ican
Giải SGK Toán 11
Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác

Giải bài tập sách giáo khoa đạo hàm của hàm số lượng giác toán học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất

Ican

BÀI 3: ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

  • \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\operatorname{s}i\text{nx}}{x}=1\]
  • Hàm số \[y=\sin x;y=\cos x\] có đạo hàm tại mọi \[x\in \mathbb{R}\]
  • Hàm số \[y=\tan x\] có đạo hàm tại mọi \[x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
  • Hàm số \[y=\cot x\] có đạo hàm tại mọi \[x\ne k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
  • Bảng đạo hàm
\[\left( cx \right)'=c,c\] là hằng số\[\left( cu \right)'=cu'\] (c là hằng số)\[\left( \tan x \right)'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\]\[\left( \tan u \right)'=\frac{u'}{{{\cos }^{2}}u}\]
\[\left( {{x}^{m}} \right)'=m{{x}^{m-1}}\]\[\left( {{u}^{m}} \right)'=m{{u}^{m-1}}u'\]\[\left( \cot x \right)'=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\]\[\left( \cot u \right)'=-\frac{u'}{{{\sin }^{2}}u}\]
\[\left( \frac{1}{x} \right)'=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\] \[\left( \frac{1}{u} \right)'=-\frac{u'}{{{u}^{2}}}\]\[\left( \sin x \right)'=\cos x\]\[\left( \sin u \right)'=u'.\cos u\]
\[\left( \sqrt{x} \right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\]\[\left( \sqrt{u} \right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\]\[\left( \cos x \right)'=-\sin x\]\[\left( \cos u \right)'=-u'.\sin u\]

 

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Tính đạo hàm

Cách giải:

Áp dụng các công thức và quy tắc tính đạo hàm

Dạng 2. Giải các phương trình, bất phương trình liên quan đến đạo hàm

Cách giải:

  • Tính \[y'=f'\left( x \right)\]
  • Thay \[y'=f'\left( x \right)\] vào phương trình, bất phương trình đã cho và áp dụng các kiến thức về giải phương trình, bất phương trình đã học.

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1. SGK Đại số 11 trang 168

a) \[y=\frac{x-1}{5x-2}\Rightarrow y'=\frac{5x-2-5\left( x-1 \right)}{{{\left( 5x-2 \right)}^{2}}}=\frac{3}{{{\left( 5x-2 \right)}^{2}}}\]

b) \[y=\frac{2x+3}{7-3x}\Rightarrow y'=\frac{2\left( 7-3x \right)+3\left( 2x+3 \right)}{{{\left( 7-3x \right)}^{2}}}=\frac{23}{{{\left( 7-3x \right)}^{2}}}\]

c) \[y=\frac{{{x}^{2}}+2x+3}{3-4x}\Rightarrow y'=\frac{\left( 2x+2 \right)\left( 3-4x \right)+4\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)}{{{\left( 3-4x \right)}^{2}}}=\frac{-4{{x}^{2}}+6x+18}{{{\left( 3-4x \right)}^{2}}}\]

d) \[y=\frac{{{x}^{2}}+7x+3}{{{x}^{2}}-3x}\Rightarrow y'=\frac{\left( 2x+7 \right)\left( {{x}^{2}}-3x \right)-\left( 2x-3 \right)\left( {{x}^{2}}+7x+3 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-3x \right)}^{2}}}\] \[\Leftrightarrow y'=\frac{2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-21x-\left( 2{{x}^{3}}+11{{x}^{2}}-15x-9 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-3x \right)}^{2}}}\]

\[\Leftrightarrow y'=\frac{-10{{x}^{2}}-6x+9}{{{\left( {{x}^{2}}-3x \right)}^{2}}}\]

Bài 2. SGK Đại số 11 trang 168

a) \[y=\frac{{{x}^{2}}+x+2}{x-1}\left( x\ne 1 \right)\]

\[\Rightarrow y'=\frac{\left( 2x+1 \right)\left( x-1 \right)-\left( {{x}^{2}}+1+2 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}-2x-3}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\]

\[\Rightarrow y'<0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3<0;x\ne 1\Leftrightarrow -1

b) \[y=\frac{{{x}^{2}}+1}{x+1}\left( x\ne -1 \right)\]

\[\Rightarrow y'=\frac{2x\left( x+1 \right)-\left( {{x}^{2}}+3 \right)}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+2x-3}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\]

\[\Rightarrow y'\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-3\ge 0;x+1\ne 0\Leftrightarrow x\le -3;x\ge 1\]

c) \[y=\frac{2x-1}{{{x}^{2}}+x+4}\]

\[\Rightarrow y'=\frac{2\left( {{x}^{2}}+x+4 \right)-\left( 2x+1 \right)\left( 2x-1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+x+4 \right)}^{2}}}=\frac{2{{x}^{2}}+2x+8-\left( 4{{x}^{2}}-1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+x+4 \right)}^{2}}}=\frac{-2{{x}^{2}}+2x+9}{{{\left( {{x}^{2}}+x+4 \right)}^{2}}}\]

\[\Rightarrow y'>0\Leftrightarrow -2{{x}^{2}}+2x+9>0\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{19}}{2}

Bài 3. SGK Đại số 11 trang 169

a) \[y=5\sin x-3\cos x\]

\[\Rightarrow y'=5\cos x+3\sin x\]

b) \[y=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}\]

\[\Rightarrow y'=\frac{\left( \cos x-\sin x \right)\left( \sin x-\cos x \right)-\left( \sin x+\cos x \right)\left( \cos x+\sin x \right)}{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}}\]

\[\Leftrightarrow y'=\frac{-{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}-{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}}{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}}\]

\[\Leftrightarrow y'=-\frac{2}{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}}\]

c) \[y=x.\cot x\]

\[\Rightarrow y'=\cot x+x.\frac{-1}{{{\sin }^{2}}x}=\cot x-\frac{x}{{{\sin }^{2}}x}\]

d) \[y=\frac{\sin x}{x}+\frac{x}{\sin x}\]

\[\Rightarrow y'=\frac{x\cos x-\sin x}{{{x}^{2}}}+\frac{\sin x-x\cos x}{{{\sin }^{2}}x}\]

\[\Rightarrow y'=\left( x\cos x-\sin x \right)\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right)\]

e) \[y=\sqrt{1+2\tan x}\]

\[\Rightarrow y'=\frac{\left( 1+2\tan x \right)'}{2\sqrt{1+2\tan x}}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x\sqrt{1+2\tan x}}\]

f) \[y=\sin \sqrt{1+{{x}^{2}}}\]

\[\Rightarrow y'=\left( \sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)'\cos \sqrt{1+{{x}^{2}}}=\frac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}.\cos \sqrt{1+{{x}^{2}}}\]

Bài 4. SGK Đại số 11 trang 169

a) \[y=\left( 9-2x \right)\left( 2{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+1 \right)\]

\[\Rightarrow y'=\left( 9-2x \right)'\left( 2{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+1 \right)+\left( 9-2x \right)\left( 2{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+1 \right)'\]

\[=-2\left( 2{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+1 \right)+\left( 9-2x \right)\left( 6{{x}^{2}}-18x \right)\]

\[=-16{{x}^{3}}+108{{x}^{2}}-162x-2\]

b) \[y=\left( 6\sqrt{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\left( 7x-3 \right)\]

\[\Rightarrow y'=\left( 6\sqrt{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)'\left( 7x-3 \right)+7\left( 6\sqrt{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\]

\[=\left( \frac{3}{\sqrt{x}}+\frac{2}{{{x}^{3}}} \right)\left( 7x-3 \right)+7\left( 6\sqrt{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\]

\[=-\frac{6}{{{x}^{3}}}+\frac{7}{{{x}^{2}}}+63\sqrt{x}-\frac{9}{\sqrt{x}}\]

c) \[y=\left( x-2 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}\]

\[\Rightarrow y'=\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\left( x-2 \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)'\]

\[=\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\left( x-2 \right).\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\]

\[=\frac{2{{x}^{2}}-2x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\]

d) \[y={{\tan }^{2}}x-\cot {{x}^{2}}\]

\[\Rightarrow y'=2\tan x.\left( \tan x \right)'-\left( \cot {{x}^{2}} \right)'\]

\[=2\tan x.\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{2x}{{{\sin }^{2}}{{x}^{2}}}\]

\[=\frac{2\tan x}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{2x}{{{\sin }^{2}}{{x}^{2}}}\]

e) \[y=\cos \frac{x}{1+x}\]

\[\Rightarrow y'={{\left( \frac{x}{1+x} \right)}^{'}}.\left( -\sin \frac{x}{1+x} \right)\]

\[=-\frac{1+x-x}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}.\sin \frac{x}{1+x}\]

\[=-\frac{1}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}.\sin \frac{x}{1+1}\]

Bài 5. SGK Đại số 11 trang 169

\[f\left( x \right)={{x}^{2}}\Rightarrow f'\left( x \right)=2x\Rightarrow f'\left( 1 \right)=2\]

\[\varphi \left( x \right)=4x+\sin \frac{\pi x}{2}\Rightarrow \varphi '\left( x \right)=4+\frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi x}{2}\Rightarrow \varphi '\left( 1 \right)=4\]

\[\Rightarrow \frac{f'\left( 1 \right)}{\varphi '\left( 1 \right)}=\frac{1}{2}\]

Bài 6. SGK Đại số 11 trang 169

a) \[y={{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x+3{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x\]

\[={{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x+3{{\left( \frac{1}{2}.2\sin x.\cos x \right)}^{2}}\]

= \[{{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x+\frac{3}{4}{{\sin }^{2}}2x\]

\[\Rightarrow y'=6{{\sin }^{5}}x.\cos x-6{{\cos }^{5}}x.\sin x+3\sin 2x.\cos 2x\]

\[=3\sin 2x.{{\sin }^{4}}x-3\sin 2x.{{\cos }^{4}}x+3\sin 2x.\cos 2x\]

\[=3\sin 2x\left( {{\sin }^{4}}x-{{\cos }^{4}}x+\cos 2x \right)\]

\[=3\sin 2x\left[ \left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)\left( {{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x \right)+\cos 2x \right]\]

\[=3\sin 2x\left( -\cos 2x+\cos 2x \right)\] =0

b) \[y={{\cos }^{2}}\left( \frac{\pi }{3}-x \right)+{{\cos }^{2}}\left( \frac{\pi }{3}+x \right)+{{\cos }^{2}}\left( \frac{2\pi }{3}-x \right)+{{\cos }^{2}}\left( \frac{2\pi }{3}+x \right)-2{{\sin }^{2}}x\] \[\Rightarrow y'=2\cos \left( \frac{\pi }{3}-x \right)\sin \left( \frac{\pi }{3}-x \right)-2\cos \left( \frac{\pi }{3}+x \right).\sin \left( \frac{\pi }{3}+x \right)+2\cos \left( \frac{2\pi }{3}-x \right)\sin \left( \frac{2\pi }{3}-x \right)-2\cos \left( \frac{2\pi }{3}+x \right)\sin \left( \frac{2\pi }{3}+x \right)-4\sin x.\cos x\] 

\[=\sin \left( \frac{2\pi }{3}-2x \right)-\sin \left( \frac{2\pi }{3}+2x \right)+\sin \left( \frac{4\pi }{3}-2x \right)-\sin \left( \frac{4\pi }{3}+2x \right)-2\sin 2x\]

\[=2\cos \frac{2\pi }{3}\sin \left( -2x \right)+2\cos \frac{4\pi }{3}\sin \left( -2x \right)-2\sin 2x\]

\[=\sin 2x+\sin 2x-2\sin 2x=0\]

Bài 7. SGK Đại số 11 trang 169

a) \[f\left( x \right)=3\cos x+4\sin x+5x\]

\[\Rightarrow f'\left( x \right)=-3\sin x+4\cos x+5\]

\[f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow -3\sin x+4\cos x+5=0\]

\[\Leftrightarrow 3\sin x-4\cos x=5\]

\[\Leftrightarrow \frac{3}{5}\sin x-\frac{4}{5}\cos x=1\] (*)

Đặt \[\cos \alpha =\frac{3}{5};\sin \alpha =\frac{4}{5}\]

\[\left( * \right)\Leftrightarrow \sin x.\cos \alpha -\cos x.\sin \alpha =1\]

\[\Leftrightarrow \sin \left( x-\alpha  \right)=1\]

\[\Leftrightarrow x-\alpha =\frac{\pi }{2}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]

\[\Leftrightarrow x=\alpha +\frac{\pi }{2}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]

b) \[f\left( x \right)=1-\sin \left( \pi +x \right)+2\cos \left( \frac{2\pi +x}{2} \right)=1+\sin x-2\cos \frac{x}{2}\]

\[\Rightarrow f'\left( x \right)=\cos x+2.\frac{1}{2}.\sin \frac{x}{2}=\cos x+\sin \frac{x}{2}\]

\[f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \cos x+\sin \frac{x}{2}=0\]

\[\Leftrightarrow 1-2{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}=0\]

\[\Leftrightarrow \sin \frac{x}{2}=1;\sin \frac{x}{2}=-\frac{1}{2}\]

\[\Leftrightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{x}{2}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi ;\frac{x}{2}=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]

\[\Leftrightarrow x=\pi +k4\pi ;x=-\frac{\pi }{3}+k4\pi ;x=\frac{7\pi }{3}+k4\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]

Bài 8. SGK Đại số 11 trang 169

a) \[f\left( x \right)={{x}^{3}}+x-\sqrt{2}\Rightarrow f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+1\]

\[g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+x+\sqrt{2}\Rightarrow g'\left( x \right)=6x+1\]

\[\Rightarrow f'\left( x \right)>g'\left( x \right)\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+1>6x+1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x>0\Leftrightarrow x>2;x<0\]

b) \[f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+\sqrt{3}\Rightarrow f'\left( x \right)=6{{x}^{2}}-2x\]

\[g\left( x \right)={{x}^{3}}+\frac{{{x}^{2}}}{2}-\sqrt{3}\Rightarrow g'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+x\]

\[\Rightarrow f'\left( x \right)>g'\left( x \right)\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}-2x>3{{x}^{2}}+x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x>0\Leftrightarrow x>1;x<0\]

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa đạo hàm của hàm số lượng giác toán học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất

Đánh giá (215)
ican
  • Một thương hiệu của 
    ICAN
  • ICAN
  • ICAN © 2023, All Rights Reserved.

  • Trụ sở Hồ Chí Minh: B0003 C/C Sarina, Khu đô thị Sala, Khu phố 3, Đường Hoàng Thế Thiện, Phường An Lợi Đông, TP. Thủ Đức

  • Văn phòng Hà Nội: Tòa nhà 25T2 Đường Hoàng Đạo Thúy, Phường Trung Hòa, Quận Cầu Giấy