BÀI 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
| \[y=\sin x\] | \[y=\cos x\] | \[y=\tan x\] | \[y=\cot x\] |
Định nghĩa | Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực \[\sin x\] : \(\begin{array}{l} \sin :R \to R\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,x \mapsto y = \sin x \end{array}\) được gọi là hàm số \[\sin \] . Kí hiệu: \[y=\sin x\] | Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực \[\cos x\] : \(\begin{array}{l} \cos :R \to R\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \mapsto y = \cos x \end{array}\) được gọi là hàm côsin. Kí hiệu: \[y=\cos x\] | Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức: \[y=\frac{\sin x}{\cos x}\left( \cos x\ne 0 \right)\] Kí hiệu: \[y=\tan x\] | Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức: \[y=\frac{\cos x}{\sin x}\left( \sin x\ne 0 \right)\] Kí hiệu: \[y=\cot x\] |
Tập xác định | \( R\) | \(R\) | \(R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right\}\left( {k \in Z} \right)\) | \(R\backslash \left\{ {k\pi } \right\}\left( {k \in Z} \right)\) |
Tập giá trị | \[\left[ -1;1 \right]\] | \[\left[ -1;1 \right]\] | \(R\) | \(R\) |
Chu kì tuần hoàn | \[2\pi \] | \[2\pi \] | \[\pi \] | \[\pi \] |
Tính chẵn, lẻ | Là hàm số lẻ | Là hàm số chẵn | Là hàm số lẻ | Là hàm số lẻ |
Đồ thị hàm số |
|
|
|
|
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác.
Cách giải:
- Tìm điều kiện để hàm số có nghĩa
- Giải điều kiện và rút ra kết luận
Chú ý: Với các hàm chứa căn bậc chẵn thì biểu thức dưới dấu căn phải \[\ge 0\] ; các hàm phân thức thì mẫu số phải \[\ne 0\] ; các hàm liên quan đến \[\tan ,\cot \] thì \[\sin \] hoặc \[\cos \] phải \[\ne 0\] ;…
Dạng 2. Tính chẵn lẻ của hàm số.
Cách giải:
- Tìm tập xác định \[D\] của hàm số
- Với \[x\in D\Leftrightarrow -x\in D\]
- Tính \[f\left( -x \right)\] : Nếu \[f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D\] thì hàm số chẵn. Nếu \[f\left( -x \right)=-f\left( x \right),\forall x\in D\] thì hàm số lẻ.
Dạng 3. Chu kỳ của hàm số lượng giác.
Cách giải:
Áp dụng cách tính chu kì sau:
- Hàm số \[y=k\sin \left( ax+b \right);y=k\cos \left( ax+b \right)\left( ka\ne 0 \right)\] có chu kì \[T=\frac{2\pi }{\left| a \right|}\]
- Hàm số \[y=k\tan \left( ax+b \right);y=k\cot \left( ax+b \right)\left( ka\ne 0 \right)\] có chu kì \[T=\frac{\pi }{\left| a \right|}\]
Dạng 4. Vẽ bảng biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác sin, cos, tan, cotang và các hàm liên quan.
Cách giải:
- Áp dụng kiến thức về bảng biến thiên, đồ thị hàm số của các hàm lượng giác sin, cos, tan, cotang
- Từ đó, sử dụng các phép tịnh tiến, đối xứng,… để xác định đồ thị của các hàm cần tìm.
Dạng 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác.
Cách giải:
- Cách 1: Đưa các hàm lượng giác về dạng sin, cos và áp dụng \[-1\le \sin ,\cos \le 1\]
- Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁOKHOA
Bài 1. (SGK Đại số 11 trang 17)
Dựa vào đồ thị hàm số ta có:
a) \[\tan x=0\left( x\in \left[ -\pi ;\frac{3\pi }{2} \right] \right)\Leftrightarrow x=\pm \pi ;x=0\]
b) \[\tan x=1\left( x\in \left[ -\pi ;\frac{3\pi }{2} \right] \right)\Leftrightarrow x=\frac{-3\pi }{4};x=\frac{\pi }{4};x=\frac{5\pi }{4}\]
c) \[\tan x>0\left( x\in \left[ -\pi ;\frac{3\pi }{2} \right] \right)\Leftrightarrow x\in \left\{ \left( -\pi ;\frac{-\pi }{2} \right);\left( 0;\frac{\pi }{2} \right);\left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right) \right\}\]
d) \[\tan x<0\left( x\in \left[ -\pi ;\frac{3\pi }{2} \right] \right)\Leftrightarrow x\in \left\{ \left( \frac{-\pi }{2};0 \right);\left( \frac{\pi }{2};\pi \right) \right\}\]
Bài 2. (SGK Đại số 11 trang 17)
a) Biểu thức xác định \( \Leftrightarrow \sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
\[\Rightarrow \] TXĐ: \({D_1} = R\backslash \left\{ {k\pi } \right\}\left( {k \in Z} \right)\)
b) Biểu thức xác định \[\Leftrightarrow \frac{1+\cos x}{1-\cos x}\ge 0\] (luôn đúng); \[1-\cos x\ne 0\]
\( \Leftrightarrow \cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
\[\Rightarrow \] TXĐ: \({D_2} = R\backslash \left\{ {k2\pi } \right\}\left( {k \in Z} \right)\)
c) Ta có: \(x - \frac{\pi }{3} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{{5\pi }}{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
\[\Rightarrow \] TXĐ: \({D_3} = R\backslash \left\{ {\frac{{5\pi }}{6} + k\pi } \right\}\left( {k \in Z} \right)\)
d) Ta có: \(x + \frac{\pi }{6} \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{{ - \pi }}{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
\[\Rightarrow \] TXĐ: \({D_4} = R\backslash \left\{ {\frac{{ - \pi }}{6} + k\pi } \right\}\left( {k \in Z} \right)\)
Bài 3. (SGK Đại số 11 trang 17)
Ta có: \(\left| {\sin x} \right| = \left\{ \begin{array}{l} \sin x\,\,\,\,\,\,,\,\,\sin x \ge 0\\ - \sin x\,\,\,,\,\,\sin x < 0 \end{array} \right.\)
Khi đó, đồ thị hàm số \[y=\left| \sin x \right|\] được vẽ như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị hàm số \[y=\sin x\] nằm phía trên trục \[Ox\] .
- Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số \[y=\sin x\] nằm phía dưới trục \[Ox\] qua trục \[Ox\] .
Bài 4. (SGK Đại số 11 trang 17)
Ta có \(\sin 2\left( {x + k\pi } \right) = \sin \left( {2x + k2\pi } \right) = \sin 2x,\forall k \in Z\).
\[\Rightarrow \] Hàm số \[y=\sin 2x\] có chu kì tuần hoàn \[T=\pi \] .
+ Xét \[y=\sin 2x\] trên \[\left[ \frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]\] :
Ta có bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số
Bài 5. (SGK Đại số 11 trang 18)
Dựa vào đồ thị hàm số ta có: \(\cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Bài 6. (SGK Đại số 11 trang 18)
Dựa vào đồ thị hàm số , ta có: \(\sin x > 0 \Leftrightarrow x \in \left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)\left( {k \in Z} \right)\)
Bài 7. (SGK Đại số 11 trang 18)
Ta có: \(\cos x < 0 \Leftrightarrow x \in \left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)\left( {k \in Z} \right)\).
Bài 8. (SGK Đại số 11 trang 18)
a) Ta có: \[0\le \cos x\le 1\Leftrightarrow 0\le \sqrt{\cos x}\le 1\Leftrightarrow 0\le 2\sqrt{\cos x}\le 2\Leftrightarrow 1\le 2\sqrt{\cos x}+1\le 3\]
\(\Rightarrow {y_{\max }} = 3 \Leftrightarrow \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \left( {k \in Z} \right)\).
b) Ta có: \[-1\le \sin x\le 1\Leftrightarrow 2\ge -2\sin x\ge -2\Leftrightarrow 5\ge 3-2\sin x\ge 1\]
\( \Rightarrow {y_{\max }} = 5 \Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 11 bài Bài 1. Hàm số lượng giác do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ