Chương III. Vecto trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian
BÀI 1: VECTO TRONG KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
I. Định nghĩa và các phép toán về vectơ trong không gian
1. Định nghĩa
- Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
- Kí hiệu \[\overrightarrow{AB}\] chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu là \[\vec{a},\vec{b},\vec{x},\vec{y},...\]
- Các khái niệm liên quan đến vectơ (như giá của vectơ, độ dài vectơ,…) được định nghĩa tương tự như trong hình học phẳng.
2. Các quy tắc về vectơ trong không gian
- Phép cộng và phép trừ hai vectơ trong không gian được định nghĩa tương tự như phép cộng và phép trừ hai vectơ trong mặt phẳng. Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất giống như phép cộng vectơ trong mặt phẳng. Khi thực hiện phép cộng vectơ trong không gian, ta vẫn có thể áp dụng các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như đối với vectơ trong hình học phẳng.
– Quy tắc ba điểm: \[\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\] .
– Quy tắc hình bình hành: \[\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\] (với ABCD là hình bình hành)
– Quy tắc trung tuyến: \[\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right)\] (với AM là đường trung tuyến của \[\Delta ABC\] )
– Quy tắc trọng tâm: \[\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\] (với G là trọng tâm của \[\Delta ABC\] )
– Quy tắc hình hộp: \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}'}=\overrightarrow{A{C}'}\] (với \[ABCD.A'B'C'D'\] là hình hộp)
- Phép nhân vectơ với một số: Trong không gian, tích của vectơ \[\overrightarrow{a}\] với một số \[k\text{ }\ne 0\] là vectơ \[k\overrightarrow{a}\] được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng và có các tính chất giống như các tính chất đã được xét trong mặt phẳng.
II. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ
Định nghĩa:
Trong không gian, ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:
– Định lí 1:
Trong không gian, cho hai vectơ \[\vec{a},\vec{b}\] không cùng phương và vectơ \[\vec{c}\] . Khi đó ba vectơ \[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\] đồng phẳng khi và chi khi có cặp số \[m,n\] sao cho \[\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}\] . Ngoài ra cặp số \[m,n\] là duy nhất.
– Định lí 2:
Trong không gian, cho ba vectơ không đồng phẳng \[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\] . Khi đó với mọi vectơ \[\vec{x}\] ta đều tìm được một bộ ba số \[m,n,p\] sao cho \[\overrightarrow{x}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}\] . Ngoài ra bộ ba số \[m,n,p\] đó là duy nhất.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Chứng minh đẳng thức vectơ
Cách giải:
Sử dụng các quy tắc ba điểm, hình bình hành, trung tuyến, trọng tâm, hình hộp,… để biến đổi vế này thành vế kia.
Dạng 2. Chứng minh ba vectơ \[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\] đồng phẳng hoặc chứng minh bốn điểm \[A,B,C,D\] đồng phẳng
Cách giải:
Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng ta có thể làm theo hai cách:
- Chứng minh giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng
- Phân tích \[\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}\] với hai vectơ \[\vec{a},\vec{b}\] không cùng phương
Để chứng minh bốn điểm \(A,B,C,D\) đồng phẳng ta cần chứng minh ba vectơ chung gốc ( \[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}\] hoặc \[\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BD}\] ,…) đồng phẳng
Dạng 3. Tính độ dài của đoạn thẳng \[MN\]
Cách giải:
- Phân tích \[\overrightarrow{MN}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}\]
- Khi đó, \[MN=\left| \overrightarrow{MN} \right|=\sqrt{{{\left( \overrightarrow{MN} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c} \right)}^{2}}}\]
Chú ý: \[{{\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)}^{2}}={{\left( \overrightarrow{a} \right)}^{2}}+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}.\cos \left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right)+{{\left( \overrightarrow{b} \right)}^{2}}={{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}.\cos \left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right)+{{\left| \overrightarrow{b} \right|}^{2}}\]
Dạng 4. Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không gian
Cách giải:
\[A,B,C,D\] đồng phẳng \[\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AC}+n\overrightarrow{AD}\]
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (SGK hình học 11 trang 91)
a) Các vecto cùng phương với \[\overrightarrow{IA}\] là \[\overrightarrow{IA'};\overrightarrow{KB};\overrightarrow{KB'};\overrightarrow{LC};\overrightarrow{LC'};\overrightarrow{MD};\overrightarrow{MD'}\] .
b) Các vecto cùng hướng với \[\overrightarrow{IA}\] là \[\overrightarrow{KB};\overrightarrow{LC};\overrightarrow{MD}\] .
c) Các vecto ngược hướng với \[\overrightarrow{IA}\] là \[\overrightarrow{IA'};\overrightarrow{KB'};\overrightarrow{LC'};\overrightarrow{MD'}\] .
Bài 2. (SGK hình học 11 trang 91)
a) \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AC'}\]
b) \[\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{D'D}-\overrightarrow{B'D'}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DD'}+\overrightarrow{D'B'}=\overrightarrow{BB'}\]
c) \[\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA'}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{C'D}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD'}+\overrightarrow{D'B'}+\overrightarrow{B'A}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}\]
Bài 3. (SGK hình học 11 trang 91)
Gọi \[O=AC\cap BD\]
Trong \[\Delta SAC\] ta có: \[2\overrightarrow{SO}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}\]
Trong \[\Delta SBD\] ta có: \[2\overrightarrow{SO}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}\]
\[\Rightarrow \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}\]
Bài 4. (SGK hình học 11 trang 92)
a) Ta có \(\begin{array}{l} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} \\ \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {DN} + \overrightarrow {CN} } \right)\\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \\ \Leftrightarrow MN = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right) \end{array}\)
b) Ta có \(\begin{array}{l} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} \\ \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DN} \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \\ \Leftrightarrow MN = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) \end{array}\)
Bài 5. (SGK hình học 11 trang 92)
a) Ta có \[\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\]
\[\Leftrightarrow \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AD}\] (vì \[ABGC\] là hình bình hành)
\[\Leftrightarrow E\] là đỉnh của hình bình hành \[ADEG\] .
b) Ta có
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {DA} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AF} = \overrightarrow {DG} \end{array}\)
\[\Leftrightarrow F\] là đỉnh của hình bình hành \[ADGF\] .
Bài 6. (SGK hình học 11 trang 92)
Ta có \[\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\]
\(\begin{array}{l} = \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GC} \\ = 3\overrightarrow {DG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) \end{array}\)
\[=3\overrightarrow{DG}\] (vì \[G\] là trọng tâm \[\Delta ABC\]
Bài 7. (SGK hình học 11 trang 92)
a) \[\Delta AIC\] có \[M\] là trung điểm \[AC\Rightarrow 2\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}\]
\[\Delta IBD\] có \[N\] là trung điểm \[BD\Rightarrow 2\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}\]
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {IM} + 2\overrightarrow {IN} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {ID} \\ \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} } \right) = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {ID} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow 0 = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {ID} \end{array}\)
b) Ta có
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} + \overrightarrow {PD} \\ = \overrightarrow {PI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {PI} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {PI} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {PI} + \overrightarrow {ID} \\ = 4\overrightarrow {PI} \\ \Rightarrow \overrightarrow {PI} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} + \overrightarrow {PD} } \right) \end{array}\)
Bài 8. (SGK hình học 11 trang 92)
Ta có:
+, \[\overrightarrow{B'C}=\overrightarrow{B'B}+\overrightarrow{B'C'}\]
\(\begin{array}{l} = - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BC} \\ = - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \\ = - \overrightarrow a + \overrightarrow c - \overrightarrow b \end{array}\)
+, \[\overrightarrow{BC'}=\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{BC}\]
\(\begin{array}{l} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \\ = \overrightarrow a + \overrightarrow c - \overrightarrow b \end{array}\)
Bài 9. (SGK hình học 11 trang 92)
Ta có: \[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{CN}\,\,\,\,\left( 1 \right)\]
\[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}\Rightarrow 2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BN}\,\,\,\left( 2 \right)\]
Cộng vế-vế của \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta được:
\[\Rightarrow 3\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MS}+2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{SC}+2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CN}+2\overrightarrow{BN}\]
\(\begin{array}{l} = - 2\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {SC} + 2\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {BN} + 2\overrightarrow {BN} \\ = \overrightarrow {SC} + 2\overrightarrow {AB} \end{array}\)
\[\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\]
\[\Rightarrow \overrightarrow{MN};\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AB}\] đồng phẳng.
Bài 10. (SGK hình học 11 trang 92)
Ta có \[K\] là trung điểm \[AH\] (Vì \[ADHE\] là hình bình hành)
\[I\] là trung điểm \[BH\] (Vì \[BDHF\] là hình bình hành)
\[\Rightarrow KI\] là đường trung bình của \[\Delta HAB\Rightarrow KI//AB\]
Mặt khác, \(\left\{ \begin{array}{l} FG//BC \subset \left( {ABC} \right)\\ AC \subset \left( {ABC} \right) \end{array} \right.\)
\[\Rightarrow \overrightarrow{KI};\overrightarrow{FG};\overrightarrow{AC}\] có giá cùng song song với một mặt phẳng.
\[\Rightarrow \overrightarrow{KI};\overrightarrow{FG};\overrightarrow{AC}\] đồng phẳng.
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa vecto trong không gian hình học 11, toán 11 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất