BÀI 2: QUY TẮC ĐẠO HÀM
A. LÝ THUYẾT TRONG TÂM
Quy tắc tính đạo hàm: Cho \[u=u\left( x \right),v=v\left( x \right)\]
\[\left( u\pm v \right)'=u'\pm v'\]
\[\left( ku \right)'=ku'\]
\[\left( uv \right)'=u'v+uv'\]
\[\left( \frac{u}{v} \right)'=\frac{u'v-uv'}{{{v}^{2}}}\]
Đạo hàm hàm hợp \[g=f\left( u\left( x \right) \right)\Leftrightarrow g{{'}_{x}}=f{{'}_{u}}.u'\left( x \right).\]
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tính đạo hàm hoặc đạo hàm tại điểm
Cách giải:
Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm và đạo hàm của một số hàm số thường gặp.
Dạng 2. Giải phương trình, bất phương trình liên quan đến đạo hàm
Cách giải:
- Tính \[y'=f'\left( x \right)\]
- Thay \[y'=f'\left( x \right)\] vào phương trình, bất phương trình và vận dụng các phương pháp đã học để giải phương trình, bất phương trình.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. SGK Đại số 11 trang 162
a) \[y=7+x-{{x}^{2}}\]
Gọi \[\Delta x\] là số gia của đối số tại \[{{x}_{0}}=1\] .
Ta có : \[\Delta y=f\left( 1+\Delta x \right)-f\left( 1 \right)=7+\left( 1+\Delta x \right)-{{\left( 1+\Delta x \right)}^{2}}-7=-{{\left( \Delta x \right)}^{2}}-\Delta x\]
\[\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=-\Delta x-1\]
\[\Rightarrow \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( -\Delta x-1 \right)=-1\]
\[\Rightarrow f'\left( 1 \right)=-1\]
b) \[y={{x}^{3}}-2x+1\]
Gọi \[\Delta x\] là số gia của đối số tại \[{{x}_{0}}=2\] .
Ta có : \[\Delta y=f\left( 2+\Delta x \right)-f\left( 2 \right)={{\left( 2+\Delta x \right)}^{3}}-2\left( 2+\Delta x \right)+1-5={{\left( \Delta x \right)}^{3}}+6{{\left( \Delta x \right)}^{2}}+10\Delta x\]
\[\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}={{\left( \Delta x \right)}^{2}}+6\Delta x+10\]
\[\Rightarrow \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left[ {{\left( \Delta x \right)}^{2}}+6\Delta x+10 \right]=10\]
\[\Rightarrow f'\left( 2 \right)=10\]
Bài 2. SGK Đại số 11 trang 163
a) \[y={{x}^{5}}-4{{x}^{3}}+2x-3\Rightarrow y'=5{{x}^{4}}-12{{x}^{2}}+2\]
b) \[y=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}x+{{x}^{2}}-0,5{{x}^{4}}\Rightarrow y'=-\frac{1}{3}+2x-2{{x}^{3}}\]
c) \[y=\frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{2{{x}^{3}}}{3}+\frac{4{{x}^{2}}}{5}-1\Rightarrow y'={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+\frac{8x}{5}\]
d) \[y=3{{x}^{5}}\left( 8-3{{x}^{2}} \right)=24{{x}^{5}}-9{{x}^{7}}\Rightarrow y'=120{{x}^{4}}-63{{x}^{^{6}}}\]
Bài 3. SGK Đại số 11 trang 163
a) \[y={{\left( {{x}^{7}}-5{{x}^{2}} \right)}^{3}}\]
Đặt \[u={{x}^{7}}-5{{x}^{2}}\Rightarrow u'=7{{x}^{6}}-10x\]
\[y={{u}^{3}}\Rightarrow y_{u}^{'}=3{{u}^{2}}\]
\[\Rightarrow y_{x}^{'}=y_{u}^{'}.u_{x}^{'}=3{{\left( {{x}^{7}}-5{{x}^{2}} \right)}^{2}}.\left( 7{{x}^{6}}-10x \right)\]
Vậy \[y'=3{{\left( {{x}^{7}}-5{{x}^{2}} \right)}^{2}}.\left( 7{{x}^{6}}-10x \right)\] .
b) \[y=\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( 5-3{{x}^{2}} \right)\]
\[\Rightarrow y'=\left( {{x}^{2}}+1 \right)'\left( 5-3{{x}^{2}} \right)+\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( 5-3{{x}^{2}} \right)'\]
\[=2x\left( 5-3{{x}^{2}} \right)+\left( {{x}^{2}}+1 \right).\left( -6x \right)\]
\[=-12{{x}^{3}}+4x\]
c) \[y=\frac{2x}{{{x}^{2}}-1}\]
\[\Rightarrow y'=\frac{\left( 2x \right)'\left( {{x}^{2}}-1 \right)-2x\left( {{x}^{2}}-1 \right)'}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}}\]
\[=\frac{2\left( {{x}^{2}}-1 \right)-2x.2x}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}}\]
\[=\frac{-2{{x}^{2}}-2}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}}\]
d) \[y=\frac{3-5x}{{{x}^{2}}-x+1}\]
\[\Rightarrow y'=\frac{\left( 3-5x \right)'\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)-\left( 3-5x \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)'}{{{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}^{2}}}\]
\[=\frac{-5\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)-\left( 3-5x \right)\left( 2x-1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}^{2}}}\]
\[=\frac{5{{x}^{2}}-6x-2}{{{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}^{2}}}\]
e) \[y={{\left( m+\frac{n}{{{x}^{2}}} \right)}^{3}}\left( m,n=const \right)\]
Đặt \[u=m+\frac{n}{{{x}^{2}}}\Rightarrow u_{x}^{'}=\frac{-2n}{{{x}^{3}}}\]
\[y={{u}^{3}}\Rightarrow y_{n}^{'}=3{{u}^{2}}\]
\[\Rightarrow y_{x}^{'}=y_{u}^{'}.u_{x}^{'}=3{{\left( m+\frac{n}{{{x}^{2}}} \right)}^{2}}.\left( \frac{-2n}{{{x}^{3}}} \right)=-6n\left( m+\frac{n}{{{x}^{2}}} \right).\frac{1}{{{x}^{3}}}\]
Bài 4. SGK Đại số 11 trang 163
a) \[y={{x}^{2}}-x\sqrt{x}+1\]
\[\Rightarrow y'=2x-\left( x'.\sqrt{x}+x.\left( \sqrt{x} \right)' \right)\]
\[=2x-\left( \sqrt{x}+x.\frac{1}{2\sqrt{x}} \right)\]
\[=2x-\left( \sqrt{x}+\frac{1}{2}\sqrt{x} \right)\]
\[=2x-\frac{3}{2}\sqrt{x}\]
b) \[y=\sqrt{2-5x-{{x}^{2}}}\]
Đặt \[u=2-5x-{{x}^{2}}\Rightarrow u_{x}^{'}=-5-2x\]
\[y=\sqrt{n}\Rightarrow y_{n}^{'}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\]
\[\Rightarrow y_{x}^{'}=y_{u}^{'}.u_{x}^{'}=\frac{1}{2\sqrt{2-5x-{{x}^{2}}}}.\left( -5-2x \right)=-\frac{2x+5}{2\sqrt{2-5x-{{x}^{2}}}}\]
c) \[y=\frac{{{x}^{3}}}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}\left( a=const \right)\]
\[\Rightarrow y'=\frac{\left( {{x}^{3}} \right)'.\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}-{{x}^{3}}.\left( \sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}} \right)'}{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\]
\[=\frac{3{{x}^{2}}\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}-{{x}^{3}}.\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)'}{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\]
Tính \[\left( \sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}} \right)'=\frac{1}{2\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}.\left( -2x \right)=-\frac{x}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}\]
\[\Rightarrow y'=\frac{3{{x}^{2}}\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}+{{x}^{3}}.\frac{x}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}}{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\]
\[=\frac{3{{x}^{2}}\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)+{{x}^{4}}}{\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}\]
\[=\frac{3{{a}^{2}}{{x}^{2}}-2{{x}^{4}}}{\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}\]
d) \[y=\frac{1+x}{\sqrt{1-x}}\]
\[\Rightarrow y'=\frac{\left( 1+x \right)'\sqrt{1-x}-\left( 1+x \right)\left( \sqrt{1-x} \right)'}{1-x}\]
\[=\frac{\sqrt{1-x}-\left( 1+x \right)\left( \sqrt{1-x} \right)'}{1-x}\]
Tính \[\left( \sqrt{1-x} \right)'=\frac{1}{2\sqrt{1-x}}.\left( -1 \right)=-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\]
\[\Rightarrow y'=\frac{\sqrt{1-x}+\left( 1+x \right).\frac{1}{2\sqrt{1-x}}}{1-x}\]
\[=\frac{2\left( 1-x \right)+1+x}{2\left( 1-x \right)\sqrt{1-x}}\]
\[=\frac{3-x}{2{{\left( \sqrt{1-x} \right)}^{3}}}\]
Bài 5. SGK Đại số 11 trang 163
Ta có : \[y'=3{{x}^{2}}-6x\]
a) \[y'>0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x>0\Leftrightarrow x>2;x<0\]
b) \(y'<3\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x<3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-1<0\Leftrightarrow 1-\sqrt{2}\)
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa quy tắc tính đạo hàm toán học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất