BÀI 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
I. Đạo hàm tại một điểm
1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
- Bài toán tìm vận tốc tức thời
Định nghĩa:
Giới hạn hữu hạn (nếu có)
\[\underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{s(t)-s({{t}_{0}})}{t-{{t}_{0}}}\]
được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \[{{t}_{0}}\] .
Đó là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm \[{{t}_{0}}\] .
- Bài toán tìm cường độ tức thời
Định nghĩa:
Giới hạn hữu hạn (nếu có)
\[\underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{Q(t)-Q({{t}_{0}})}{t-{{t}_{0}}}\]
đó gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm \[{{t}_{0}}\] .
Nhận xét:
Nhiều bài toán trong Vật lí, Hóa học,…đưa đến việc tìm giới hạn dạng \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}\] , trong đó \[y=f(x)\] là một hàm số đã cho. Giới hạn trên dẫn tới một khái niệm quan trọng trong Toán học, đó gọi là Đạo hàm.
2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Định nghĩa:
Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] xác định trên khoảng \[\left( a;b \right)\] và \[{{x}_{0}}\in \left( a;b \right)\] . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
\[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}\]
Thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số \[y=f\left( x \right)\] tại điểm \[{{x}_{0}}\] và kí hiệu là \[f'\left( {{x}_{0}} \right)\] (hoặc \[y'\left( {{x}_{0}} \right)\] ), tức là
\[f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}\]
Chú ý:
- Đại lượng \[\Delta x=x-{{x}_{0}}\] được gọi là số gia của đối số tại \[{{x}_{0}}\]
- Đại lượng \[\Delta y=f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)\] được gọi là số gia của đối số tại \[{{x}_{0}}\]
3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Quy tắc:
- Giả sử \[\Delta x\] là số gia của đối số tại \[{{x}_{0}}\] , tính
\[\Delta y=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)\]
- Lập tỉ số \[\frac{\Delta y}{\Delta x}\]
- Tìm \[\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}\]
4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Định lí 1:
Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\] có đạo hàm tại \[{{x}_{0}}\] thì nó liên tục tại điểm đó.
Chú ý:
- Định lí trên tương đương với: Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\] gián đoạn tại \[{{x}_{0}}\] thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.
- Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.
5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Định lí 2:
Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] xác định trên \[\left( a;b \right)\] và có đạo hàm tại \[{{x}_{0}}\in \left( a;b \right)\] . Gọi \[\left( C \right)\] là đồ thị hàm số đó.
Đạo hàm của hàm số \[y=f\left( x \right)\] tại điểm \[{{x}_{0}}\] là hệ số góc của tiếp tuyến \[{{M}_{0}}T\] của \[C\] tại điểm \[{{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right) \right)\]
Định lí 3:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \[\left( C \right)\] của hàm số \[y=f\left( x \right)\] tại điểm \[{{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right) \right)\] là \[y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)\] trong đó \[{{y}_{0}}=f\left( {{x}_{0}} \right)\]
6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
- Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \[t\] là \[v\left( t \right)=s'\left( t \right)\]
- Cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm \[t\] là \[I\left( t \right)=Q'\left( t \right)\]
II. Đạo hàm trên một khoảng
Định nghĩa:
Hàm số \[y=f\left( x \right)\] được gọi là có đạo hàm trên khoảng \[\left( a;b \right)\] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm \[x\] thuộc khoảng đó.
Khi đó, ta gọi hàm số \[f':\left( a;b \right)\to \mathbb{R}\]
\[\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\mapsto f'\left( x \right)\]
là đạo hàm của hàm số \[y=f\left( x \right)\] trên khoảng \[\left( a;b \right)\] , kí hiệu là \[y'\] hay \[f'\left( x \right)\] .
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Cách giải:
- Tính \[\Delta y=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)=f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)\]
- Lập tỉ số \[\frac{\Delta y}{\Delta x}\]
- Tính \[\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}\]
Khi thay \[{{x}_{0}}\] bởi \[x\] ta tính được đạo hàm của hàm số \[y=f\left( x \right)\] tại \[x\in \left( a;b \right)\]
Dạng 2. Mối quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Cách giải:
- Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\] có đạo hàm tại \[{{x}_{0}}\] thì nó liên tục tại điểm đó.
- Để chứng minh hàm số không có đạo hàm tại \[{{x}_{0}}\] ta cần chứng minh \[\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\Delta x}\] và hàm số không liên tục tại \[{{x}_{0}}\] .
Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số \[y=f\left( x \right)\] tại điểm \[M\left( {{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right) \right)\]
Cách giải:
- Tính \[f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\]
- Phương trình tiếp tuyến tại điểm: \[y=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)\]
Dạng 4. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số \[y=f\left( x \right)\] khi biết hệ số góc \[k\]
Cách giải:
- Giải phương trình \[k=f'\left( {{x}_{0}} \right)\] để tìm \[{{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right)\]
- Tính \[f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\]
- Phương trình tiếp tuyến: \[y=k\left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)\]
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. SGK Đại số 11 trang 156
\[y=f\left( x \right)={{x}^{3}}\]
a) Ta có \[\Delta y=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)=f\left( 1+1 \right)-f\left( 1 \right)=f\left( 2 \right)-f\left( 1 \right)=8-1=7\] .
b) Ta có \[\Delta y=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)=f\left( 1-0,1 \right)-f\left( 1 \right)=f\left( 0,9 \right)-f\left( 1 \right)=0,{{9}^{3}}-1=-0,271\] .
Bài 2. SGK Đại số 11 rang 156
a) \[y=2x-5\]
Ta có \[\Delta y=f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)=2\left( x+\Delta x \right)-5-\left( 2x-5 \right)=2\Delta x\]
\[\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=2\]
b) \[y={{x}^{2}}-1\]
Ta có \[\Delta y=f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)={{\left( x+\Delta x \right)}^{2}}-1-\left( {{x}^{2}}-1 \right)=2x.\Delta x+{{\left( \Delta x \right)}^{2}}=\Delta x\left( 2x+\Delta x \right)\]
\[\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=2x+\Delta x\]
c) \[y=2{{x}^{3}}\]
Ta có \[\Delta y=f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)=2{{\left( x+\Delta x \right)}^{3}}-2{{x}^{3}}=2\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}.\Delta x+3x{{\left( \Delta x \right)}^{2}}+{{\left( \Delta x \right)}^{3}} \right)-2{{x}^{3}}=2\Delta x\left( 3{{x}^{2}}+3x.\Delta x+{{\left( \Delta x \right)}^{2}} \right)\] \[\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=2\left( 3{{x}^{2}}+3x.\Delta x+{{\left( \Delta x \right)}^{2}} \right)\]
d) \[y=\frac{1}{x}\]
Ta có \[\Delta y=f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)=\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}=\frac{x-\left( x+\Delta x \right)}{x\left( x+\Delta x \right)}=-\frac{\Delta x}{x\left( x+\Delta x \right)}\]
\[\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-1}{x\left( x+\Delta x \right)}\]
Bài 3. SGK Đại số 11 trang 156
a) \[y={{x}^{2}}+x\] tại \[{{x}_{0}}=1\]
Giả sử \[\Delta x\] là số gia của đối số tại \[{{x}_{0}}=1\]
Ta có \[\Delta y=f\left( 1+\Delta x \right)-f\left( 1 \right)={{\left( 1+\Delta x \right)}^{2}}+\left( 1+\Delta x \right)-2={{\left( \Delta x \right)}^{2}}+3\Delta x\]
\[\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\Delta x+3\]
\[\Rightarrow \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \Delta x+3 \right)=3\]
Vậy \[{{f}^{'}}\left( 1 \right)=3\] .
b) \[y=\frac{1}{x}\] tại \[{{x}_{0}}=2\]
Giả sử \[\Delta x\] là số gia của đối số tại \[{{x}_{0}}=2\]
Ta có \[\Delta y=f\left( 2+\Delta x \right)-f\left( 2 \right)=\frac{1}{2+\Delta x}-\frac{1}{2}=-\frac{\Delta x}{2\left( 2+\Delta x \right)}\]
\[\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{1}{2\left( 2+\Delta x \right)}\]
\[\Rightarrow \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( -\frac{1}{2\left( 2+\Delta x \right)} \right)=-\frac{1}{4}\]
Vậy \[f'\left( 2 \right)=\frac{-1}{4}\] .
c) \[y=\frac{x+1}{x-1}\] tại \[{{x}_{0}}=0\]
Giả sử \[\Delta x\] là số gia của đối số tại \[{{x}_{0}}=0\]
Ta có \[\Delta y=f\left( 0+\Delta x \right)-f\left( 0 \right)=\frac{\Delta x+1}{\Delta x-1}+1=\frac{2\Delta x}{\Delta x-1}\]
\[\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2}{\Delta x-1}\]
\[\Rightarrow \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{2}{\Delta x-1} \right)=-2\]
Vậy \[f'\left( 0 \right)=-2\] .
Bài 4. SGK Đại số 11 trang 156
+ Với \[x=0\] ta có :
\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( x-1 \right)}^{2}}=1\]
\[\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( -{{x}^{2}} \right)=0\]
\[\Rightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\ne \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\]
\[\Rightarrow \] Hàm số gián đoạn tại \[x=0\]
\[\Rightarrow \] Hàm số không có đạo hàm tại \[x=0\]
+ Với \[x=2\] ta có : \[\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 2 \right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}-1}{x-2}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-2x}{x-2}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,x=2\]
\[\Rightarrow \] Hàm số có đạo hàm tại \[x=2\] .
Bài 5. SGK Đại số 11 trang 156
Ta có :
\[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-{{x}_{0}} \right)\left( {{x}^{2}}+x.{{x}_{0}}+x_{0}^{2} \right)}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+x.{{x}_{0}}+x_{0}^{2} \right)=3x_{0}^{2}\]
\[\Rightarrow f'\left( {{x}_{0}} \right)=3x_{0}^{2}\]
a) Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại \[\left( -1;-1 \right)\] là :
\[y=f'\left( -1 \right)\left( x+1 \right)-1=3x+2\]
b) Tại \[{{x}_{0}}=2\Rightarrow {{y}_{0}}=8,f'\left( {{x}_{0}} \right)=12\]
=> Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm có hoành độ bằng 2 là :
\[y=12\left( x-2 \right)+8=12x-16\]
c) Vì hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 nên
\[f'\left( {{x}_{0}} \right)=3\Leftrightarrow 3x_{0}^{2}=3\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\pm 1\]
+ Với \[{{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=1\]
\[\Rightarrow \] Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm \[\left( 1;1 \right)\] là :
\[y=f'\left( 1 \right)\left( x-1 \right)+1=3x-2\]
+ Với \[{{x}_{0}}=-1\Rightarrow {{y}_{0}}=-1\]
\[\Rightarrow \] Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm \[\left( -1;-1 \right)\] là :
\[y=f'\left( -1 \right)\left( x+1 \right)-1=3x+2\]
Bài 6. SGK Đại số 11 trang 156
Với \[{{x}_{0}}\ne 0\] ta có :
\[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{{{x}_{0}}}}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left( -\frac{1}{x.{{x}_{0}}} \right)=-\frac{1}{x_{0}^{2}}\]
\[\Rightarrow f'\left( {{x}_{0}} \right)=-\frac{1}{x_{0}^{2}}\]
a) Phương trình tiếp tuyến của \[\left( H \right):y=\frac{1}{x}\] tại điểm \[\left( \frac{1}{2};2 \right)\] là :
\[y=f'\left( \frac{1}{2} \right)\left( x-\frac{1}{2} \right)+2\Leftrightarrow y=4x-2\]
b) Với \[{{x}_{0}}=-1\Rightarrow {{y}_{0}}=-1\] \[f'\left( {{x}_{0}} \right)=f'\left( -1 \right)=-1\]
=> Phương trình tiếp tuyến của \[\left( H \right):y=\frac{1}{x}\] tại điểm có hoành độ -1 là :
\[y=-\left( x+1 \right)-1=-x-2\]
c) Vì hệ số góc của tiếp tuyến là \[-\frac{1}{4}\]
\[\Rightarrow f'\left( {{x}_{0}} \right)=-\frac{1}{4}\Leftrightarrow x_{0}^{2}=4\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\pm 2\]
+ Với \[{{x}_{0}}=2\Rightarrow {{y}_{0}}=\frac{1}{2}\]
\[\Rightarrow \] Phương trình tiếp tuyến của \[\left( H \right):y=\frac{1}{x}\] tại \[\left( 2;\frac{1}{2} \right)\] là :
\[y=-\frac{1}{4}\left( x-2 \right)+\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}x+1\]
+ Với \[{{x}_{0}}=-2\Rightarrow {{y}_{0}}=-\frac{1}{2}\]
\[\Rightarrow \] Phương trình tiếp tuyến của \[\left( H \right):y=\frac{1}{x}\] tại \[\left( -2;-\frac{1}{2} \right)\] là :
\[y=-\frac{1}{4}\left( x+2 \right)-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}x-1\]
Bài 7. SGK Đại số 11 trang 157
a) Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t đến \[t+\Delta t\] là :
\[{{v}_{t}}=\frac{s\left( t+\Delta t \right)-s\left( t \right)}{\Delta t}=\frac{1}{2}g\frac{{{\left( t+\Delta t \right)}^{2}}-{{t}^{2}}}{\Delta t}=\frac{1}{2}g\left( 2t+\Delta t \right)\]
+ Với \[t=5s;\Delta t=0,1s\] ta có : \[{{v}_{tb}}=\frac{1}{2}.9,8,\left( 2.5+0,1 \right)=49,49\left( m/s \right)\]
+ Với \[t=5s;\Delta t=0,05s\] ta có : \[{{v}_{tb}}=\frac{1}{2}.9,8.\left( 2.5+0,05 \right)=49,245\left( m/s \right)\]
+ Với \[t=5s;\Delta t=0,001s\] ta có : \[{{v}_{tb}}=\frac{1}{2}.9,8.\left( 2.5+0,001 \right)=49,0049\left( m/s \right)\]
b) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \[t=5s\] là \[{{v}_{tt}}=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{v}_{tb}}=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2}g\left( 2t+\Delta t \right)=gt=9,8.5=49\left( m/s \right)\]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm toán học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất