BÀI 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Hoán vị
a) Định nghĩa
Định nghĩa:
Cho tập hợp A gồm n phần tử \[\left( n\ge 1 \right)\].
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử.
Lưu ý: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.
b) Số các hoán vị
Kí hiệu: \[{{P}_{n}}\] là số các hoán vị của n phần tử.
Định lý: \(P_{n}=n(n -1) \ldots 2.1=n !\)
2. Chỉnh hợp
a) Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử \[\left( n\ge 1 \right)\].
Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
b) Số các chỉnh hợp:
Kí hiệu: \[{{A}_{n}}^{k}\] là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử \[\left( 1\le k\le n \right)\].
Định lý: \[\text{A}_{\text{n}}^{\text{k}}=\text{n}\left( \text{n}-1 \right)\ldots \left( \text{n}-\text{k}+1 \right)=\frac{n!}{\left( n-k \right)!}\]
Lưu ý: Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy, ta có: \[{{P}_{n}}={{A}_{n}}^{n}\]
3. Tổ hợp
a) Định nghĩa
Định nghĩa:
Giả sử A có n phần tử \[\left( n\ge 1 \right)\]. Mỗi tập hợp gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho \[\left( 1\le k\le n \right)\].
Quy ước: Tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.
b) Số các tổ hợp:
Kí hiệu: \[{{C}_{n}}^{k}\] là số các tổ hợp chập k của n phần tử \[\left( 0\le k\le n \right)\].
Định lý: \[C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\]
c) Tính chất của các số \[{{C}_{n}}^{k}\]
- \[{{C}_{n}}^{k}={{C}_{n}}^{n-k}\left( 0\le k\le n \right)\]
- \[C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}=C_{n}^{k}\left( 1\le k\le n \right)\]
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng bài. Các bài toán đếm
Cách giải:
- Đếm trực tiếp: Dựa vào yêu cầu của đề bài, ta phân ra các trường hợp và sử dụng các quy tắc đếm để tính toán trong từng trường hợp. Kết quả bài toán là tổng các phương án đếm trong các trường hợp trên.
- Đếm gián tiếp: Ta đếm số phương án thực hiện hành động \[H\] là \[a\] và đếm số phương án thực hiện hành động \[H\] nhưng không thỏa mãn tính chất \[T\] là \[b\] . Số phương án hành động \[H\] và thỏa mãn yêu cầu bài toán là \[a-b\] .
Một số lưu ý khi làm bài toán đếm:
+ Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng hoán vị của n phần tử, ta dựa trên dấu hiệu
- Tất cả n phần tử đều có mặt.
- Mỗi phần tử chỉ xuất hiện 1 lần.
- Có sự phân biệt thứ tự giữa các phần tử.
- Số cách xếp n phần tử là số hoán vị của n phần tử đó.
+ Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử, ta cần có các dấu hiệu:
- Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước.
- Có sự phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.
- Số cách chọn k phần tử có phân biệt thứ tự từ n phần tử là \[A_{n}^{k}\] cách.
+ Để nhận dạng bài toán sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử, ta dựa trên dấu hiệu:
- Phải chọn ra k phần tử từ n phần tử cho trước.
- Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.
- Số cách chọn k phần tử không phân biệt thứ tự từ n phần tử đã cho là \[C_{n}^{k}\] cách.
+ Với các dạng bài tập yêu cầu xếp hai hoặc nhiều phần tử đứng cạnh nhau thì ta sẽ “buộc” các phần tử này một nhóm và coi như 1 phần tử.
+ Với các dạng bài tập yêu cầu xếp hai hoặc nhiều phần tử không đứng cạnh nhau thì ta có thể tạo ra các “vách ngăn” các phần tử này trước khi xếp chúng.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (SGK Đại số 11 trang 54)
a) Việc lập các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau là việc sắp xếp thứ tự của 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Mỗi số là một hoán vị của 6 phần tử đó.
Vậy có \[6!=720\] số.
b) Gọi số chẵn cần lập là \[\overline{abcdef}\] .
Vì \[\overline{abcdef}\] là số chẵn nên:
+) Có 3 cách chọn \[f\left( f=\left\{ 2;4;6 \right\} \right)\]
+) Có \[5!=120\] cách chọn a, b, c, d, e
Vậy có \[3.120=360\] số chẵn cần lập.
Có \[720-360=360\] số lẻ cần lập.
c) Gọi số cần lập là \[\overline{abcdef}\] .
Vì \[\overline{abcdef}<432000\] nên có 2 trường hợp:
TH1: \[a<4\] : có 3 cách chọn a
Có \[5!=120\] cách chọn a, b, c, d, e, f
TH2: \[a=4\] : có 1 cách chọn a. Ta có 2 khả năng:
- \[b<3\] : có 2 cách chọn b. Có \[4!=24\] cách chọn c, d, e, f.
- \[b=3\] : có 1 cách chọn b. Có 1 cách chọn c \[\left( c=1 \right)\] . Có \[3!=6\] cách chọn \[d,e,f\].
Có \[1.\left( 2.24+1.1.6 \right)=54\] số.
Vậy có tất cả \[3.120+54=414\] số.
Bài 2. (SGK Đại số 11 trang 54)
Mỗi cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 người khách vào 10 ghế là 1 hoán vị của tập hợp gồm 10 phần tử.
Vậy có \[{{P}_{10}}=10!\] cách.
Bài 3. (SGK Đại số 11 trang 54)
Việc cắm 3 bông hoa vào 3 lọ đã cho là việc chọn 3 trong 7 bông hoa rồi sắp xếp chúng vào lọ.
Vậy có \[A_{7}^{3}=210\] cách.
Bài 4. (SGK Đại số 11 trang 55)
Việc chọn 4 bóng đèn mắc nối tiếp là việc chọn 4 bóng đèn khác nhau trong tập hợp 6 bóng đèn và sắp xếp chúng theo thứ tự.
Vậy co \[A_{6}^{4}=360\] cách.
Bài 5. (SGK Đại số 11 trang 55)
a) Việc cắm 3 bông hoa vào 3 lọ là việc chọn 3 lọ hoa khác nhau từ 5 lọ rồi sắp xếp chúng với các bông hoa tương ứng.
Vậy có \[A_{5}^{3}=60\] cách.
b) Việc cắm 3 bông hoa như nhau vào 3 lọ là việc chọn 3 lọ hoa khác nhau từ 5 lọ hoa để cắm.
Vậy có \[C_{5}^{3}=10\] cách.
Bài 6. (SGK Đại số 11 trang 55)
Cứ 3 điểm không thẳng hàng lập được 1 tam giác.
Việc lập các tam giác là chọn 3 điểm trong tập hợp 6 điểm đã cho.
Vậy có \[C_{6}^{3}=20\] cách.
Bài 7. (SGK Đại số 11 trang 55)
Việc lập một hình chữ nhật phải trải qua 2 bước:
+) Chọn 2 đường thẳng trong 4 đường thẳng song song: Có \[C_{4}^{2}\] cách.
+) Chọn 2 đường thẳng trong 5 đường thẳng vuông góc: Có \[C_{5}^{2}\] cách.
Vậy có \[C_{4}^{2}.C_{5}^{2}=60\] cách.
Giải bài tập sách giáo khoa tổ hợp chỉnh hợp lớp 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất.