_{0}}\] nếu \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}})\] .
Hàm số \[y=f(x)\] không liên tục tại \[{{x}_{0}}\] được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
II. Hàm số liên tục trên một khoảng
Định nghĩa 2
Hàm số \[y=f(x)\] được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
Hàm số \[y=f(x)\] được gọi là liên tục trên đoạn \[\left[ a;b \right]\] nếu nó liên tục trên khoảng \[\left( a;b \right)\] và
\[\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(a),\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(b)\] .
Khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng, như \[(a;b\text{ }\!\!]\!\!\text{ },\text{ }\!\![\!\!\text{ }a;+\infty ),...\] được định nghĩa một cách tương tự.
Nhận xét
Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó.
III. Một số định lí cơ bản
Định lí 1
a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.
b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
Định lí 2
Giả sử \[y=f(x)\] và \[y=g(x)\] là hai hàm số liên tục tại điểm \[{{x}_{0}}\] . Khi đó :
a) Các hàm số \[y=f(x)+g(x);y=f(x)-g(x)\] và \[y=f(x).g(x)\] liên tục tại \[{{x}_{0}}\] .
b) Hàm số \[y=\frac{f(x)}{g(x)}\] liên tục tại \[{{x}_{0}}\] nếu \[g({{x}_{0}})\ne 0\] .
Định lí 3
Nếu hàm số \[y=f(x)\] liên tục trên đoạn [a;b] và \[f(a)f(b)<0\] , thì tồn tại ít nhất một điểm \[c\in \left( a;b \right)\] sao cho \[f(c)=0\] .
Định lí 3 thường được áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình trên một khoảng.
Có thể phát biểu Định lí 3 dưới một dạng khác như sau :
Nếu hàm số \[y=f(x)\] liên tục trên đoạn [a;b] và \[f(a)f(b)<0\] , thì phương trình \[f(x)=0\] có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a;b).
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Cách giải:
- Tính \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\]
- Tính \[f\left( {{x}_{0}} \right)\]
- Nếu \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)\] thì hàm số liên tục tại điểm \[{{x}_{0}}\] . Nếu \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\ne f\left( {{x}_{0}} \right)\] thì hàm số gián đoạn tại điểm \[{{x}_{0}}\] .
Dạng 2. Tìm tham số \[m\] để hàm số liên tục tại điểm
Cách giải:
- Tính \[\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right);\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\]
- Tính \[f\left( {{x}_{0}} \right)\]
- Hàm số liên tục tại điểm \[{{x}_{0}}\] \[\Leftrightarrow \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)\] thì
Dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số trên \[\mathbb{R}\]
Cách giải:
- Xét tính liên tục trên \[\left( {{x}_{0}};+\infty \right)\]
- Xét tính liên tục trên \[\left( -\infty ;{{x}_{0}} \right)\]
- Xét tính liên tục tại điểm \[x={{x}_{0}}\]
Dạng 4. Chứng minh phương trình có nghiệm
Cách giải:
- Đưa phương trình về dạng \[f\left( x \right)=0\]
- Xác định \[\left[ a;b \right]\] thuộc tập xác định của hàm số sao cho \[f\left( a \right).f\left( b \right)<0\]
\[\Rightarrow \] Phương trình \[f\left( x \right)=0\] có ít nhất một nghiệm thuộc \[\left( a;b \right)\]
Chú ý: Cho phương trình chứa tham số và đề bài yêu cầu phương trình có nghiệm với mọi \[m\] ta cũng làm tương tự (Xác định \[\left[ a;b \right]\] thuộc tập xác định của hàm số sao cho \[f\left( a \right).f\left( b \right)<0,\forall m\] )
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. SGK Đại số 11 trang 140
Hàm số \[y=f\left( x \right)\] xác định trên R và \[{{x}_{0}}=3\in R\] .
Ta có \[\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{3}}+2x-1 \right)=32=f\left( 3 \right)\]
\[\Rightarrow \] Hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục tại \[{{x}_{0}}=3\] .
Bài 2. SGK Đại số 11 trang 141
a) Ta có :
\[\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}-8}{x-2}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)=12\]
\[g\left( 2 \right)=5\Rightarrow \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)\ne g\left( 2 \right)\]
\[\Rightarrow \] Hàm số không liên tục tại \[{{x}_{0}}=2\]
b) Để hàm số liên tục tại \[{{x}_{0}}=2\] thì \[g\left( 2 \right)=12\] .
Bài 3. SGK Đại số 11 trang 141
a)
Từ đồ thị hàm số \[y=f\left( x \right)\] ta thấy :
+ Hàm số liên tục trên \[\left( -\infty ;-1 \right)\] và \[\left( -1;+\infty \right)\]
+ Hàm số không liên tục tại điểm \[x=-1\]
b)
+ Trên \[\left( -\infty ;-1 \right)\] : \[y=3x+2\] liên tục
+ Trên \[\left( -1;+\infty \right)\] : \[y={{x}^{2}}-1\] liên tục
+ Tại \[x=-1\] :
\[\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 3x+2 \right)=-1\]
\[\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-1 \right)=0\]
\[\Rightarrow \underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\ne \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\]
\[\Rightarrow \] Không tồn tại \[\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\] hay hàm số không liện tục tại \[x=-1\] .
Bài 4. SGK Đại số 11 trang 141
+ \[f\left( x \right)=\frac{x+1}{{{x}^{2}}+x-6}\]
Hàm số xác định \[\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-6\ne 0\Leftrightarrow x\ne \left\{ -2;-3 \right\}\]
Theo định lí 1, ta có hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục trên \[\left( -\infty ;-3 \right);\left( -3;-2 \right);\left( -2;+\infty \right)\]
+ \[g\left( x \right)=\tan x+\sin x\]
Hàm số xác định \[\Leftrightarrow \cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
Theo định lí 1, ta có hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục trên \[\left( \frac{-\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
Bài 5. SGK Đại số 11 trang 141
Giả sử ý kiến sau là đúng :
“ Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục tại điểm \[{{x}_{0}}\] còn hàm số \[y=g\left( x \right)\] không liên tục tại \[{{x}_{0}}\] thì \[y=f\left( x \right)+g\left( x \right)\] là một hàm số liên tục tại \[{{x}_{0}}\] .”
Chứng minh :
Đặt \[h\left( x \right)=f\left( x \right)+g\left( x \right)\Rightarrow g\left( x \right)=h\left( x \right)-f\left( x \right)\]
Vì \[y=h\left( x \right)\] và \[y=f\left( x \right)\] liên tục tại \[{{x}_{0}}\]
\[\Rightarrow \] \[y=h\left( x \right)\] và \[y=-f\left( x \right)\] liên tục tại \[{{x}_{0}}\]
\[\Rightarrow \] \[y=h\left( x \right)+\left( -f\left( x \right) \right)\] liên tục tại \[{{x}_{0}}\] hay \[y=h\left( x \right)-f\left( x \right)\] liên tục tại \[{{x}_{0}}\]
\[\Rightarrow \] \[g\left( x \right)\] liên tục tại \[{{x}_{0}}\] ( trái với giả thiết)
\[\Rightarrow \] Ý kiến trên là sai
\[\Rightarrow \] Ý kiến đề bài cho là đúng.
Bài 6. SGK Đại số 11 trang 141
a)
\[2{{x}^{3}}-6x+1=0;f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-6x+1=0\]
+ Xét \[\left( -2;-1 \right)\] ta có: \[f\left( -2 \right)=-3;f\left( -1 \right)=5\Rightarrow f\left( -2 \right).f\left( -1 \right)<0\]
\[\Rightarrow \] Trong \[\left( -2;-1 \right)\] , phương trình có ít nhất một nghiệm. (1)
+ Xét \[\left( 1;2 \right)\] ta có: \[f\left( 1 \right)=-3;f\left( 2 \right)=5\Rightarrow f\left( 1 \right).f\left( 2 \right)<0\]
\[\Rightarrow \] Trong \[\left( 1;2 \right)\] , phương trình có ít nhất một nghiệm. (2)
(1),(2) \[\Rightarrow \] Điều phải chứng minh.
b)
\[\cos x=x\Leftrightarrow \cos x-x=0\]
\[g\left( x \right)=\cos x-x\]
Xét \[\left( 0;\frac{\pi }{3} \right)\] ta có: \[g\left( 0 \right)=1;g\left( \frac{\pi }{3} \right)<0\Rightarrow g\left( 0 \right).g\left( \frac{\pi }{3} \right)<0\]
\[\Rightarrow \] Trong \[\left( 0;\frac{\pi }{3} \right)\] , phương trình có ít nhất một nghiệm.
\[\Rightarrow \] Điều phải chứng minh.
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa hàm số liên tục toán học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất