BÀI 2: PHÉP TỊNH TIẾN
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho vectơ \[\overrightarrow{v}\] . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho \[\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{v}\] được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow{v}\] .
Phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow{v}\] thường được kí hiệu là \[{{T}_{\overrightarrow{v}}}\], \[\overrightarrow{v}\] được gọi là vectơ tịnh tiến.
Như vậy, \[{{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)=M'\Leftrightarrow \overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{v}\]
Phép tịnh tiến theo vectơ – không chính là phép đồng nhất.
2. Tính chất
Tính chất 1. Nếu \[{{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)=M';{{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( N \right)=N'\] thì \[\overrightarrow{M'N'}=\overrightarrow{MN}\] và từ đó suy ra \[MN=MN\].
Tính chất 2. Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.
3. Biểu thức toạ độ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ \[\overrightarrow{v}=\left( a;b \right)\]. Với mỗi điểm \[M\left( x;y \right)\] ta có \[M'\left( x';y' \right)\] là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo \[\overrightarrow{v}\] . Khi đó:
\(\overrightarrow {{\rm{MM'}}} = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' - x = a\quad \Rightarrow }\\ {y' - y = b} \end{array}\quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' = x + a}\\ {y' = y + b} \end{array}} \right.} \right.\)
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Chứng minh/xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác,… qua phép tịnh tiến \[{{T}_{\overrightarrow{v}}}\]
Cách giải:
Áp dụng định nghĩa \[{{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)=M'\Leftrightarrow \overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{v}\] và tính chất của phép tịnh tiến kết hợp với dữ kiện đề bài.
Dạng 2. Xác định tọa độ của điểm, phương trình đường thẳng, đường tròn,… khi thực hiện phép tịnh tiến \[{{T}_{\overrightarrow{v}}}\]
Cách giải:
- \[M'={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{\text{MM }\!\!'\!\!\text{ }}=\overrightarrow{v}\]
- \[\Delta '={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( \Delta \right)\Rightarrow \Delta //\Delta '\] . Nếu \[M\in \Delta \] thì \[{{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)=M'\in \Delta \]
- Cho đường tròn \[\left( C \right)\] có tâm \[I;\] bán kính \[R\] và đường tròn \[\left( C' \right)\] có tâm \[I';\] bán kính \[R'\] .
\(\left( {C'} \right) = {T_{\overrightarrow v }}\left( {\left( C \right)} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} R' = R\\ I' = {T_{\overrightarrow v }}\left( I \right) \end{array} \right.\)
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (trang 7 SGK Hình học 11)
Ta có: \[M'={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{v}\]
\[\Leftrightarrow \overrightarrow{M'M}=-\overrightarrow{MM'}=-\overrightarrow{v}\]
\[\Leftrightarrow M={{T}_{-\overrightarrow{v}}}\left( M' \right)\]
Bài 2. (trang 7 SGK Hình học 11)
- Ta có :
\[{{T}_{\overrightarrow{AG}}}\left( A \right)=G\]
\[{{T}_{_{\overrightarrow{AG}}}}\left( B \right)=B'\Leftrightarrow \overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{AG}\]
\[{{T}_{_{\overrightarrow{AG}}}}\left( C \right)=C'\Leftrightarrow \overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AG}\]
\[\Rightarrow {{T}_{_{\overrightarrow{AG}}}}(\Delta ABC)=\Delta GB'C'\]
- \[{{T}_{\overrightarrow{AG}}}\left( D \right)=A\Leftrightarrow \overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AG}\]
\[\Leftrightarrow A\] là trung điểm của \[DG\]
Bài 3. (trang 7 SGK Hình học 11)
a) Gọi \[A'\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right),B'\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)\]
\({T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1} - 3 = - 1}\\ {{y_1} - 5 = 2} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1} = 2}\\ {{y_1} = 7} \end{array} \Rightarrow A'\left( {2;7} \right)} \right.} \right.\)
\({T_{\overrightarrow v }}(B) = B' \Leftrightarrow \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_2} + 1 = - 1}\\ {{y_2} - 1 = 2} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_2} = - 2}\\ {{y_2} = 3} \end{array} \Rightarrow B'\left( { - 2;3} \right)} \right.} \right.\)
Vậy \[A'\left( 2;7 \right),\,B\left( -2;3 \right)\]
b) Gọi \[C\left( {{x}_{3}},{{y}_{3}} \right)\]
\({T_{\overrightarrow v }}(C) = A \Leftrightarrow \overrightarrow {CA} = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3 - {x_3} = - 1}\\ {5 - {y_3} = 2} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_3} = 4}\\ {{y_3} = 3} \end{array} \Rightarrow C\left( {4;3} \right)} \right.} \right.\)
c) Vì \[{{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( d \right)=d'\Rightarrow \] Phương trình đường thẳng \[d':x-2y+c=0\]
Chọn \[M\left( -3;0 \right)\in d\Rightarrow {{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)=M'\in d'\]
Gọi \[M'\left( {{x}_{4}},{{y}_{4}} \right)\]
\({T_{\overrightarrow v }}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {MM'} = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_4} + 3 = - 1}\\ {{y_4} = 2} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_4} = - 4}\\ {{y_4} = 2} \end{array} \Rightarrow M'\left( { - 4;2} \right)} \right.} \right.\)
Vì \[M'\left( -4;2 \right)\in d'\] nên \[c=8\]
\[\Rightarrow \] Phương trình đường thẳng \[d':x-2y+8=0\]
Bài 4. (trang 8 SGK Hình học 11)
Ta có: \[A\in a,B\in b\Rightarrow {{T}_{\overrightarrow{AB}}}\left( a \right)=b\]
Vì \[A,B\] là bất kì nên có vô số phép tịnh tiến biến a thành b.
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 11 bài Bài 2. Phép tịnh tiến do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ