BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt
Cho hai đường thẳng a và b. Khi đó, ta có các trường hợp sau:
TH1: Có một mặt phẳng chứa a và b. Khi đó, ta nói a và b đồng phẳng.
- a và b có điểm chung duy nhất M. Ta nói a và b cắt nhau tại M. Kí hiệu: \[a\cap b=\left\{ M \right\}\] hoặc \[a\cap b=M\] .
- a và b không có điểm chung. Ta nói a và b song song với nhau. Kí hiệu: \[a//b\] .
- a trùng b. Kí hiệu: \[a\equiv b\]
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
\({\rm{a}}//{\rm{b}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{a}} \subset \left( P \right);{\rm{b}} \subset \left( P \right)}\\ {{\rm{a}} \cap {\rm{b}} = \emptyset } \end{array}} \right.\)
TH2: Không có mặt phẳng nào chứa a và b. Khi đó, ta nói a và b chéo nhau hay a chéo b.
II. Tính chất
Định lí 1:
Trong không gian, qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Định lí 2 (về giao tuyến của hai mặt phẳng):
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
Hệ quả:
Nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Định lí 3:
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Chứng minh hai đường thẳng song song
Cách giải:
Ta có thể chứng minh \[a//b\] bằng các cách sau:
- Chứng minh a, b đồng phẳng rồi sử dụng các phương pháp chứng minh trong hình học phẳng.
- Chứng minh \(\left. \begin{array}{l} a//c\\ b//c \end{array} \right\} \Rightarrow a//b\)
- Áp dụng định lí về giao tuyến của hai mặt phẳng.
- Áp dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Dạng 2. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng bằng quan hệ song song
Cách giải:
Nếu hai mặt phẳng \[\left( \alpha \right);\left( \beta \right)\] có điểm chung M và lần lượt chứa hai đường thẳng song song \[d\] và \[d'\] thì giao tuyến của \[\left( \alpha \right);\left( \beta \right)\] là đường thẳng qua M và song song với \[d\] và \[d'\].
Dạng 3. Chứng minh bốn điểm đồng phẳng và ba đường thẳng đồng quy
Cách giải:
Để chứng minh 4 điểm \[A,B,C,D\] đồng phẳng, ta cần:
- Xác định đường thẳng \[a,b\] lần lượt đi qua hai trong 4 điểm.
- Chứng minh \[a,b\] song song hoặc cắt nhau. Khi đó, 4 điểm \[A,B,C,D\] đồng phẳng.
Để chưng minh ba đường thẳng đồng quy, ta áp dụng định lí về giao tuyến của hai mặt phẳng.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (trang 59 SGK Hình học 11)
Gọi \[\left( \alpha \right)\] là mặt phẳng đi qua bốn điểm \[P,Q,R,S\].
a) Ta có:
\[PQ=\left( \alpha \right)\cap \left( ABC \right)\]
\[RS=\left( \alpha \right)\cap \left( ACD \right)\]
\[AC=\left( ABC \right)\cap \left( ACD \right)\]
Vậy \[PQ,RS,AC\] hoặc đồng quy hoặc song song.
b) Ta có:
\[PS=\left( ABD \right)\cap \left( \alpha \right)\]
\[RQ=\left( BCD \right)\cap \left( \alpha \right)\]
\[BD=\left( ABD \right)\cap \left( CBD \right)\]
Vậy \[PS,RQ,BD\] đồng quy hoặc song song.
Bài 2. (trang 59 SGK Hình học 11)
a) \[PR//AC\]
Ta có:
\[\left( PQR \right)\cap \left( ABC \right)=PR\]
\[\left( ABC \right)\cap \left( ACD \right)=AC\]
\[\left( PQR \right)\cap \left( ACD \right)=d\]
\[PR//AC\]
\[\Rightarrow d//PR//AC\]
Mặt khác, \[Q\in CD\subset \left( ACD \right)\Rightarrow Q\in \left( ACD \right)\]
\[Q\in \left( PQR \right)\]
\[\Rightarrow Q\in \left( PQR \right)\cap (\left( ACD \right)\Rightarrow Q\in d\]
Trong \[\left( ACD \right)\] , qua \[Q\] kẻ đường thẳng \[d//AC\] cắt \[AD\] tại \[S\].
\[\Rightarrow S=AD\cap \left( PQR \right)\]
b)
Gọi \[I=PR\cap AC\]
Ta có:
\[\left( PQR \right)\cap \left( ABC \right)=PR\]
\[\left( ABC \right)\cap \left( ACD \right)=AC\]
\[\left( PQR \right)\cap \left( ACD \right)=d\]
\[I=PR\cap AC\]
\[\Rightarrow d;PR;AC\] đồng quy tại \[I\]
Mặt khác, \[Q\in CD\subset \left( ACD \right)\Rightarrow Q\in \left( ACD \right)\]
\[Q\in \left( PQR \right)\]
\[\Rightarrow Q\in \left( PQR \right)\cap (\left( ACD \right)\Rightarrow Q\in d\]
Trong \[\left( ACD \right)\] , kéo dài \[IQ\] cắt \[AD\] tại \[S\].
\[\Rightarrow S=AD\cap \left( PQR \right)\]
Bài 3. (trang 60 SGK Hình học 11)
a) Ta có: \[G\in MN\subset \left( ABN \right)\]
\[\Rightarrow G\in \left( ABN \right)\]\[\Rightarrow AG\subset \left( ABN \right)\].
Trong \[\left( ABN \right)\], gọi \[A'=AG\cap BN\].
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A' \in BN \subset \left( {BCD} \right) \Rightarrow A' \in \left( {BCD} \right)\\ A' \in AG \end{array} \right.\)
\[\Rightarrow A'=AG\cap \left( BCD \right)\].
b) Ta có \[Mx//AA'\subset \left( ABN \right);M\in \left( ABN \right)\]
\[\Rightarrow Mx\subset \left( ABN \right)\].
\[M'=Mx\cap \left( BCD \right)\]
\[\Rightarrow M'\] thuộc giao tuyến của \[\left( ABN \right)\] và \[\left( BCD \right)\] chính là đường thẳng \[BN\].
\[\Rightarrow B;M';A'\] thẳng hàng.
\[\Delta \text{ABA}'\] có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{MM}}'//{\rm{AA}}'}\\ {{\rm{MA}} = {\rm{MB}}} \end{array} \Rightarrow {\rm{M}}'{\rm{A}}' = {\rm{M}}'{\rm{B}}} \right.\)
\[\Delta \text{MM}'\text{N}\] có
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{GA}}'//{\rm{MM}}'}\\ {{\rm{MG}} = {\rm{GN}}} \end{array} \Rightarrow {\rm{M}}'{\rm{A}}' = {\rm{A}}'{\rm{N}}} \right. \Rightarrow {\rm{BM}}' = {\rm{M}}'{\rm{A}}' = {\rm{A}}'{\rm{N}}\)
c) Áp dụng chứng minh câu b ta có:
\[\Delta MM'N\] có: \[MM'=2GA'\]
\[\Delta BAA'\] có: \[AA'=2MM'\]
\[\Rightarrow AA'=4GA'\]\[\Rightarrow GA=3GA'\].
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song toán học 11, toán 11 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất