BÀI 3: TÍCH CỦA VÉC TƠ VỚI MỘT SỐ
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Cho số k ≠ 0 và vectơ $$ \vec{a}\ne \vec{0} $$ Tích của vectơ $$ \vec{a} $$ với số k là một vectơ, kí hiệu là $$ k\vec{a} $$ , cùng hướng với $$ \vec{a} $$ nếu k > 0, ngược hướng với $$ \vec{a} $$ nếu k < 0 và có độ dài bằng $$ |k||\vec{a}| $$
2. Tính chất
Với hai vectơ $$ \vec{a} $$ và $$ \vec{b} $$ bất kì, với mọi số h và k, ta có
\[k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}\]
$$ (h+k)\vec{a}=h\vec{a}+k\vec{a} $$
$$ h(k\vec{a})=(hk)\vec{a} $$
\[1.\vec{a}=\vec{a},(-1)\cdot \vec{a}=-\vec{a}\]
3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M thì ta có
$$ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI} $$
b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M thì ta có
$$ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{MG} $$
4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Điều kiện cần và đủ để hai vectơ $$ \vec{a} $$ và $$ \vec{b}(\vec{b}\ne \vec{0}) $$ cùng phương là có một số k để $$ \vec{a}=k\vec{b} $$
5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
Cho hai vectơ $$ \vec{a} $$ và $$ \vec{b} $$ không cùng phương. Khi đó mọi vectơ $$ \vec{x} $$ đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ $$ \vec{a} $$ và $$ \vec{b} $$ nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho $$ \vec{x}=h\vec{a}+k\vec{b} $$
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Các dạng bài tập về trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác, phân tích một véc tơ theo hai véc tơ không cùng phương, các em cần nắm vững lý thuyết ở phần lý thuyết trọng tâm để giải bài tập.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1 (trang 17 SGK Hình học 10):
Lời giải:
ABCD là hình bình hành
$$ \Rightarrow \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AD}}=\overrightarrow{\text{AC}} $$
Do đó $$ \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{AD}} $$
$$ =\left( \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AD}} \right)+\overrightarrow{\text{AC}} $$
$$ =\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{AC}}=2\cdot \overrightarrow{\text{AC}} $$
Bài 2 (trang 17 SGK Hình học 10):
Lời giải:
+ K là trung điểm của BC nên ta có:
$$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\cdot \overrightarrow{AK}~hay~\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}=2\vec{u} $$ (1)
+ M là trung điểm AC nên ta có:
$$ \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\cdot \overrightarrow{BM}~hay~\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}=2\vec{v} $$ (2)
Lại có $$ \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}+\overrightarrow{\text{CA}}=\vec{0} $$ (3)
Cộng (1) với (3) ta được $$ 2.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=2\vec{u} $$ , kết hợp với (2) ta được hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=2\vec{u} \\ -\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=2\vec{v} \\ \end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \overrightarrow{AB}=\frac{2\vec{u}-2\vec{v}}{3}=\frac{2}{3}\vec{u}-\frac{2}{3}\vec{v} \\ \overrightarrow{BC}=\frac{2\vec{u}+4.\vec{v}}{3}=\frac{2}{3}\vec{u}+\frac{4}{3}\cdot \vec{v} \\ \end{array} \right.\)
Từ (1) \[\Rightarrow \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}-2\vec{u}\]
\[=\frac{2}{3}\vec{u}-\frac{2}{3}\vec{v}-2\vec{u}=\frac{-4}{3}\vec{u}-\frac{2}{3}\vec{v}\]
Vậy \[\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\vec{u}-\frac{2}{3}\vec{v}\]
\[\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}\vec{u}+\frac{4}{3}\vec{v};\overrightarrow{CA}=\frac{-4}{3}\vec{u}-\frac{2}{3}\vec{v}\]
Bài 3 (trang 17 SGK Hình học 10):
Lời giải:
Ta có \[\overrightarrow{\text{MB}}=3\cdot \overrightarrow{\text{MC}}\Rightarrow \overrightarrow{\text{MB}}-3\cdot \overrightarrow{\text{MC}}=\vec{0}\]
Theo quy tắc ba điểm ta có:
\(\begin{array}{*{35}{l}} \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{MB}=\vec{u}-\overrightarrow{MB} \\ \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{MC}=\vec{v}-\overrightarrow{MC} \\ \end{array}\)
Lấy (1) trừ 3 lần (2) ta được:
\(\begin{array}{*{35}{l}} \overrightarrow{AM}-3\overrightarrow{AM}=(\vec{u}-\overrightarrow{MB})-3\cdot (\vec{v}-\overrightarrow{MC}) \\ \Leftrightarrow -2\overrightarrow{AM}=(\vec{u}-3\vec{v})+(\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}) \\ \Leftrightarrow -2\overrightarrow{AM}=\vec{u}-3\vec{v} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{-1}{2}\vec{u}+\frac{3}{2}\vec{v} \\ \end{array}\)
Bài 4 (trang 17 SGK Hình học 10):
Lời giải:
a) Ta có \[2\overrightarrow{\text{DA}}+\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DC}}\]
\(\begin{array}{*{35}{l}} =2\overrightarrow{\text{DA}}+(\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DC}}) \\ =2\cdot \overrightarrow{\text{DA}}+2\cdot \overrightarrow{\text{DM}} \\ \end{array}\)
(Do M là trung điểm của BC)
\(\begin{array}{*{35}{l}} =2\cdot (\overrightarrow{\text{DA}}+\overrightarrow{\text{DM}}) \\ =2.\vec{0} \\ \end{array}\)
(Vì D là trung điểm của AM)
\[=\vec{0}\](đpcm)
b) Ta có: \[2\cdot \overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}\]
\(\begin{array}{*{35}{l}} =2\cdot (\overrightarrow{\text{OD}}+\overrightarrow{\text{DA}})+(\overrightarrow{\text{OD}}+\overrightarrow{\text{DB}})+(\overrightarrow{\text{OD}}+\overrightarrow{\text{DC}}) \\ =4\cdot \overrightarrow{\text{OD}}+(2\overrightarrow{\text{DA}}+\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DC}}) \\ =4\cdot \overrightarrow{\text{OD}}+\vec{0} \\ =4.\overrightarrow{\text{OD}} \\ \end{array}\)
Bài 5 (trang 17 SGK Hình học 10):
Lời giải:
Ta có:
\[+2\cdot \overrightarrow{\text{MN}}=\overrightarrow{\text{MD}}+\overrightarrow{\text{MC}}\]
(Vì N là trung điểm của DC)
\(\begin{array}{*{35}{l}} =(\overrightarrow{\text{MB}}+\overrightarrow{\text{BD}})+(\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{AC}}) \\ =(\overrightarrow{\text{MB}}+\overrightarrow{\text{MA}})+(\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{BD}}) \\ =\vec{0}+\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{BD}} \\ \end{array}\)
(Vì M là trung điểm của AB)
\[=\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{BD}}\]
\[+2\cdot \overrightarrow{\text{MN}}=\overrightarrow{\text{MD}}+\overrightarrow{\text{MC}}\]
(Vì N là trung điểm của DC)
\(\begin{array}{*{35}{l}} =(\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{AD}})+(\overrightarrow{\text{MB}}+\overrightarrow{\text{BC}}) \\ =(\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}})+(\overrightarrow{\text{AD}}+\overrightarrow{\text{BC}}) \\ =\vec{0}+(\overrightarrow{\text{AD}}+\overrightarrow{\text{BC}}) \\ \end{array}\)
(Vì M là trung điểm của AB)
\[=\overrightarrow{\text{AD}}+\overrightarrow{\text{BC}}\]
Vậy
\[2\overrightarrow{\text{MN}}=\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{BD}}=\overrightarrow{\text{BC}}+\overrightarrow{\text{AD}}\] (đpcm)
Bài 6 (trang 17 SGK Hình học 10):
Lời giải:
Ta có: \[3\overrightarrow{\text{KA}}+2\cdot \overrightarrow{\text{KB}}=\vec{0}\]
\(\begin{array}{*{35}{l}} \Leftrightarrow 3\overrightarrow{\text{KA}}+2\cdot (\overrightarrow{\text{KA}}+\overrightarrow{\text{AB}})=\vec{0} \\ \Leftrightarrow 5\cdot \overline{\text{KA}}+2\cdot \overrightarrow{\text{AB}}=\vec{0} \\ \Leftrightarrow 5\overrightarrow{\text{KA}}=-2\overrightarrow{\text{AB}} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{KA}}=\frac{-2}{5}\cdot \overrightarrow{\text{AB}} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{AK}}=\frac{2}{5}\cdot \overrightarrow{\text{AB}} \\ \end{array}\)
\[\Rightarrow \overrightarrow{\text{AK}}\] cùng hướng \[\overrightarrow{\text{AB}}\]
Và \[\text{AK}=\frac{2}{5}\cdot \text{AB}\]
hay K là điểm nằm trên đoạn thẳng AB và Và \[\text{AK}=\frac{2}{5}\cdot \text{AB}\]
\[\Rightarrow 3\cdot \overrightarrow{KA}+2\cdot \overrightarrow{KB}=\vec{0}\]
Bài 7 (trang 17 SGK Hình học 10):
Lời giải:
Gọi D là trung điểm AB.
Khi đó với mọi điểm M ta có :
\(\begin{array}{*{35}{l}} \overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}=2\cdot \overrightarrow{\text{MD}} \\ \overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}+2\cdot \overrightarrow{\text{MC}}=\vec{0} \\ \Leftrightarrow 2\cdot \overrightarrow{\text{MD}}+2\cdot \overrightarrow{\text{MC}}=\vec{0} \\ \Leftrightarrow 2\cdot (\overrightarrow{\text{MD}}+\overrightarrow{\text{MC}})=\vec{0} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{MD}}+\overrightarrow{\text{MC}}=\vec{0} \\ \end{array}\)
\[\Leftrightarrow \]M là trung điểm của CD
Vậy \[\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}+2\overrightarrow{\text{MC}}=\vec{0}\]
\[\Leftrightarrow \]M là trung tuyến từ đỉnh C
Bài 8 (trang 17 SGK Hình học 10):
Lời giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác MPR \[\Rightarrow \overrightarrow{\text{GM}}+\overrightarrow{\text{GP}}+\overrightarrow{\text{GR}}=\vec{0}\]
Ta cần đi chứng minh G cũng là trọng tâm của ΔNQS bằng cách chứng minh \[\overrightarrow{\text{GN}}+\overrightarrow{\text{GQ}}+\overrightarrow{\text{GS}}=\vec{0}\]
Thật vậy ta có:
\(\begin{array}{*{35}{l}} 2\cdot (\overline{\text{GN}}+\overrightarrow{\text{GQ}}+\overrightarrow{\text{GS}}) \\ =2.\overrightarrow{\text{GN}}+2\cdot \overrightarrow{\text{GQ}}+2\overrightarrow{\text{GS}} \\ =(\overrightarrow{\text{GB}}+\overrightarrow{\text{GC}})+(\overrightarrow{\text{GD}}+\overrightarrow{\text{GE}})+(\overrightarrow{\text{GF}}+\overrightarrow{\text{GA}}) \\ \end{array}\)
(Vì N, Q, S lần lượt là trung điểm của BC, DE, FA)
\(\begin{array}{*{35}{l}} =(\overline{\text{GA}}+\overrightarrow{\text{GB}})+(\overrightarrow{\text{GC}}+\overrightarrow{\text{GD}})+(\overrightarrow{\text{GE}}+\overrightarrow{\text{GF}}) \\ =2.\overline{\text{GM}}+2\cdot \overrightarrow{\text{GP}}+2\overrightarrow{\text{GR}} \\ \end{array}\)
(Vì M, P, R là trung điểm AB, CD, EF)
\(\begin{array}{*{35}{l}} =2\cdot (\overrightarrow{\text{GM}}+\overrightarrow{\text{GP}}+\overrightarrow{\text{GR}}) \\ =2.\vec{0}=\vec{0} \\ \Rightarrow \overrightarrow{\text{GN}}+\overrightarrow{\text{GQ}}+\overrightarrow{\text{GS}}=\vec{0} \\ \end{array}\)
Hay G cũng là trọng tâm của ΔNQS.
Vậy trọng tâm ΔMPR và ΔNQS trùng nhau.
Bài 9 (trang 17 SGK Hình học 10):
Lời giải:
Ta có:
\(\begin{array}{*{35}{l}} MS//AB\Rightarrow \widehat{MSH}=\hat{B}={{60}^{\circ }} \\ MH//AC\Rightarrow \widehat{MHS}=\hat{C}={{60}^{\circ }} \\ \Rightarrow \Delta MHS~c\acute{o}~\widehat{MHS}=\widehat{MSH}={{60}^{\circ }} \\ \end{array} \)
⇒ ΔMHS đều.
MD ⊥ SH nên MD là đường cao đồng thời là trung tuyến của ΔMHS.
⇒ D là trung điểm của HS
\[\Rightarrow 2\cdot \overrightarrow{\text{MD}}=\overrightarrow{\text{MS}}+\overrightarrow{\text{MH}}\]
Chứng minh tương tự ta có:
\(\begin{array}{*{35}{l}} 2\cdot \overrightarrow{\text{ME}}=\overrightarrow{\text{MR}}+\overrightarrow{\text{MQ}} \\ 2\overrightarrow{\text{MF}}=\overrightarrow{\text{MG}}+\overrightarrow{\text{MP}} \\ \Rightarrow 2.\text{MD}+2\cdot \text{ME}+2.\text{MF} \\ =\overrightarrow{\text{MS}}+\overrightarrow{\text{MH}}+\overrightarrow{\text{MR}}+\overrightarrow{\text{MQ}}+\overrightarrow{\text{MG}}+\overrightarrow{\text{MP}} \\ =(\overrightarrow{\text{MS}}+\overrightarrow{\text{MP}})+(\overrightarrow{\text{MH}}+\overrightarrow{\text{MQ}})+(\overrightarrow{\text{MR}}+\overrightarrow{\text{MP}}) \\ =\overline{\text{MB}}+\overrightarrow{\text{MC}}+\overrightarrow{\text{MA}} \\ \end{array}\)
(Vì các tứ giác BSMP, HMQC, MRAG là hình bình hành)
\[=3.\overrightarrow{\text{MO}}\] (Vì O là trọng tâm của \[\Delta ABC\])
\[\Rightarrow \overrightarrow{\text{MD}}+\overrightarrow{\text{ME}}+\overrightarrow{\text{MF}}=\frac{3}{2}\cdot \overrightarrow{\text{MO}}\]