BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
I. Khái niệm mở đầu
1. Mặt phẳng
- Mặt bảng, mặt bàn,… cho ta hình ảnh về một phần mặt phẳng. Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn.
- Để biểu diễn mặt phẳng, người ta thường dùng hình bình hành hoặc một miền góc và ghi tên của mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn.
- Để kí hiệu mặt phẳng, người ta thường dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hi Lạp đặt trong dấu \[\left( {} \right)\] . Ví dụ: mặt phẳng \[\left( P \right);\left( Q \right);\left( \alpha \right);\left( \beta \right);...\]
2. Điểm thuộc mặt phẳng
Cho điểm A và mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] .
- Khi điểm A thuộc mặt thẳng \[\left( \alpha \right)\] ta nói A nằm trên \[\left( \alpha \right)\] hay \[\left( \alpha \right)\] chứa A, \[\left( \alpha \right)\] đi qua điểm A và kí hiệu \[A\in \left( \alpha \right)\].
- Khi điểm A không thuộc mặt thẳng \[\left( \alpha \right)\] ta nói A nằm ngoài \[\left( \alpha \right)\] hay \[\left( \alpha \right)\] không chứa A và kí hiệu \[A\notin \left( \alpha \right)\].
3. Hình biểu diễn của một hình không gian
Để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian người ta dựa vào quy tắc sau:
- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
- Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.
- Dùng nét liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn biểu diễn cho đường bị che khuất.
II. Các tính chất thừa nhận
Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy.
Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
Định lí: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
III. Cách xác định một mặt phẳng
Có ba cách xác định một mặt phẳng:
- Một mặt phẳng được hoàn toànxác định nếu biết nó đi qua ba điểm \[A,B,C\] không thẳng hàng. Kí hiệu: \[\left( ABC \right)\]
- Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua một điểm A và chứa một đường thẳng d không đi qua điểm đó. Kí hiệu: \[\left( A,d \right)\].
- Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó chứa hai đường thẳng \[a,b\] cắt nhau. Kí hiệu: \[\left( a,b \right)\].
IV. Hình chóp và tứ diện
Định nghĩa: Cho đa giác \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}\ldots {{A}_{n}}\] và cho điểm \[S\] nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối \[S\] với các đỉnh \[{{A}_{1}},{{A}_{2}},\ldots ,{{A}_{n}}\] ta được \[n\] miền đa giác \[S{{A}_{1}}{{A}_{2}},S{{A}_{2}}{{A}_{3}},\ldots ,S{{A}_{n-1}}{{A}_{n}}\].
Hình gồm \[n\] tam giác đó và đa giác \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}...{{A}_{n}}\] được gọi là hình chóp \[S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}\ldots {{A}_{n}}\].
Trong đó:
Điểm \[S\] gọi là đỉnh của hình chóp.
Đa giác \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}\ldots {{A}_{n}}\] gọi là mặt đáy của hình chóp.
Các đoạn thẳng \[{{A}_{1}}{{A}_{2}},{{A}_{2}}{{A}_{3}},\ldots ,{{A}_{n-1}}{{A}_{n}}\] gọi là các cạnh đáy của hình chóp.
Các đoạn thẳng \[S{{A}_{1}},S{{A}_{2}},\ldots ,S{{A}_{n}}\] gọi là các cạnh bên của hình chóp.
Các miền tam giác \[S{{A}_{1}}{{A}_{2}},S{{A}_{2}}{{A}_{3}},\ldots ,S{{A}_{n-1}}{{A}_{n}}\] gọi là các mặt bên của hình chóp.
Nếu đáy của hình chóp là một miền tam giác, tứ giác, ngũ giác,… thì hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…
Chú ý:
- Hình chóp tam giác còn được gọi là hình tứ diện.
- Hình tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều hay có tất cả các cạnh bằng nhau được gọi là hình tứ diện đều.
V. Thiết diện
Thiết diện của hình \[\left( H \right)\]và hình \[\left( Q \right)\] là phần chung nhau giữa 2 hình đó.
Thiết diện của mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] với hình chóp \[\left( H \right)\] là phần chung giữa mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] và hình chóp \[\left( H \right)\] .
Đặc điểm của thiết diện:
- Thiết diện là đa giác kín.
- Các cạnh của thiết diện nằm trên các mặt của hình đa diện.
- Cạnh của thiết diện được hình thành từ những đoạn giao tuyến của mặt phẳng cắt với các mặt của hình đa diện.
- Trong giới hạn hình đa diện thì thiết diện có thể cắt hoặc không cắt tất cả các mặt của hình chóp.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
Cách giải:
Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\]và \[\left( \beta \right)\] bằng hai cách:
- Tìm đường thẳng chung của 2 mặt phẳng đó
- Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] và \[\left( \beta \right)\] , đường thẳng đi qua hai điểm chung ấy là giao tuyến cần tìm.
Chú ý:
- Hai đường thẳng chỉ cắt nhau nếu chúng cùng nằm trong 1 mặt phẳng và không song song với nhau.
- Nếu \[d\in \left( \alpha \right)\] thì mọi điểm \[A\in d\] đều thuộc \[\left( \alpha \right)\].
Dạng 2. Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Cách giải:
Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] theo các bước sau:
- Tìm mặt phẳng \[\left( \beta \right)\] chứa đường thẳng a
- Tìm giao tuyến b của mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] với mặt phẳng \[\left( \beta \right)\]
- Giao điểm của đường thẳng a với mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] là giao điểm của a và b.
Dạng 3. Xác định thiết diện
Cách giải:
- Xác định điểm chung có trước
- Từ các điểm chung có trước ta xác định giao tuyến của mặt phẳng với các mặt chứa điểm chung đó.
- Từ giao tuyến đó ta xác định đoạn giao tuyến bằng cách tìm giao điểm của giao tuyến với các cạnh của mặt phẳng đó.
- Từ giao tuyến tìm được ta tiến hành tìm giao tuyến và các đoạn giao tuyến còn lại cho đến khi được 1 hình kín.
Dạng 4. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy trong không gian
Cách giải:
Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh chúng cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng, tức là:
- Xác định \[d=\left( \alpha \right)\cap \left( \beta \right)\]
- Chứng minh \[d\] đi qua ba điểm \[A,B,C\] hoặc chứng minh \[AB\] đi qua \[C\] . Từ đó, suy ra \[A,B,C\] thẳng hàng.
Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng này thuộc đường thẳng kia.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (trang 53 SGK Hình học 11)
a) Ta có: \[E\in AB\subset \left( ABC \right)\Rightarrow E\in \left( ABC \right)\]
\[F\in AC\subset \left( ABC \right)\Rightarrow F\in \left( ABC \right)\]
Theo tính chất 3, \[EF\subset \left( ABC \right)\]
b) Ta có: \[I\in BC\subset \left( BCD \right)\Rightarrow I\in \left( BCD \right)\]
\[I\in EF\subset \left( DEF \right)\Rightarrow I\in \left( DEF \right)\]
\[\Rightarrow I\] là điểm chung của hai mặt phẳng \[\left( BCD \right),\left( DEF \right)\] .
Bài 2. (trang 53 SGK Hình học 11)
Giả sử \[\left( \beta \right)\] là mặt phẳng bất kì chứa \[d\].
Ta có: \[M=d\cap \left( \alpha \right)\]
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} M \in \left( \alpha \right)\quad \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ ME \in d \subset \left( \beta \right) \Rightarrow M \in \left( \beta \right)\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.\)
Từ \[\left( 1 \right);\left( 2 \right)\Rightarrow M\] là điểm chung của \[\left( \alpha \right)\] với một mặt phẳng bất kì chứa \[d\].
Bài 3. (trang 53 SGK Hình học 11)
Gọi \[I={{d}_{1}}\cap {{d}_{2}}\] ; \[\left( P \right)\] là mặt phẳng chứa \[{{d}_{1}};{{d}_{2}}\]
Gọi \[M={{d}_{1}}\cap {{d}_{3}};N={{d}_{2}}\cap {{d}_{3}}\]
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {M \in {d_1} \subset \left( P \right)}\\ {N \in {d_2} \subset \left( P \right)} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {M \in \left( P \right)}\\ {N \in \left( P \right)} \end{array}} \right.} \right.\)
Theo tính chất 3 ta có với \[M\ne N\] thì \[MN\subset \left( P \right)\Rightarrow {{d}_{3}}\subset \left( P \right)\] (trái với giả thiết)
Vậy \[M\equiv N\equiv I\Rightarrow {{d}_{1}};{{d}_{2}};{{d}_{3}}\] đồng quy.
Bài 4. (trang 53 SGK Hình học 11)
Gọi \[N\] là trung điểm \[CD\Rightarrow {{G}_{A}}\in BN,{{G}_{B}}\in AD\]
Trong \[\left( ABN \right)\] , gọi \[{{G}_{1}}=A{{G}_{A}}\cap B{{G}_{B}}\]
\[\Delta BCD\] có \[{{G}_{A}}\] là trọng tâm \[\Rightarrow \frac{N{{G}_{A}}}{NB}=\frac{1}{3}\]
\[\Delta ACD\] có \[{{G}_{B}}\] là trọng tâm \[\Rightarrow \frac{N{{G}_{B}}}{NA}=\frac{1}{3}\]
\[\Delta ABN\] có: \[\frac{N{{G}_{A}}}{NB}=\frac{N{{G}_{B}}}{NA}=\frac{1}{3}\]
\[\Rightarrow {{G}_{A}}{{G}_{B}}//AB,\frac{AB}{{{G}_{A}}{{G}_{B}}}=3\]
Hình thang \[{{\text{G}}_{A}}{{\text{G}}_{B}}\text{A B}\] có \[{{\text{G}}_{A}}{{\text{G}}_{B}}\text{//A B}\]
\[\Rightarrow \frac{{{G}_{1}}A}{{{G}_{1}}{{G}_{A}}}=\frac{AB}{{{G}_{A}}{{G}_{B}}}=3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\]
Gọi \[{{G}_{2}}=A{{G}_{A}}\cap C{{G}_{C}}\] ; \[{{G}_{3}}=A{{G}_{A}}\cap D{{G}_{D}}\] .
Chứng minh tương tự ta có \[\frac{{{G}_{2}}A}{{{G}_{2}}{{G}_{A}}}=\frac{{{G}_{3}}A}{{{G}_{3}}{{G}_{A}}}=3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right);\left( 2 \right)\Rightarrow {{G}_{1}}\equiv {{G}_{2}}\equiv {{G}_{3}}\]
\[\Rightarrow A{{G}_{A}};B{{G}_{B}};C{{G}_{C}};D{{G}_{D}}\] đồng quy.
Bài 5. (trang 53 SGK Hình học 11)
a) Gọi \[E=AB\cap CD\]
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {E \in AB \subset \left( {MAB} \right)}\\ {E \in CD \subset \left( {SCD} \right)} \end{array} \Rightarrow } \right.\left\{ \begin{array}{l} E \in \left( {MAB} \right)\\ E \in \left( {SCD} \right) \end{array} \right.\)
Mà \[M\in SC\subset \left( SCD \right)\Rightarrow M\in \left( SCD \right)\]
\[\Rightarrow ME\subset \left( SCD \right)\]
Trong \[\left( SCD \right)\] , gọi \[N=ME\cap SD\Rightarrow N\in ME\subset \left( MAB \right)\Rightarrow N=SD\cap \left( MAB \right)\]
b) Vì \[O=AC\cap BD\]
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\ O \in BD \subset \left( {SBD} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} O \in \left( {SAC} \right)\\ O \in \left( {SBD} \right) \end{array} \right.\)
Mà \(\left\{ \begin{array}{l} S \in \left( {SAC} \right)\\ S \in \left( {SBD} \right) \end{array} \right.\) \[\Rightarrow SO\subset \left( SAC \right);SO\subset \left( SBD \right)\]
\[\Rightarrow SO=\left( SAC \right)\cap \left( SBD \right)\]
Trong \[\left( MAB \right)\] , gọi \[I=AM\cap BN\]
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} I \in AM \subset \left( {SAC} \right)\\ I \in BN \subset \left( {SBD} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} I \in \left( {SAC} \right)\\ I \in \left( {SBD} \right) \end{array} \right.\)
\[\Rightarrow I\] là điểm chung của hai mặt phẳng \[\left( SAC \right);\left( SBD \right)\]
\[\Rightarrow I\in SO\Rightarrow S;O;I\] thẳng hàng
\[\Rightarrow SO;AM;BN\] đồng quy.
Bài 6. (trang 54 SGK Hình học 11)
a) Trong \[\left( BCD \right)\] , gọi \[E=NP\cap CD\]
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {E \in NP \subset \left( {MNP} \right)}\\ {E \in CD} \end{array}} \right. \Rightarrow E \in \left( {MNP} \right)\)
\[\Rightarrow E=CD\cap \left( MNP \right)\]
b) Trong \[\left( ACE \right)\] , gọi \[I=ME\cap AD\]
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {I \in AD \subset \left( {ACD} \right)}\\ {I \in ME \subset \left( {MNP} \right)} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {I \in \left( {ACD} \right)}\\ {I \in \left( {MNP} \right)} \end{array}} \right.\)
Mặt khác, \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {M \in AC \subset \left( {ACD} \right)}\\ {M \in \left( {MNP} \right)} \end{array}} \right. \Rightarrow M \in \left( {ACD} \right)\)
\[\Rightarrow MI=\left( MNP \right)\cap \left( ACD \right)\]
Bài 7. (trang 54 SGK Hình học 11)
a) Ta thấy \[I\in AD\subset \left( KAD \right)\Rightarrow I\in \left( KAD \right)\]
\[I\in \left( IBC \right)\]
\[\Rightarrow I\in \left( IBC \right)\cap \left( KAD \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)\]
Mặt khác, \[K\in BC\subset \left( IBC \right)\Rightarrow K\in \left( IBC \right)\]
\[K\in \left( KAD \right)\]
\[\Rightarrow K\in \left( IBC \right)\cap \left( KAD \right)\,\,\,\,\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right);\left( 2 \right)\Rightarrow IK=\left( IBC \right)\cap \left( KAD \right)\]
b) Trong \[\left( ACD \right)\] , gọi \[E=CI\cap DN\]
\[\Rightarrow E\in CI\subset \left( IBC \right)\Rightarrow E\in \left( IBC \right)\]
\[E\in DN\subset \left( DMN \right)\Rightarrow E\in \left( DMN \right)\]
\[\Rightarrow E\in \left( IBC \right)\cap \left( DMN \right)\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\]
Trong \[\left( ABD \right)\] , gọi \[F=DM\cap BI\]
\[\Rightarrow F\in \left( IBC \right)\cap \left( DMN \right)\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\]
Từ \[\left( 3 \right);\left( 4 \right)\Rightarrow EF=\left( IBC \right)\cap \left( DMN \right)\]
Bài 8. (trang 54 SGK Hình học 11)
a) Ta có: \[E=MP\cap BD\]
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {E \in MP \subset \left( {PMN} \right)}\\ {E \in BP \subset \left( {BCD} \right)} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {E \in \left( {PMN} \right)}\\ {E \in \left( {BCD} \right)} \end{array}} \right.\)
\[\Rightarrow E\in \left( PMN \right)\cap \left( BCD \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\]
Mặt khác, \[N\in \left( PMN \right)\]
\[N\in CD\subset \left( BCD \right)\Rightarrow N\in \left( BCD \right)\]
\[\Rightarrow N\in \left( PMN \right)\cap \left( BCD \right)\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right);\left( 2 \right)\Rightarrow EN=\left( PMN \right)\cap \left( BCD \right)\]
Trong \[\left( BCD \right)\] , gọi \[Q=BC\cap EN\]
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} Q \in BC\\ Q \in EN \subset \left( {PMN} \right) \Rightarrow Q \in \left( {PMN} \right) \end{array} \right.\)
\[\Rightarrow Q=BC\cap \left( PMN \right)\]
Bài 9. (trang 54 SGK Hình học 11)
a) Trong \[\left( ABCD \right)\] , gọi \[M=AE\cap CD\]
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {M \in AE \subset \left( {C'AE} \right) \Rightarrow M \in \left( {C'AE} \right)}\\ {M \in CD} \end{array}} \right.\)
\[\Rightarrow M=CD\cap \left( C'AE \right)\]
b) Trong \[\left( SCD \right)\] , gọi \[F=SD\cap MC'\]
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} F \in SD \subset \left( {SCD} \right)\\ F \in MC \subset \left( {C'AE} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} F \in \left( {SCD} \right)\\ F \in \left( {C'AE} \right) \end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {SCD} \right) \cap \left( {C'AE} \right)\)
Mà \[C'\in SC\subset \left( SCD \right);C'\in \left( C'AE \right)\]
\[\Rightarrow C'F=\left( SCD \right)\cap \left( C'AE \right)\]
Chứng minh tương tự ta có:
\[AF=\left( SAD \right)\cap \left( C'AE \right)\]
\[AE=\left( ABCD \right)\cap \left( C'AE \right)\]
\[EC'=\left( SBC \right)\cap \left( C'AE \right)\]
\[\Rightarrow \] Thiết diện cần tìm là tứ giác \[AEC'F\] .
Bài 10. (trang 54 SGK Hình học 11)
a) Trong \[\left( SCD \right)\] , gọi \[N=SM\cap CD\]
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} N \in SM \subset \left( {SBM} \right) \Rightarrow N \in \left( {SBM} \right)\\ N \in CD \end{array} \right. \Rightarrow N = CD \cap \left( {SBM} \right)\)
b) Trong \[\left( ABCD \right)\] , gọi \[O=AC\cap BD\]
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\ O \in BN \subset \left( {SBM} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} O \in \left( {SAC} \right)\\ O \in \left( {SBM} \right) \end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBM} \right)\)
Mà \[S\in \left( SAC \right)\cap \left( SBM \right)\]
\[\Rightarrow SO=\left( SAC \right)\cap \left( SBM \right)\]
c) Trong \[\left( SBN \right)\] , gọi \[I=BM\cap SO\]
\( \Rightarrow I\left\{ \begin{array}{l} I \in BM\\ N \in SO \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow I \in \left( {SAC} \right) \end{array} \right. \Rightarrow I = BM \cap \left( {SAC} \right)\)
d) Trong \[\left( ABCD \right)\] , gọi \[K=AB\cap CD\]
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} K \in AB \subset \left( {MAB} \right)\\ K \in CD \subset \left( {SCD} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} K \in \left( {MAB} \right)\\ K \in \left( {SCD} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} MK \subset \left( {MAB} \right)\\ SK \subset \left( {SCD} \right) \end{array} \right.\)
Trong \[\left( SCD \right)\] , gọi \[P=SC\cap MK\]
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} P \in SC\\ P \in MK \subset \left( {MAB} \right) \Rightarrow P \in \left( {MAB} \right) \end{array} \right.\)
\[\Rightarrow P=SC\cap \left( MAB \right)\]
Mà \[SC\subset \left( SCD \right)\Rightarrow P\in \left( SCD \right)\cap \left( MAB \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)\]
Trong \[\left( SCD \right)\] , gọi \[Q=PM\cap SD\]
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} Q \in PM \subset \left( {MAB} \right)\\ Q \in SD \subset \left( {SCD} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} Q \in \left( {MAB} \right)\\ Q \in \left( {SCD} \right) \end{array} \right. \Rightarrow Q \in \left( {SCD} \right) \cap \left( {MAB} \right)\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \[\left( 1 \right);\left( 2 \right)\Rightarrow PQ=\left( SCD \right)\cap \left( MAB \right)\]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa đại cương về đường thẳng và mặt phẳng toán học 11, toán 11hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất