Bài 3. Cấp số cộng

BÀI 3: CẤP SỐ CỘNG

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Định nghĩa

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Nếu \[\left( {{u}_{n}} \right)\] là cấp số cộng với công sai d, ta có \[{{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+d\] với \[n\in {{N}^{*}}\]

Đặc biệt khi \[d=0\] thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

2. Số hạng tổng quát

Định lí 1:

Nếu cấp số cộng \[\left( {{u}_{n}} \right)\] có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát \[{{u}_{n}}\] được xác định bởi công thức: \({u_n} = {u_1} + \left( {n-1} \right)d\) với \[n\ge 2\]

3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng.

Định lí 2:

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là \[{{u}_{k}}=\frac{{{u}_{k-1}}+{{u}_{k+1}}}{2}\] với \[\text{k}\ge 2\] .

4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Định lí 3:

Cho cấp số cộng \[\left( {{u}_{n}} \right)\]. Đặt \[{{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+\ldots +{{u}_{n}}\]. Khi đó, \[{{\text{S}}_{\text{n}}}=\frac{n\left( {{u}_{1}}+{{u}_{n}} \right)}{2}\] .

Chú ý: Vì \[{{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n1 \right)d\] nên công thức trên có thể viết lại là \[{{\text{S}}_{\text{n}}}=\text{n}{{\text{u}}_{1}}+\frac{n\left( n-1 \right)}{2}~\text{d}\] .

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Chứng minh/xét một dãy số là cấp số cộng

Cách giải:

Để chứng minh dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] là một cấp số cộng, ta xét \[A={{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}\]

• Nếu \[A\] là hằng số thì \[\left( {{u}_{n}} \right)\] là một cấp số cộng với công sai \[d=A\].
• Nếu \[A\] phụ thuộc vào n thì \[\left( {{u}_{n}} \right)\] không là cấp số cộng.

Dạng 2. Xác định \[{{u}_{1}};{{u}_{k}};d;...\] của cấp số cộng

Cách giải:

• Ta thiết lập một hệ phương trình gồm hai ẩn \[{{u}_{1}}\] và \[d\]. Sau đó giải hệ phương trình này tìm được \[{{u}_{1}}\] và \[d\].
• Muốn tìm số hạng thứ \[k\] , trước tiên ta phải tìm \[{{u}_{1}}\] và \[d\]. Sau đó áp dụng công thức: \[{{u}_{k}}={{u}_{1}}+\left( k-1 \right)d\].

Dạng 3. Tính tổng của \[n\] số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Cách giải:

• Ta thiết lập một hệ phương trình gồm hai ẩn \[{{u}_{1}}\] và \[d\]. Sau đó giải hệ phương trình này tìm được \[{{u}_{1}}\] và \[d\].
• Khi đó, tổng của \[n\] số hạng đầu tiên của cấp số cộng là \[{{S}_{k}}=\frac{k\left( {{u}_{1}}+{{u}_{k}} \right)}{2}=\frac{k\left[ 2{{u}_{1}}+\left( k-1 \right)d \right]}{2}\].

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1. (SGK Đại số 11 trang 97)

a) \[{{u}_{n}}=5-2n\]

Ta có : \[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=5-2\left( n+1 \right)-\left( 5-2n \right)=-2\]

\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] là cấp số cộng có \[{{u}_{1}}=3,d=-2\]

b) \[{{u}_{n}}=\frac{n}{2}-1\]

Ta có : \[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{n+1}{2}-1-\left( \frac{n}{2}-1 \right)=\frac{n+1}{2}-\frac{n}{2}=\frac{1}{2}\]

\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] là cấp số cộng có \[{{u}_{1}}=-\frac{1}{2},d=\frac{1}{2}\]

c) \[{{u}_{n}}={{3}^{n}}\]

Ta có : \[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}={{3}^{n+1}}-{{3}^{n}}={{3.3}^{n}}-{{3}^{n}}={{2.3}^{n}}\]

\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] không là cấp số cộng

d) \[{{u}_{n}}=\frac{7-3n}{2}\]

Ta có : \[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{7-3\left( n+1 \right)}{2}-\frac{7-3n}{2}=\frac{4-3n-7+3n}{2}=-\frac{3}{2}\]

\[\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\] là cấp số cộng với \[{{u}_{1}}=2,d=-\frac{3}{2}\]

Bài 2. (SGK Đại số 11 trang 97)

a) \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} - {u_3} + {u_5} = 10\\ {u_1} + {u_6} = 17 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} - \left( {{u_1} + 2d} \right) + {u_1} + 4d = 10\\ {u_1} + {u_1} + 5d = 17 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} + 2d = 10\\ 2{u_1} + 5d = 17 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 16\\ d = - 3 \end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l} {u_7} - {u_3} = 8\\ {u_2}.{u_7} = 75 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} + 6d - \left( {{u_1} + 2d} \right) = 8\\ \left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + 6d} \right) = 75 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4d = 8\\ \left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + 6d} \right) = 75 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} d = 2\\ \left( {{u_1} + 2} \right)\left( {{u_1} + 12} \right) = 75 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} d = 2\\ u_1^2 + 14{u_1} - 51 = 0 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} d = 2\\ \left[ \begin{array}{l} {u_1} = 3\\ {u_1} = - 17 \end{array} \right. \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 3\\ d = 2 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = - 17\\ d = 2 \end{array} \right. \end{array} \right.\)

Bài 3. (SGK Đại số 11 trang 97)

a) Công thức

\(\begin{array}{l} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\ {S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)d}}{2} \end{array}\)

Cần phải biết ít nhất 3 đại lượng để có thể tìm các đại lượng còn lại.

b)

Bài 4. (SGK Đại số 11 trang 98)

a) Đây là bài toán tìm số hạng tổng quát của một cấp số cộng với \[{{u}_{1}}=0,5+0,18=0,68\left( m \right)\] và \[d=18cm=0,18m\] .

Gọi \[{{h}_{n}}\] là độ cao của bậc thứ n so với mặt sân

\[\Rightarrow {{h}_{n}}=0,68+\left( n-1 \right).0,18\left( m \right)\]

b) Độ cao của sân tầng 2 so với mặt sân là :

\[{{h}_{21}}=0,68+20.0,18=4,28\left( m \right)\]

Bài 5. (SGK Đại số 11 trang 98)

Từ 0h đến 12h trưa đồng hồ đánh số tiếng là : \[S=1+2+3+...+12\]

Đây là tổng của cấp số cộng với 12 số hạng và \[{{u}_{1}}=1,{{u}_{12}}=12\]

\[\Rightarrow S=\frac{12.\left( 1+12 \right)}{2}=78\]

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa cấp số cộng toán học lớp 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất.