BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Gọi \[P\left( n \right)\] là một mệnh đề chứa biến \[n\left( n\in {{N}^{*}} \right)\]. Chứng minh \[P\left( n \right)\] đúng với mọi số tự nhiên \[n\left( n\in {{N}^{*}} \right)\]
Phương pháp quy nạp toán học
- Bước 1: Chứng minh \[P\left( n \right)\] đúng với \[n=1\].
- Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \[P\left( n \right)\] đúng với \[n=k\ge 1\], chứng minh \[P\left( n \right)\] cũng đúng khi \[n=k+1\].
Chú ý:
Đối với bài toán chứng minh \[P\left( n \right)\] đúng với mọi \[n\ge p\] với p là số tự nhiên cho trước thì:
- Bước 1: Chứng minh \[P\left( n \right)\] đúng với \[n=p\].
- Bước 2: Với \[k\ge p\] là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \[P\left( n \right)\] đúng với \[n=k\] , chứng minh \[P\left( n \right)\] cũng đúng khi \[n=k+1\].
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng bài: Chứng minh tính đúng đắn của mệnh đề bằng phương pháp quy nạp toán học
Cách giải:
Áp dụng lần lượt các bước của phương pháp.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (SGK Đại số 11 trang 82)
a)
+ Với \[n=1\] ta có : \[2=2\] (luôn đúng)
+ Đặt \[{{S}_{n}}=2+5+8+...+3n-1\]
Giả sử đẳng thức đúng với \[n=k\ge 1\] , tức là :
\[{{S}_{k}}=2+5+8+3k-1=\frac{k\left( 3k+1 \right)}{2}\]
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với \[n=k+1\] , tức là :
\[{{S}_{k+1}}=2+5+8+...+3\left( k+1 \right)-1=\frac{\left( k+1 \right)\left[ 3\left( k+1 \right)+1 \right]}{2}\]
Thật vậy :
\[{{S}_{k+1}}=2+5+8+...+3k-1+3\left( k+1 \right)-1\]
\[={{S}_{k}}+3\left( k+1 \right)-1\]
\[=\frac{k\left( 3k+1 \right)}{2}+3\left( k+1 \right)-1\]
\[=\frac{k\left( 3k+1 \right)+6\left( k+1 \right)-2}{2}\]
\[=\frac{3{{k}^{2}}+7k+4}{2}\]
\[=\frac{\left( k+1 \right)\left( 3k+4 \right)}{2}\]
\[=\frac{\left( k+1 \right)\left[ 3\left( k+1 \right)+1 \right]}{2}\]
\[\Rightarrow \] Điều phải chứng minh.
b)
+ Với \[n=1\] ta có : \[\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\] (luôn đúng)
+ Đặt \[{{S}_{n}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{{{2}^{n}}}\]
Giả sử đẳng thức đúng với \[n=k\ge 1\] , tức là :
\[{{S}_{k}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{{{2}^{k}}}=\frac{{{2}^{k}}-1}{{{2}^{k}}}\]
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với \[n=k+1\] , tức là :
\[{{S}_{k}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{{{2}^{k+1}}}=\frac{{{2}^{k+1}}-1}{{{2}^{k+1}}}\]
Thật vậy :
\[{{S}_{k+1}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{{{2}^{k}}}+\frac{1}{{{2}^{k+1}}}\]
\[={{S}_{k}}+\frac{1}{{{2}^{k+1}}}\]
\[=\frac{{{2}^{k}}-1}{{{2}^{k}}}+\frac{1}{{{2}^{k+1}}}\]
\[=\frac{{{2}^{k+1}}-2+1}{{{2}^{k+1}}}\]
\[=\frac{{{2}^{k+1}}-1}{{{2}^{k+1}}}\]
\[\Rightarrow \] Điều phải chứng minh.
c)
+ Với \[n=1\] ta có : \[1=1\] (luôn đúng)
+ Đặt \[{{S}_{n}}={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}}\]
Giả sử đẳng thức đúng với \[n=k\ge 1\] , tức là :
\[{{S}_{k}}={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{k}^{2}}=\frac{k\left( k+1 \right)\left( 2k+1 \right)}{6}\]
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với \[n=k+1\] , tức là :
\[{{S}_{k+1}}={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{\left( k+1 \right)}^{2}}=\frac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( 2\left( k+1 \right)+1 \right)}{6}\]
Thật vậy :
\[{{S}_{k+1}}={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{k}^{2}}+{{\left( k+1 \right)}^{2}}\]
\[={{S}_{k}}+{{\left( k+1 \right)}^{2}}\]
\[=\frac{k\left( k+1 \right)\left( 2k+1 \right)}{6}+{{\left( k+1 \right)}^{2}}\]
\[=\frac{k\left( k+1 \right)\left( 2k+1 \right)+6{{\left( k+1 \right)}^{2}}}{6}\]
\[=\frac{\left( k+1 \right)\left[ k\left( 2k+1 \right)+6\left( k+1 \right) \right]}{6}\]
\[=\frac{\left( k+1 \right)\left( 2{{k}^{2}}+7k+6 \right)}{6}\]
\[=\frac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( 2k+3 \right)}{6}\]
\[=\frac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left[ 2\left( k+1 \right)+1 \right]}{6}\]
\[\Rightarrow \] Điều phải chứng minh.
Bài 2. (SGK Đại số 11 trang 82)
a)
Đặt \[{{A}_{n}}={{n}^{3}}+3{{n}^{2}}+5n\]
+ Với \[n=1\] , ta có \[9\vdots 3\] (luôn đúng)
+ Giả sử với \[n=k\ge 1\] , ta luôn có :
\[{{A}_{k}}=\left( {{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+5k \right)\vdots 3\]
Ta cần chứng minh, với \[n=k+1\] thì \[{{A}_{k+1}}\vdots 3\]
Thật vậy :
\[{{A}_{k+1}}={{\left( k+1 \right)}^{3}}+3{{\left( k+1 \right)}^{2}}+5\left( k+1 \right)\]
\[={{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+3k+1+3\left( {{k}^{2}}+2k+1 \right)+5k+5\]
\[={{k}^{3}}+6{{k}^{2}}+14k+9\]
\[=\left( {{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+5k \right)+3{{k}^{2}}+9k+9\]
\[=\left( {{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+5k \right)+3\left( {{k}^{2}}+3k+3 \right)\]
Vì \[{{A}_{k}}=\left( {{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+5k \right)\vdots 3\] và \[3\left( {{k}^{2}}+3k+3 \right)\vdots 3\] nên \[{{A}_{k+1}}\vdots 3\]
Vậy ta có điều phải chứng minh.
b)
Đặt \[{{A}_{n}}={{4}^{n}}+15n-1\]
Với \[n=1\] ta có \[18\vdots 9\] ( luôn đúng)
Giả sử với \[n=k\ge 1\] , ta luôn có : \[{{A}_{k}}=\left( {{4}^{k}}+15k-1 \right)\vdots 9\] (1)
Ta cần chứng minh, với \[n=k+1\] thì \[{{A}_{k+1}}\vdots 9\]
Thạt vậy \[{{A}_{k+1}}={{4}^{k+1}}+15\left( k+1 \right)-1\]
\[={{4.4}^{k}}+15k+14\]
\[=\left( {{4}^{k}}+15k-1 \right)+\left( {{3.4}^{k}}+15 \right)\]
\[=\left( {{4}^{k}}+15k-1 \right)+3.\left( {{4}^{k}}+5 \right)\]
Xét \[\left( {{4}^{k}}+5 \right)\vdots 3\]
+ Với \[k=1\] ta có \[9\vdots 3\] ( luôn đúng)
+ Giả sử với \[n=k\ge 1\] ta luôn có \[\left( {{4}^{n}}+5 \right)\vdots 3\]
Ta cần chứng minh, với \[k=u+1\] thì \[\left( {{4}^{u+1}}+5 \right)\vdots 3\]
Thật vậy \[{{4}^{u+1}}+5={{4.4}^{u}}+5=\left( {{4}^{u}}+5 \right)+{{3.4}^{u}}\]
Vì \[\left( {{4}^{u}}+5 \right)\vdots 3\] và \[{{3.4}^{u}}\vdots 3\] nên \[\left( {{4}^{u+1}}+5 \right)\vdots 3\] (2)
Từ (1) và (2) \[\Rightarrow {{A}_{k+1}}\vdots 9\]
Vậy ta có điều phải chứng minh.
c)
Đặt \[{{A}_{n}}={{n}^{3}}+11n\]
Với \[n=1\] ta có \[12\vdots 6\] (luôn đúng)
Giả sử với \[n=k\ge 1\] ta luôn có : \[{{A}_{k}}=\left( {{k}^{3}}+11k \right)\vdots 6\]
Ta cần chứng minh, với \[n=k+1\] thì \[{{A}_{k+1}}\vdots 6\]
Thật vậy \[{{A}_{k+1}}={{\left( k+1 \right)}^{3}}+11\left( k+1 \right)\]
\[={{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+3k+1+11k+11\]
\[={{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+14k+12\]
\[=\left( {{k}^{3}}+11k \right)+3{{k}^{2}}+3k+12\]
\[=\left( {{k}^{3}}+11k \right)+3.\left( {{k}^{2}}+k+4 \right)\]
\[=\left( {{k}^{3}}+11k \right)+3\left[ k.\left( k+1 \right)+4 \right]\]
Vì \[{{A}_{k}}=\left( {{k}^{3}}+11k \right)\vdots 6\] và \[\left[ k\left( k+1 \right)+4 \right]\vdots 2\Rightarrow 3\left[ k.\left( k+1 \right)+4 \right]\vdots 6\]
\[\Rightarrow {{A}_{k+1}}\vdots 6\]
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 3. (SGK Đại số 11 trang 82)
a)
Với \[n=2\] ta có \[9>7\] ( luôn đúng)
Giả sử với \[n=k\ge 2\] ta luôn có \[{{3}^{k}}>3k+1\]
Ta cần chứng minh với \[n=k+1\] thì \[{{3}^{k+1}}>3\left( k+1 \right)+1\]
Thật vậy \[{{3}^{k+1}}={{3.3}^{k}}>3\left( k+1 \right)\]
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {3^{k + 1}} > 9k + 3\\ \Leftrightarrow {3^{k + 1}} > 3\left( {k + 1} \right) + 1 + 6k - 1\left( * \right) \end{array}\)
Vì \[k\ge 2\] nên \[6k-1\ge 11\]
\[\left( * \right)\Leftrightarrow {{3}^{k+1}}>3\left( k+1 \right)+1+11>3\left( k+1 \right)+1\]
Vậy ta có điều phải chứng minh.
b)
Với \[n=2\] ta có \[8>7\] ( luôn đúng)
Giả sử với \[n=k\ge 2\] ta luôn có \[{{2}^{k+1}}>2k+3\]
Ta cần chứng minh với \[n=k+1\] thì \[{{2}^{k+2}}>2\left( k+1 \right)+3\]
Thật vậy \[{{2}^{k+2}}={{2}^{k+1}}.2>2.\left( 2k+3 \right)\]
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {2^{k + 2}} > 4k + 6\\ \Leftrightarrow {2^{k + 2}} > 2\left( {k + 1} \right) + 3 + 2k + 1\left( * \right) \end{array}\)
Vì \[k\ge 2\] nên \[2k+1\ge 5\]
\[\left( * \right)\Leftrightarrow {{2}^{k+2}}>2\left( k+1 \right)+3+5>2\left( k+1 \right)+3\]
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 4. (SGK Đại số 11 trang 83)
a)
\(\begin{array}{l} {S_1}_` = \frac{1}{{2.1}} = \frac{1}{2}\\ {S_2} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} = \frac{2}{3}\\ {S_3} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} = \frac{3}{4} \end{array}\)
b)
Dự đoán \[{{S}_{n}}=\frac{n}{n+1}\]
Với \[n=1\] ta có \[{{S}_{1}}=\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\] ( luôn đúng)
Giả sử đẳng thức đúng với \[n=k\ge 1\] tức là \[{{S}_{k}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{k\left( k+1 \right)}=\frac{k}{k+1}\]
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với \[n=k+1\] tức là :
\[{{S}_{k+1}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}=\frac{k+1}{k+2}\]
Thật vậy \[{{S}_{k+1}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}\]
\(\begin{array}{l} = {S_k} + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}\\ = \frac{k}{{k + 1}} + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}\\ = \frac{{k\left( {k + 2} \right) + 1}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}\\ = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{{k + 1}}{{k + 2}} \end{array}\)
Bài 5. (SGK Đại số 11 trang 83)
+ Với \[n=4\] ta có tứ giác có hai đường chéo hay \[\frac{4\left( 4-3 \right)}{2}=2\] đường chéo.
Vậy khẳng định đúng với \[n=4\] .
+ Giả sử khẳng định đúng với \[n=k\ge 4\] , tức là :
Số đường chéo của đa giác \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{k}}\] có k cạnh là \[\frac{k\left( k-3 \right)}{2}\]
Ta cần chứng minh khẳng định đúng với \[n=k+1\] , tức là
Đa giác \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{k+1}}\] có \[k+1\] cạnh có số đường chéo là \[\frac{\left( k+1 \right)\left[ \left( k+1 \right)-3 \right]}{2}\]
Nối \[{{A}_{1}}{{A}_{k}}\] , ta có đa giác \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{k}}\] có số đường chéo là \[\frac{k\left( k-3 \right)}{2}\] .
Nối \[{{A}_{k+1}}\] với các điểm \[{{A}_{2}},{{A}_{3}},...,{{A}_{k-1}}\] ta được \[k-2\] đường chéo và \[{{A}_{1}}{{A}_{k}}\] là đường chéo
\[\Rightarrow \] Tổng số đường chéo của đa giác \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{k+1}}\] là :
\(\begin{array}{l} \frac{{k\left( {k - 3} \right)}}{2} + \left( {k - 2} \right) + 1\\ = \frac{{{k^2} - k - 2}}{2}\\ = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k - 2} \right)}}{2}\\ = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) - 3} \right]}}{2} \end{array}\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa phương pháp quy nạp toán học lớp 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất.